[Scienza delle Costruzioni] Dubbio su Trave di Eulero , potenziale di una coppia distribuita.

[HelpThermoo]

Salve a tutti , avrei una domanda alla quale non riesco a rispondermi ,forse per mie lacune teoriche , ma spero possiate aiutarmi .
Relativamente al calcolo della deformata di una trave , alias della determinazione dei campi di spostamenti ad essa correlati , il nostro professore ci ha suggerito un approccio di tipo "variazionale" : Ovvero quello di dedurre l'equazione della linea elastica da considerazioni energetiche . Quindi , assumendo trascurabile l'energia di deformazione relativa all'"allungamento" , l'energia totale di deformazione della mia trave deve essere uguale a quella relativa all'"incurvamento" più i potenziali di eventuali carichi o coppie , distribuiti o concentrati che siano . Ora se io ho una trave soggetta a una coppia distribuita costante $ m=pL $ e ad un carico trasversale lineare (Non costante) , quale dovrebbe essere l'energia di deformazione ad essa relativa? Io ho scritto :

$ E_(def)=int_(0)^(L)1/2K_(m)(u'')^(2)dx -int_(0)^(L)p(x)u(x)x-int_(0)^(L)pLu'(x)dx $ (1)

Dove il secondo e il terzo integrale sono rispettivamente potenziale del carico trasversale e potenziale della coppia lungo la trave .

Ora il professore suggerisce di cercare la funzione di forma come quella funzione che annulla la variazione prima dell'energia e ne rende positiva la variazione seconda . Vi risparmio i calcoli , ma si tratta di calcolarsi :

$ E(u+du)-E(u)=L(du) + o(du) $

$ L(du) $ è la mia variazione prima ,la devo imporre uguale a zero , così trovo l'equazione della linea elastica e le condizioni cinematiche per determinare i coefficienti della funzione di forma u(x).

Questo procedimento fin'ora mi ha sempre portato alla soluzione . Sull'eserciziario trovo poi l'equazione della linea elastica alla quale dovrebbe ricondurmi tutto il calcolo di sopra nel caso generale :

$ K_(M)u^(iv) -b_(t) + m' =0 $

m è la coppia esterna applicata , b_(t) è il carico trasversale .

Questa espressione mi torna quasi sempre quando uso l'approccio di sopra , calcolo la variazione prima, trascuro i termini di grado superiori , impongo uguale a 0 etc..ma nel caso di una trave soggetta a coppia costante distribuita , nell'equazione di sopra , essendo costante la coppia ,non dovrebbe comunque comparire , nel senso che la derivata di una costante è nulla.
Ma se uso il principio di stazionarietà dell'energia potenziale , partendo dalla prima formula che ho scritto , il contributo di "m" invece compare , e non so come levarmelo dalle scatole .

Partendo dalla (1), senza farmi vedere tutti i calcoli ,ottengo questa espressione per la variazione prima :

$ L(du)=K_Mint_(0)^(L)u''du''dx -int_0^Lp(x)dudx-int_0^LpLdu'dx $

Se integro per parti due volte il primo integrale ,ottengo l'equazione della linea elastica (combinato con il secondo integrale) e altre condizioni relative al taglio e al momento, ma mi rimane il terzo integrale ,che non riesco a toccare , poichè pL è costante , non posso integrarlo per parti , e rimane là.

Quindi potrei sbagliare ...
1) l'espressione del potenziale di una coppia distribuita omogenea lungo la trave .
2) l'espressione dell'energia totale , nella quale forse non dovrebbe comparire il suddetto potenziale
3) non lo so , potrei avere una lacuna teorica che non mi permette di comprendere .

Non ho parlato di vincoli perchè il dubbio riguarda proprio l'impostazione del problema con questo tipo di approccio , quindi per ora le condizioni determinate dai vincoli sulla trave , almeno per me, sono irrilevanti.