[Scienza delle Costruzioni] Dubbi su problema DSV
salve a tutti ragazzi.. avrei dei problemini con alcuni esercizi. Vi mostro il primo..
è una sezione ad L con gli spigoli arrotondati.. soggetta a sforzo normale eccentrico nel punto C. Il mio problema riguarda il calcolo dell'asse neutro. Io sono abituato a calcolarlo come segue:
1. determino l'eccentricità $e_x$ ed $e_y$
2. calcolo i raggi d'inerzia $rho_x$ e $rho_y$
3. determino i punti di tangenza dell'asse neutro con gli assi x e y come segue: $x= - (rho_y^2)/e_x$ (idem con y)
e disegno l'asse neutro.
Ora, in questo caso.. come devo comportarmi? l'eccentricità dev'essere riferita agli assi x,y o ai due raggi principali? nel secondo caso, come diavolo faccio a determinarla?
grazie.. posto la traccia, e dopo aggiungo degli schemi di calcolo che ho fatto..
ps. chiedo scusa per le formule, non ricordo più come si scrivono..
è una sezione ad L con gli spigoli arrotondati.. soggetta a sforzo normale eccentrico nel punto C. Il mio problema riguarda il calcolo dell'asse neutro. Io sono abituato a calcolarlo come segue:
1. determino l'eccentricità $e_x$ ed $e_y$
2. calcolo i raggi d'inerzia $rho_x$ e $rho_y$
3. determino i punti di tangenza dell'asse neutro con gli assi x e y come segue: $x= - (rho_y^2)/e_x$ (idem con y)
e disegno l'asse neutro.
Ora, in questo caso.. come devo comportarmi? l'eccentricità dev'essere riferita agli assi x,y o ai due raggi principali? nel secondo caso, come diavolo faccio a determinarla?
grazie.. posto la traccia, e dopo aggiungo degli schemi di calcolo che ho fatto..
ps. chiedo scusa per le formule, non ricordo più come si scrivono..
Risposte
ecco i calcoli, e un disegno.. che credo siano sbagliati..
Ciao,
la trattazione alla Saint Venant è tutta riferita ad un sistema centrale d'inerzia, per cui metterei la mano sul fuoco che anche l'equazione dell'asse neutro è riferita a tale sistema, per cui:
$1+\frac{\eta_C}{\rho_\xi}\eta+\frac{\xi_C}{\rho_eta}\xi=0$
la trattazione alla Saint Venant è tutta riferita ad un sistema centrale d'inerzia, per cui metterei la mano sul fuoco che anche l'equazione dell'asse neutro è riferita a tale sistema, per cui:
$1+\frac{\eta_C}{\rho_\xi}\eta+\frac{\xi_C}{\rho_eta}\xi=0$
"SilentK":
ps. chiedo scusa per le formule, non ricordo più come si scrivono..
Nel box rosa in alto trovi la guida. Comunque, per scriverle correttamente, basta che metti fra simboli di dollaro le formule del tuo primo post. Ti invito quindi a correggerle e a modificare il titolo del post, togliendo la parola "Aiuto".
Inoltre ti devo chiedere di togliere l'immagine delle formule nel tuo secondo messaggio e scriverle direttamente nel corpo del messaggio. Tutto questo perché è bene cercare di ridurre al minimo indispensabile l'uso di immagini e foto.
Grazie. Ciao.
ho corretto e rimosso l'immagine, visto che i calcoli erano sbagliati.
ok, il punto è.. come trovo $eta_C$ e $xi_C$ ?
"ELWOOD":
Ciao,
la trattazione alla Saint Venant è tutta riferita ad un sistema centrale d'inerzia, per cui metterei la mano sul fuoco che anche l'equazione dell'asse neutro è riferita a tale sistema, per cui:
$1+\frac{\eta_C}{\rho_\xi}\eta+\frac{\xi_C}{\rho_eta}\xi=0$
ok, il punto è.. come trovo $eta_C$ e $xi_C$ ?
Mi sembra che hai d1 e d2 e l'angolo $\alpha$....tutto ciò che ti serve per definire il cambiamento di coordinate
Purtroppo in geometria sono negato.. Non so come fare 
Ok, allora: vedendo come ti sono date le distanze, ho "creato" un nuovo sistema di riferimento $Oxy$ più comodo, su cui possiamo applicare il cambiamento di coordinate: (è quello in giallo)
La trasformazione che descrive il passaggio da $Oxy$ a $G\xi\eta$ tramite l'angolo $\alpha$ è:
$((x),(y))=((x_G),(y_G))+((\cos\alpha,-\sin\alpha),(\cos\alpha,\sin\alpha))*((\xi),(\eta))$
Noi vogliamo effettuare la trasformazione inversa, ovvero conoscere le coordinate $\xi$ ed $\eta$ avendo quelle $xy$ quindi invertendo la trasformazione si ottiene:
$((\xi),(\eta))=((\cos\alpha,\sin\alpha),(-\sin\alpha,\cos\alpha))*((x),(y))-((x_G),(y_G))$
La trasformazione che descrive il passaggio da $Oxy$ a $G\xi\eta$ tramite l'angolo $\alpha$ è:
$((x),(y))=((x_G),(y_G))+((\cos\alpha,-\sin\alpha),(\cos\alpha,\sin\alpha))*((\xi),(\eta))$
Noi vogliamo effettuare la trasformazione inversa, ovvero conoscere le coordinate $\xi$ ed $\eta$ avendo quelle $xy$ quindi invertendo la trasformazione si ottiene:
$((\xi),(\eta))=((\cos\alpha,\sin\alpha),(-\sin\alpha,\cos\alpha))*((x),(y))-((x_G),(y_G))$
ti ringrazio per la pazienza.. Dunque, ieri leggevo alcune cose sull'argomento, e in seguito a quello che hai scritto, avrei ragionato come segue.. dimmi se sbaglio!
Considerando gli assi X e Y iniziali (cioè quelli concentrati nel baricentro), conosco le coordinate di C in questo sistema di riferimento, ovvero
$X_C = - 3.03 cm$ e $Y_C = 1.96 cm$
dunque, avrei una situazione del genere
$((\xi),(\eta))=((0.90,0.422),(-0.422,0.90))*((-3.03),(1.96))$
essendo $alpha = 25°$ mi pare, ed essendo $X_G, Y_G$ nulle perché sono nel baricentro.
Quindi risolvendo, dovrei avere:
$xi_C = -2.72+0.82 = -1.89 cm$
$eta_C = 1.28+1.76 = 3.04 cm$
con il prodotto righe per colonna.. anche se a guardare la figura non mi trovo con i segni -.-
Considerando gli assi X e Y iniziali (cioè quelli concentrati nel baricentro), conosco le coordinate di C in questo sistema di riferimento, ovvero
$X_C = - 3.03 cm$ e $Y_C = 1.96 cm$
dunque, avrei una situazione del genere
$((\xi),(\eta))=((0.90,0.422),(-0.422,0.90))*((-3.03),(1.96))$
essendo $alpha = 25°$ mi pare, ed essendo $X_G, Y_G$ nulle perché sono nel baricentro.
Quindi risolvendo, dovrei avere:
$xi_C = -2.72+0.82 = -1.89 cm$
$eta_C = 1.28+1.76 = 3.04 cm$
con il prodotto righe per colonna.. anche se a guardare la figura non mi trovo con i segni -.-
Sbagli nel considerare l'angolo di rotazione. Devi immaginare di sovrapporre il sistema $xy$ a quello $\xi\eta$ per cui la rotazione da compiere è $\alpha=25+90=115°$.
Di conseguenza i coseni direttori cambiano di segno
Di conseguenza i coseni direttori cambiano di segno
$25$ è però l'angolo fra $eta$ e $y$.. per sovrapporre $x$ a $xi$ non dovrebbe essere $65 + 90 = 155$?
si hai ragione, pardon 
tra l'altro vedo ora che l'angolo esattamente sarebbe $\alpha=tan^(-)(0434)=23,46°$
tra l'altro vedo ora che l'angolo esattamente sarebbe $\alpha=tan^(-)(0434)=23,46°$
ok 
mentre sulla cosa di $X_G$ e $Y_G$ nulli nel sistema di riferimento $X,Y$ baricentrico, ho detto una cavolata?
(ps. in che senso i coseni direttori cambiano segno?)
mentre sulla cosa di $X_G$ e $Y_G$ nulli nel sistema di riferimento $X,Y$ baricentrico, ho detto una cavolata?(ps. in che senso i coseni direttori cambiano segno?)
"SilentK":
ok
Hai detto bene perchè il baricentro ha coordinate $(0,0)$ nel sistema $G\xi\eta$ come ugualmente in quello che hai scelto tu $Gxy$.
Io, invece avevo scelto il sistema giallo, per cui nel calcolo dovevo togliere il contributo delle coordinate del baricentro per effetto della traslazione del sistema di riferimento.
i coseni direttori sono i coefficienti della matrice di direzione (fatta di seni e coseni)
haha si, la mia domanda era se dovevo cambiarne io manualmente i segni! Però in effetti mettendo 155 in luogo di 25 il coseno diventa negativo.. quindi come non detto Grazie mille!
Beh dunque, risolto bene o male quest'esercizio, vorrei chiedere un chiarimento sull'altro, che presenta una sezione analoga, ma è sollecitato da uno sforzo di Taglio.
Ora.. io sono abituato a "isolare" i conci elementari nei vertici della sezione, calcolarne il momento statico, e poi dare un valore alle $tau$ mediante la formula di Jourawsky.
Il problema è che anche qui i bordi sono arrotondati! Come faccio a prendere il concio qui, o a calcolarne il momento statico?
Grazie mille!Beh dunque, risolto bene o male quest'esercizio, vorrei chiedere un chiarimento sull'altro, che presenta una sezione analoga, ma è sollecitato da uno sforzo di Taglio.
Ora.. io sono abituato a "isolare" i conci elementari nei vertici della sezione, calcolarne il momento statico, e poi dare un valore alle $tau$ mediante la formula di Jourawsky.
Il problema è che anche qui i bordi sono arrotondati! Come faccio a prendere il concio qui, o a calcolarne il momento statico?
RI PARDON SULL'ESERCIZIO PRECEDENTE
un ulteriore precisazione: la rotazione è positiva se antioraria, per cui l'angolo è $\alpha=23.46+180=203.46$
Ecco che quindi:
$\xi_C=-3.03*\cos(203.46)+1.96*\sin(203.46)=2 \text{cm}$
$\eta_C=-3.03[-\sin(203.46)]+1.96*\cos(203.46)=-3 \text{cm}$
Detto questo, l'applicazione della formula di Jouwrasky rappresenta già di per se un'approssimazione.
Per cui nel calcolo del momento statico il profilo lo considererei di spessore costante.
un ulteriore precisazione: la rotazione è positiva se antioraria, per cui l'angolo è $\alpha=23.46+180=203.46$
Ecco che quindi:
$\xi_C=-3.03*\cos(203.46)+1.96*\sin(203.46)=2 \text{cm}$
$\eta_C=-3.03[-\sin(203.46)]+1.96*\cos(203.46)=-3 \text{cm}$
Detto questo, l'applicazione della formula di Jouwrasky rappresenta già di per se un'approssimazione.
Per cui nel calcolo del momento statico il profilo lo considererei di spessore costante.
sono stato assente in questi giorni, grazie ancora per l'aiuto Elwood!
Avrei una nuova domandina però.. Il nostro professore ci ha dato un esercizio su Taglio e Torsione, già risolto.. non ho alcun problema a risolvere la parte relativa al taglio, ma arrivo ad un tratto e mi blocco, e non capisco il passaggio scritto dal prof!
Ecco l'esercizio con il corrispondente diagramma degli sforzi tangenziali:
dunque, mi risulta che gli sforzi siano pari a (indicando con B il punto medio della parte verticale della sezione, e con s l'ascissa del concio)
$tau_(zs)^(DB)= -11.764 daNcm^-2 (-5s+1/2 s^2)$
$tau_(zs)^(CB)= -11.764 daNcm^-2 (5s-1/2 s^2)$
$tau_(zs)^(AB)= 0$
con il valore massimo che si ottiene ad $s=5cm$ : $tau_(zs)^(max)=147daNcm^-2$
fin qui, tutto ok. Ora, per determinare il momento torcente che nasce dal trasporto di F, farei polo in B, ottenendo $M_T=F x 10cm=5000daNcm$
Facnedo polo in B ovviamente annullo la risultante R che dovrebbe nascere sull'ala.. il problema è che non capisco come calcolarla! il mio prof ha scritto:
$R=\int(tau_(zs)^(DB) delta_(BD) + tau_(zs)^(CB) delta_(CD)) = 2 \int_0^5 (3.52daNcm^-2 (-5s+1/2 s^2)0.5cm) = 491daN$
il punto è.. da dove diavolo vengono fuori i valori in quell'integrale?? 2? 3.52?? non riesco a capire..
Avrei una nuova domandina però.. Il nostro professore ci ha dato un esercizio su Taglio e Torsione, già risolto.. non ho alcun problema a risolvere la parte relativa al taglio, ma arrivo ad un tratto e mi blocco, e non capisco il passaggio scritto dal prof!
Ecco l'esercizio con il corrispondente diagramma degli sforzi tangenziali:
dunque, mi risulta che gli sforzi siano pari a (indicando con B il punto medio della parte verticale della sezione, e con s l'ascissa del concio)
$tau_(zs)^(DB)= -11.764 daNcm^-2 (-5s+1/2 s^2)$
$tau_(zs)^(CB)= -11.764 daNcm^-2 (5s-1/2 s^2)$
$tau_(zs)^(AB)= 0$
con il valore massimo che si ottiene ad $s=5cm$ : $tau_(zs)^(max)=147daNcm^-2$
fin qui, tutto ok. Ora, per determinare il momento torcente che nasce dal trasporto di F, farei polo in B, ottenendo $M_T=F x 10cm=5000daNcm$
Facnedo polo in B ovviamente annullo la risultante R che dovrebbe nascere sull'ala.. il problema è che non capisco come calcolarla! il mio prof ha scritto:
$R=\int(tau_(zs)^(DB) delta_(BD) + tau_(zs)^(CB) delta_(CD)) = 2 \int_0^5 (3.52daNcm^-2 (-5s+1/2 s^2)0.5cm) = 491daN$
il punto è.. da dove diavolo vengono fuori i valori in quell'integrale?? 2? 3.52?? non riesco a capire..
nessuno? 
Allora, intanto cerchiamo di capire da dove viene quel valore 11,764 daN
E' forse il calcolo di questo? $\frac{F}{I*\delta_{BD}}$ ?
Metti tutti i dati, poi sicuramente capiamo da dove viene quel 3,52
E' forse il calcolo di questo? $\frac{F}{I*\delta_{BD}}$ ?
Metti tutti i dati, poi sicuramente capiamo da dove viene quel 3,52
hai ragione, pardon
quel rapporto è il risultato di
$T_y/I_x$ essendo $T_y= 500 daN$ e $I_x=42.5 cm^4$
quel rapporto è il risultato di
$T_y/I_x$ essendo $T_y= 500 daN$ e $I_x=42.5 cm^4$
ok, quindi facendo il rapporto di ciò che dico io verrebbe $\frac{T_y}{I*\delta_{BD}}=\frac{500}{42.5*0.5}=23.52$
a mio avviso questo è il numero e non 3.52
sicuro che non ci sia qualche errore?
a mio avviso questo è il numero e non 3.52
sicuro che non ci sia qualche errore?
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