[Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia
Salve! Avevo già fatto un post su un sistema 3D, oggi però ne ho trovato un altro che mi ha fatto sorgere un dubbio. Riporto l'immagine (le parti rosse le ho fatto io, non sono linee del testo):
Il dubbio era: quella coppia $4PL$ è equivalente al vettore momento che ho disegnato là a fianco in rosso? La notazione con la freccia che ruota mi ha un po' confuso, è un momento concorde o discorde all'asse $y$?
I motivi per cui l'ho inserita proprio così sono 2: la freccia ruota attorno all'asse $y$, quindi ho supposto fosse un vettor momento giacente lungo $y$. Inoltre dato senso orario l'ho posto discorde all'asse, pensando che per convenzione il verso orario implicasse ciò.
Grazie per aver letto!! :]
Il dubbio era: quella coppia $4PL$ è equivalente al vettore momento che ho disegnato là a fianco in rosso? La notazione con la freccia che ruota mi ha un po' confuso, è un momento concorde o discorde all'asse $y$?
I motivi per cui l'ho inserita proprio così sono 2: la freccia ruota attorno all'asse $y$, quindi ho supposto fosse un vettor momento giacente lungo $y$. Inoltre dato senso orario l'ho posto discorde all'asse, pensando che per convenzione il verso orario implicasse ciò.
Grazie per aver letto!! :]
Risposte
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Buonasera! 
Ah giusto, è sinistrorso! Lo fixerei "girando" l'asse $y$, ossia ponendo la sua punta nel verso opposto a quello in figura.
Tra l'altro, dopo un po' di conti che adesso ometto (ma magari domani mattina scrivo e li elaboro con calma!), dovrebbe uscir fuori che la sezione $A$ è sottoposta ad uno sforzo di taglio di intensità $P$ diretto lungo l'asse $z$. Per computare le verifiche di resistenza con il metodo di Von-Mises oppure Tresca devo individuare l'eventuale tensione normale e la tensione tangenziale data proprio dallo sforzo di taglio.
Ecco, devo valutare sia la $\tau_{zy}$ che quella $\tau_{zx}$?
Grazie ancora per l'attenzione!!
Ah giusto, è sinistrorso! Lo fixerei "girando" l'asse $y$, ossia ponendo la sua punta nel verso opposto a quello in figura.Tra l'altro, dopo un po' di conti che adesso ometto (ma magari domani mattina scrivo e li elaboro con calma!), dovrebbe uscir fuori che la sezione $A$ è sottoposta ad uno sforzo di taglio di intensità $P$ diretto lungo l'asse $z$. Per computare le verifiche di resistenza con il metodo di Von-Mises oppure Tresca devo individuare l'eventuale tensione normale e la tensione tangenziale data proprio dallo sforzo di taglio.
Ecco, devo valutare sia la $\tau_{zy}$ che quella $\tau_{zx}$?
Grazie ancora per l'attenzione!!
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Perfettissimo!! :] Vediamo un po' se ciò che ho pensato ha senso. Intanto mi calcolo le reazioni vincolari e le caratteristiche su ogni tratto. Per me la difficoltà qua risiede nell'azzeccare il sistema di riferimento locale per le sollecitazioni. Li riporto di seguito in figura:
Bene, per le reazioni vincolari:
\[
F_x=F_y=0; \: \: \: \: F_z=-P; \: \: \: \: M_x=M_z=0; \: \: \: M_y=4PL-4PL=0
\]
Passando alle caratteristiche per il tratto $A \to B$, con $0 \leq s \leq 4L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=-P \\ M_t=0 \\ M_1=-sP \\ M_2=0
\end{cases}
\]
Tratto $C \to B$, con $0\leq s \leq 2L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=0 \\ M_1=0 \\ M_t=4PL \\ M_2=0
\end{cases}
\]
Tratto $D \to C$, con $0\leq s \leq 2L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=0 \\ M_1=-4PL \\ M_2=0 \\ M_t=0
\end{cases}
\]
Prima di tutto adesso calcolo il momento di inerzia $J_x$ applicando il teorema di trasposizione:
\[ J_x=\frac{6*216^3}{12}+ \frac{6*216^3}{12}+12*120*(216/2+12/2)^2+12*120*(216/2+12/2)^2=47506176 \: mm^4 \]
Passando ai criteri di resistenza, nella sezione $A$ agisce solo sforzo di taglio $T=-P$, quindi c'è solo tensione tangenziale $\tau_{zy}$. Calcolando gli andamenti con la Formula di Jourawsky mi sono risultati parabolici lungo l'asse $x_2$ come in figura:
Dove $\tau_{max}=\frac{P}{J_x \cdot 6}(-6*(108)^2+1296*(108)+164160)=8.214$
Quindi per Von-Mises $\sigma_{id}=\sqrt{0^2+3*\tau_{max}^2}=14.22<\sigma_{lim}$.
Nella sezione $M$ si ha solo momento torsionale $M_t=4PL$, come prima quindi le tensioni normali $\sigma_{zz}$ sono nulle. Calcoliamo le tensioni tangenziali. In quali punti? Dalla formula di Bredt vediamo che le tensioni tangenziali sono più alte nelle porzioni con spessore minore. Quindi essenzialmente si calcolano nelle sezioni ai lati dove $s=6 mm$.
\[\Omega=(120-2*6/2)*(240-12/2)=26676 mm^2\]
\[ \tau_{zy}=\frac{4PL}{2*\Omega*6}=249.9 N/mm^2. \]
Quindi $\sigma_{id}=\sqrt{0^2+3*(249.9)^2} > \sigma_{lim}$. E la sezione $M$ non regge.
Può andare?
Grazie per aver letto fin qua! :]
Bene, per le reazioni vincolari:
\[
F_x=F_y=0; \: \: \: \: F_z=-P; \: \: \: \: M_x=M_z=0; \: \: \: M_y=4PL-4PL=0
\]
Passando alle caratteristiche per il tratto $A \to B$, con $0 \leq s \leq 4L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=-P \\ M_t=0 \\ M_1=-sP \\ M_2=0
\end{cases}
\]
Tratto $C \to B$, con $0\leq s \leq 2L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=0 \\ M_1=0 \\ M_t=4PL \\ M_2=0
\end{cases}
\]
Tratto $D \to C$, con $0\leq s \leq 2L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=0 \\ M_1=-4PL \\ M_2=0 \\ M_t=0
\end{cases}
\]
Prima di tutto adesso calcolo il momento di inerzia $J_x$ applicando il teorema di trasposizione:
\[ J_x=\frac{6*216^3}{12}+ \frac{6*216^3}{12}+12*120*(216/2+12/2)^2+12*120*(216/2+12/2)^2=47506176 \: mm^4 \]
Passando ai criteri di resistenza, nella sezione $A$ agisce solo sforzo di taglio $T=-P$, quindi c'è solo tensione tangenziale $\tau_{zy}$. Calcolando gli andamenti con la Formula di Jourawsky mi sono risultati parabolici lungo l'asse $x_2$ come in figura:
Dove $\tau_{max}=\frac{P}{J_x \cdot 6}(-6*(108)^2+1296*(108)+164160)=8.214$
Quindi per Von-Mises $\sigma_{id}=\sqrt{0^2+3*\tau_{max}^2}=14.22<\sigma_{lim}$.
Nella sezione $M$ si ha solo momento torsionale $M_t=4PL$, come prima quindi le tensioni normali $\sigma_{zz}$ sono nulle. Calcoliamo le tensioni tangenziali. In quali punti? Dalla formula di Bredt vediamo che le tensioni tangenziali sono più alte nelle porzioni con spessore minore. Quindi essenzialmente si calcolano nelle sezioni ai lati dove $s=6 mm$.
\[\Omega=(120-2*6/2)*(240-12/2)=26676 mm^2\]
\[ \tau_{zy}=\frac{4PL}{2*\Omega*6}=249.9 N/mm^2. \]
Quindi $\sigma_{id}=\sqrt{0^2+3*(249.9)^2} > \sigma_{lim}$. E la sezione $M$ non regge.
Può andare?
Grazie per aver letto fin qua! :]
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Salve! Grazie mille per la risposta super esaustiva!! Purtroppo non ho ben capito una cosa... in che modo hai sfruttato la simmetria della sezione nel calcolo del momento statico della formula di Jouraswky? 
Inoltre, il punto più critico della sezione $A$ non dovrebbe essere quello sul bordo sinistro (oppure destro) e in quota corrispondente al baricentro? In quanto là agisce sforzo di taglio $\tau_{zy}$ massimo e anche $\tau_{zx}$ massimo (?)
Grazie mille per la risposta super esaustiva!! Purtroppo non ho ben capito una cosa... in che modo hai sfruttato la simmetria della sezione nel calcolo del momento statico della formula di Jouraswky? Inoltre, il punto più critico della sezione $A$ non dovrebbe essere quello sul bordo sinistro (oppure destro) e in quota corrispondente al baricentro? In quanto là agisce sforzo di taglio $\tau_{zy}$ massimo e anche $\tau_{zx}$ massimo (?)
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Ahh giusto! A pensarci adesso dopo aver letto la spiegazione, mi accorgo che il dubbio sul punto più sollecitato è davvero sciocco 
Ti ringrazio davvero molto per la disponibilità ^^ Buon Natale e buona feste! :]]
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