[Scienza delle Costruzioni] Deformazione
Ciao a tutti...Devo risolvere questo tema d'esame uscito gli scorsi anni
Il problema è che nonstante la teoria non so proprio da dove partire...
Ecco l'esercizio:
Si consideri un corpo continuo avente forma di parallelepipedo e lo si riferisca ad un sistema di assi cartesiani con origine nel suo baricentro e ad assi paralleli agli spigoli del corpo. Si assuma che le direzioni degli spigloli siano: a (per lo spigolo disteso parallelamente all'asse y), b (per lo spigolo parallelo all'asse x), c ( per lo spigolo parallelo all'asse z). Le costanti a,b,c, sono definite in tabella 1. Sia inoltre assegnato il seguente campo di spostamento:
$ ( ( u(x,y,z) ),( v(x,y,z) ),( w(x,y,z) ) ) = ( ( x^2(1-2yz)-3y+3 ),( y^3-xz^2-2 ),( xy(1+3y)-z^3+1 ) ) $
Si determini il campo di deformazione in un intorno del punto $P=(-1,0,0,5)$
La variazione di volume del solido a seguito della cinematica prescritta.
TABELLA 1
$a=5$
$b=6$
$c=2$
qualche suggerimento?
avreste qualche esercizio pilota?
grazie
Il problema è che nonstante la teoria non so proprio da dove partire...
Ecco l'esercizio:
Si consideri un corpo continuo avente forma di parallelepipedo e lo si riferisca ad un sistema di assi cartesiani con origine nel suo baricentro e ad assi paralleli agli spigoli del corpo. Si assuma che le direzioni degli spigloli siano: a (per lo spigolo disteso parallelamente all'asse y), b (per lo spigolo parallelo all'asse x), c ( per lo spigolo parallelo all'asse z). Le costanti a,b,c, sono definite in tabella 1. Sia inoltre assegnato il seguente campo di spostamento:
$ ( ( u(x,y,z) ),( v(x,y,z) ),( w(x,y,z) ) ) = ( ( x^2(1-2yz)-3y+3 ),( y^3-xz^2-2 ),( xy(1+3y)-z^3+1 ) ) $
Si determini il campo di deformazione in un intorno del punto $P=(-1,0,0,5)$
La variazione di volume del solido a seguito della cinematica prescritta.
TABELLA 1
$a=5$
$b=6$
$c=2$
qualche suggerimento?
avreste qualche esercizio pilota?
grazie
Risposte
Come e' definito il campo di deformazione, dato il campo di spostamento? (e' una definizione che c'e' su tutti i libri, e sono solo derivate...)
[xdom="JoJo_90"]@userdenied: da regolamento non è consentito postare esercizi tramite scan e foto. Ti invito ad eliminare l'immagine e scrivere per intero l'esercizio nel corpo del messaggio. Grazie.[/xdom]
Ok scusate provvedo subito
"caesar753":
Come e' definito il campo di deformazione, dato il campo di spostamento? (e' una definizione che c'e' su tutti i libri, e sono solo derivate...)
ciao grazie per la risposta.
intendi questa?
$ { ( u_Q=u_P+((partial u)/(partialx))_P dx+((partial u)/(partialy))_P dy+((partial u)/(partialz))_Pdz ),( v_Q=v_P+((partial v)/(partialx))_P dx+((partial v)/(partialy))_P dy+((partial v)/(partialz))_Pdz ),( w_Q=u_P+((partial w)/(partialx))_P dx+((partial w)/(partialy))_P dy+((partial w)/(partialz))_Pdz ):} $
tramite cui si arriva a questa:
$[epsilon]$ = $ ( ( epsilon_x , 1/2gamma_(yx) , 1/2gamma_(zx) ),( 1/2gamma_(xy) , epsilon_y , 1/2gamma_(zy) ),( 1/2gamma_(xz) , 1/2gamma_(yz) , epsilon_z ) ) $
bhè, per il campo di deformazione non dovrebbero esserci grossi problemi, visto che devi sostanzialmente operare per derivazione e sostituzione.
per la variazione di volume potresti calcolarti il volume del solido a seguito della deformazione e rapportare la volumetria deformata: penso che si potrebbe fare calcolando la nuova posizione dei vertici del parallelepipedo a deformazione avvenuta
prendi questa impostazione con le pinze, visto che è tanto che non tratto questi argomenti
per la variazione di volume potresti calcolarti il volume del solido a seguito della deformazione e rapportare la volumetria deformata: penso che si potrebbe fare calcolando la nuova posizione dei vertici del parallelepipedo a deformazione avvenuta
prendi questa impostazione con le pinze, visto che è tanto che non tratto questi argomenti
Indicati con $\hat(V)$ e $V$ rispettivamente il volume a seguito della deformazione e quello ad essa precedente, hai:
con $J$ jacobiano della deformazione.
$\hat(V)=JV$,
con $J$ jacobiano della deformazione.
quindi in realtà adesso devo risolvere questa equazione
$ epsilon_n^3-J_Iepsilon_n^2-J_(II)epsilon_n-J_(III) $
e trovare gli autovalori
$epsilon_1 , epsilon_2 , epsilon_3$
dopo di che posso scrivere:
$ hat(V) =V(1+epsilon_1+epsi_2+epsi_3) $
è corretto?
$ epsilon_n^3-J_Iepsilon_n^2-J_(II)epsilon_n-J_(III) $
e trovare gli autovalori
$epsilon_1 , epsilon_2 , epsilon_3$
dopo di che posso scrivere:
$ hat(V) =V(1+epsilon_1+epsi_2+epsi_3) $
è corretto?
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