[Scienza delle Costruzioni] analisi della tensione
ragazzi come faccio a capire se ho un tensore del genere $((a,a,0),(a,a,0),(0,0,b))$
se lo stato di tensione è monoassiale biassiale o triassiale?
se lo stato di tensione è monoassiale biassiale o triassiale?
Risposte
da quello che ho capito dovrei trovare gli autovalori...quindi mi trovo il determinante della matrice $((a-\lambda,a,0),(a,a-\lambda,0),(0,0,b-\lambda))$ che è $(a-\lambda)^2 (b-\lambda)-a^2 (b-\lambda)=2a \lambda^2-2a \lambda b-\lambda ^3+\lambda^2 b$
trovo per quali valori di $\lambda$ il polinomio si annulla e trovo gli autovalori... utilizzo l'equazione secolare di laplace
$\lambda^3-\lambda^2E_1 +\lambda E_2 +E_3=0$
la mia equazione che è $\lambda^3-\lambda^2(2a+b)+\lambda 2ab=0$
quindi l'invariante $E_1=2a+b$
l'invariante $E_2=2ab$
invece l'invariante $E_3=0$ quindi dovrebbe essere biassiale visto che solo un invariante è nullo...si procede in questo modo?
trovo per quali valori di $\lambda$ il polinomio si annulla e trovo gli autovalori... utilizzo l'equazione secolare di laplace
$\lambda^3-\lambda^2E_1 +\lambda E_2 +E_3=0$
la mia equazione che è $\lambda^3-\lambda^2(2a+b)+\lambda 2ab=0$
quindi l'invariante $E_1=2a+b$
l'invariante $E_2=2ab$
invece l'invariante $E_3=0$ quindi dovrebbe essere biassiale visto che solo un invariante è nullo...si procede in questo modo?
Se $T =((a,a,0),(a,a,0),(0,0,b))$ secondo la base ortonormale $e_1,e_2,e_3$ la prima colonna della matrice sarebbe il vettore che agisce sulla giacitura del materiale di normale $e_1$ e lo stesso discorso vale per le altre colonne. Se prendiamo il primo vettore colonna, e lo proiettiamo lungo $e_1$ otteniamo l'elemento $T_(11)$ se lo proiettiamo lungo $e_2$ otteniamo $T_(21)$
Sto ragionando anche io...con questo ragionamento cosa risponderesti?
Sto ragionando anche io...con questo ragionamento cosa risponderesti?
"smaug":
Se $T =((a,a,0),(a,a,0),(0,0,b))$ secondo la base ortonormale $e_1,e_2,e_3$ la prima colonna della matrice sarebbe il vettore che agisce sulla giacitura del materiale di normale $e_1$ e lo stesso discorso vale per le altre colonne. Se prendiamo il primo vettore colonna, e lo proiettiamo lungo $e_1$ otteniamo l'elemento $T_(11)$ se lo proiettiamo lungo $e_2$ otteniamo $T_(21)$
Sto ragionando anche io...con questo ragionamento cosa risponderesti?
Nn riesco a seguire il tuo ragionamento
Secondo me lo stato di tensione è triassiale, perchè ci sono gli elementi diagonali della matrice non nulli che ci dicono che c'è tensione normale sui tre assi, e inoltre c'è anche un tensione tangenziale dove $T_{12} = T_{21}$ essendo $T \in Sym$ cioè è una matrice simmetrica.
Magari sto dicendo solo fesserie, però volevo provare a rispondere, ho fatto solo l'esame di meccanica dei solidi, essendo al secondo anno, a ottobre seguirò scienza delle costruzioni...
Magari sto dicendo solo fesserie, però volevo provare a rispondere, ho fatto solo l'esame di meccanica dei solidi, essendo al secondo anno, a ottobre seguirò scienza delle costruzioni...
"smaug":
Secondo me lo stato di tensione è triassiale, perchè ci sono gli elementi diagonali della matrice non nulli che ci dicono che c'è tensione normale sui tre assi, e inoltre c'è anche un tensione tangenziale dove $T_{12} = T_{21}$ essendo $T \in Sym$ cioè è una matrice simmetrica.
Magari sto dicendo solo fesserie, però volevo provare a rispondere, ho fatto solo l'esame di meccanica dei solidi, essendo al secondo anno, a ottobre seguirò scienza delle costruzioni...
Capito...da quello che so io dovrebbe essere biassiale perché calcolando gli invarianti uno è nullo...speriamo nella risposta di qualche altro che ci possa schiarire le idee
lo spero 
Smaug ha ragione.
Il fatto che un invariante sia nullo non significa che siamo in presenza di uno stato biassiale.
Ciò che puoi notare invece è il fatto che $b$ rappresenta una tensione principale.
Il fatto che un invariante sia nullo non significa che siamo in presenza di uno stato biassiale.
Ciò che puoi notare invece è il fatto che $b$ rappresenta una tensione principale.
"ELWOOD":
Smaug ha ragione.
Il fatto che un invariante sia nullo non significa che siamo in presenza di uno stato biassiale.
Ciò che puoi notare invece è il fatto che $b$ rappresenta una tensione principale.
E che vuol dire che b rappresenta una tensione principale?
non sai cos'è una tensione principale?
"ELWOOD":
non sai cos'è una tensione principale?
Si lo so...solo che vorrei capire che collegamento ha con ciò che stiamo dicendo
Ok allora dimmi...che caratteristiche ha una tensione principale?
"ELWOOD":
Ok allora dimmi...che caratteristiche ha una tensione principale?
La tensione principale in un punto è il valore della tensione su una giacitura rispetto alla quale lo stato tensionale presenta solo componenti normali e manca di componenti tangenziali quindi le tensioni principali rappresentano i valori massimi minimi
dllo stato tensionale in un punto al variare della giacitura passante per esso.
Ok quindi dopo questa tua bella spiegazione dovresti essere in grado di capire perché ho detto ciò. ..individuando cosi nella matrice le varie componenti di tensione
"ELWOOD":
Ok quindi dopo questa tua bella spiegazione dovresti essere in grado di capire perché ho detto ciò. ..individuando cosi nella matrice le varie componenti di tensione
Il criterio per capire che uno stato di sforzo sia monoassiale biassiale o triassial, bisogna vedere se abbiamo i coefficiente che coincidono con gli invarianti ortogonali principali di $T$ Sono diversi da zero e siccome nel nostro caso sono 2 quelli diversi da zero lo stato di sforzo dovrebbe essere biassiale
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