[Scienza delle Costruzioni] Carico critico mensola
Salve a tutti,
vorrei un chiarimento riguardo il carico critico euleriano di una trave soggetta sforzo normale. Mi riferisco alla soluzione che si ottiene mediante il criterio statico con scrittura dell' equazione differenziale al secondo ordine.
Il dubbio mi sorge quando della scrittura delle condizioni al contorno, mentre per una trave appoggiata si ha la condizione che $v(0)=0$ e $v(l)=0$ e quindi si trovano i due parametri $A$ e $B$ coefficienti della soluzione dell' equazione differenziale nella trave a mensola di pone uno spostamento arbitrario $f$ dell' estremo libero e si scrivono le condizioni $v(0)=0$ $v'(0)=0$ $v(l)=f$ , in tutti i libri di testo viene indicato questo procedimento. Il mio problema nasce ora, nella risoluzione e scrittura della soluzione dell' equazione differenziale ci sarà il parametro libero $f$. Il fatto di porre un parametro libero si può fare perché poi il carico critico non dipende dal suo effettivo valore? Quindi in un altro caso in cui una trave soggetta a sforzo normale si ha lo spostamento di un estremo posso porlo come parametro libero per calcolare poi il carico critico?
Grazie in anticipo.
vorrei un chiarimento riguardo il carico critico euleriano di una trave soggetta sforzo normale. Mi riferisco alla soluzione che si ottiene mediante il criterio statico con scrittura dell' equazione differenziale al secondo ordine.
Il dubbio mi sorge quando della scrittura delle condizioni al contorno, mentre per una trave appoggiata si ha la condizione che $v(0)=0$ e $v(l)=0$ e quindi si trovano i due parametri $A$ e $B$ coefficienti della soluzione dell' equazione differenziale nella trave a mensola di pone uno spostamento arbitrario $f$ dell' estremo libero e si scrivono le condizioni $v(0)=0$ $v'(0)=0$ $v(l)=f$ , in tutti i libri di testo viene indicato questo procedimento. Il mio problema nasce ora, nella risoluzione e scrittura della soluzione dell' equazione differenziale ci sarà il parametro libero $f$. Il fatto di porre un parametro libero si può fare perché poi il carico critico non dipende dal suo effettivo valore? Quindi in un altro caso in cui una trave soggetta a sforzo normale si ha lo spostamento di un estremo posso porlo come parametro libero per calcolare poi il carico critico?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao,
molto più semplicemente dato che tu stai scrivendo un'equazione differenziale al secondo ordine, per risolverla, sono sufficienti due condizioni al contorno che ti vengono fornite dall'incastro stesso: la prima è che lo spostamento trasversale all'incastro è nullo e la seconda che la rotazione sempre all'incastro è nulla.
La condizione che lo spostamento all'estremo libero sia pari a una quantità f da determinare non ti serve a nulla; una volta risolta l'E.D.O. puoi determinare quanto sarà quello spostamento, ma per risolvere tale E.D.O. sono sufficienti due condizioni (per ogni tratto regolare).
molto più semplicemente dato che tu stai scrivendo un'equazione differenziale al secondo ordine, per risolverla, sono sufficienti due condizioni al contorno che ti vengono fornite dall'incastro stesso: la prima è che lo spostamento trasversale all'incastro è nullo e la seconda che la rotazione sempre all'incastro è nulla.
La condizione che lo spostamento all'estremo libero sia pari a una quantità f da determinare non ti serve a nulla; una volta risolta l'E.D.O. puoi determinare quanto sarà quello spostamento, ma per risolvere tale E.D.O. sono sufficienti due condizioni (per ogni tratto regolare).
Ti ringrazio per la risposta, ora mi è più chiaro, tuttavia vedendo un esempio ho avuto un altro dubbio e sarei grato se lei o qualcun' altro potesse farmi capire meglio. Ho trovato questo pdf cercando su google. Nell' esercizio illustrato a pagina 21, quello della trave appoggiata con le due molle, viene detto che le incognite iperstatiche $Ma$ e $Mb$ possono trovarsi con il metodo delle forze, ma quale struttura devo considerare per applicare tale metodo?
http://www-3.unipv.it/venini/didat/tds/tds.pdf
http://www-3.unipv.it/venini/didat/tds/tds.pdf
Puoi procedere in maniera più semplice:
nel caso generico del carico critico di una trave n volte iperstatica procedi tenendoti le incognite iperstatiche e ti scrivi tutte le reazioni vincolari in funzione delle incognite iperstatiche e alla fine quando dovrai applicare le condizioni al contorno avrai n condizioni in più (fornite dai vincoli iperstatici) rispetto alle due che avevi di base nel caso isostatico e così applicando le n+2 condizioni al contorno puoi trovarti tutti i tuoi parametri incogniti (le due costanti e le n incongnite iperstatiche).
NB: Ricorda sempre che devi scrivere un equazione per ogni tratto regolare, quindi se avrai una trave con un carico concentrato nel mezzo dovrai scrivere due EDO (perchè un carico concentrato funge da discontinuità).
nel caso generico del carico critico di una trave n volte iperstatica procedi tenendoti le incognite iperstatiche e ti scrivi tutte le reazioni vincolari in funzione delle incognite iperstatiche e alla fine quando dovrai applicare le condizioni al contorno avrai n condizioni in più (fornite dai vincoli iperstatici) rispetto alle due che avevi di base nel caso isostatico e così applicando le n+2 condizioni al contorno puoi trovarti tutti i tuoi parametri incogniti (le due costanti e le n incongnite iperstatiche).
NB: Ricorda sempre che devi scrivere un equazione per ogni tratto regolare, quindi se avrai una trave con un carico concentrato nel mezzo dovrai scrivere due EDO (perchè un carico concentrato funge da discontinuità).
La ringrazio per la risposta prima di tutto, mi aiuta a chiarirmi sempre meglio le idee e volevo introdurre un altro piccolo dubbio. Quando ho una struttura in cui si ha un vincolo che cede elasticamente, posso esprimere la reazione in funzione del cedimento e quindi porre l' abbassamento in quel punto come $R=k*v(z)$ con z appunto fissato nella sezione del vincolo. Inoltre se nella stessa struttura ho anche un doppio pendolo orizzontale, quindi con versore parallelo a quello della struttura e del carico, e nella deformata congruente dovuto al carico questo si muove di una certa quantità $\delta$ che ovviamente non conosco visto che dipende dalla deformata, come lo devo trattare? Poiché nella scrittura degli equilibri con le incognite iperstatiche può comparire questo spostamento $\delta$, e compare anche nella scrittura dell' equazione differenziale. Non capisco come ricavarlo alla fine o trattarlo e se "equivale" alla $f$ nel caso della mensola (nel modo di affrontare il problema). Non so se sono stato abbastanza chiaro.
Allora, prima di risponderti volevo dirti di non darmi del tu perchè anche io sono uno studente come te.
Cmq torniamo a questa biforcata:
per quanto riguarda il vincolo con cedimento vincolare, tu continua a scriverti le reazioni vincolari come hai sempre fatto e anche la EDO come hai fatto fino ad ora, l'unica cosa che cambia sarà quando andrai ad applicare la condizione al contorno fornita da tale vincolo: ad esempio se avevamo un carrello in z=0 con cedimento δ positivo quando andrai ad applicare la condizione al contorno di tale vincolo non sarà più come nel caso precedente v(z=0)=0, ma avremo che v(z=0)=δ.
Se invece ho capito la seconda richiesta, ci troviamo nel caso in cui ad esempio abbiamo in z=0 un pattino che lascia libera la traslazione ortogonale al carico di compressione; giustamente la deformata della trave in z=0 si abbasserà oppure si alzerà di una certa quantità che non conosci e in qui in tutta onestà io ho sempre chiamato tale spostamento con un parametro, scrivevo la EDO allegavo alla EDO le condizioni al contorno e qui chiudevo quindi non saprei risponderti (credo sia quel f di cui il tuo libro ti parlava). Io però ragionandoci l'ho interpretato così: si fa tale studio per andare a determinare il carico critico che non deve essere raggiunto altrimenti la trave sbanda e nella pratica costruttiva si può andare a fare del male a cose e/o persone, e cmq il carico critico avrai visto che è della forma $ P=(pi^2B)/(lambdal)^2 $ e quindi credo che quel valore del quale si sposta non influisca così tanto. Però ti ripeto è solo un mio ragionamento fatto in questo momento e potrebbe essere una gran cazzata; il mio consiglio è quello di andare a parlare con il tuo professore e chiedere chiarimento e quando hai avuto una risposta mandami un MP così anche io mi levo questo dubbio.
Ciaaao!
Cmq torniamo a questa biforcata:
per quanto riguarda il vincolo con cedimento vincolare, tu continua a scriverti le reazioni vincolari come hai sempre fatto e anche la EDO come hai fatto fino ad ora, l'unica cosa che cambia sarà quando andrai ad applicare la condizione al contorno fornita da tale vincolo: ad esempio se avevamo un carrello in z=0 con cedimento δ positivo quando andrai ad applicare la condizione al contorno di tale vincolo non sarà più come nel caso precedente v(z=0)=0, ma avremo che v(z=0)=δ.
Se invece ho capito la seconda richiesta, ci troviamo nel caso in cui ad esempio abbiamo in z=0 un pattino che lascia libera la traslazione ortogonale al carico di compressione; giustamente la deformata della trave in z=0 si abbasserà oppure si alzerà di una certa quantità che non conosci e in qui in tutta onestà io ho sempre chiamato tale spostamento con un parametro, scrivevo la EDO allegavo alla EDO le condizioni al contorno e qui chiudevo quindi non saprei risponderti (credo sia quel f di cui il tuo libro ti parlava). Io però ragionandoci l'ho interpretato così: si fa tale studio per andare a determinare il carico critico che non deve essere raggiunto altrimenti la trave sbanda e nella pratica costruttiva si può andare a fare del male a cose e/o persone, e cmq il carico critico avrai visto che è della forma $ P=(pi^2B)/(lambdal)^2 $ e quindi credo che quel valore del quale si sposta non influisca così tanto. Però ti ripeto è solo un mio ragionamento fatto in questo momento e potrebbe essere una gran cazzata; il mio consiglio è quello di andare a parlare con il tuo professore e chiedere chiarimento e quando hai avuto una risposta mandami un MP così anche io mi levo questo dubbio.
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