[Scienza Delle Costruzioni] Aiuto Principio Lavori Virtuali

[ichabodcrane]

Salve a tutti,
avrei bisogno del vostro aiuto con un esercizio in cui calcolo l'abbassamento in mezzeria di una trave sia con l'integrazione della linea elastica sia con il principio dei lavori virtuali. Il problema è che con il primo metodo mi esce un risultato (che dovrebbe essere giusto, in quanto ho verificato tramite varie fonti), mentre con il PLV ottengo esattamente la metà.

Nel link che segue c'è il procedimento con l'integrazione della linea elastica e alla fine calcolo anche il momento per una generica sezione z, che servirà per applicare il PLV in seguito.
http://postimg.org/image/v75j7fauh/

Qui applico il PLV
http://postimg.org/image/hg1257lwp/

Grazie a tutti per la vostra attenzione

[ELWOOD1]

Ciao e benvenuto,
Onestamente non si capisce quale sia la distribuzione del momento flettente che tu hai integrato.

Gentilmente prova a definire $M(z)$ magari provando a scrivere il tutto attraverso l'utilizzo delle formule specifiche

come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

[ichabodcrane]

Grazie Elwood,
per calcolare il lavoro virtuale interno devo calcolare l'integrale:
$ int_(0)^(z) bar(M)(x)psi(x) dx $

dove $ bar(M)(x) $ è il momento virtuale, generato dal carico concentrato virtuale $ bar(p) $ nel secondo link che ho messo ed è pari a:
$ bar(M)(x) = bar(p)/2x $
e va notato che vale solo per $ x in [0,l/2] $, ma io voglio calcolarla precisamente in $l/2$

$ psi(x) $ invece è il coefficiente di deformazione relativo alla struttura nel primo link, che sarebbe poi quella reale.
Vale inoltre:
$ psi =(M(x))/(EI) $

E quindi calcolo il momento per una generica sezione x, nella struttura reale (primo link)
$ M(x)=pl/2x-x^2/2=p/2(lx-x^2) $

A questo punto sostituisco in $ psi(x) $:
$ psi (x) = (p/2(lx-x^2) )/(EI) $


Ora posso riscrivere l'integrale:
$ int_(0)^(z) bar(M)(x)psi(x) dx = int_(0)^(z) bar(p)/2x (p/2(lx-x^2) )/(EI) dx = (bar(p)p)/(4EI) int_(0)^(z) (lx^2-x^3) dx = (bar(p)p)/(4EI) (lz^3/3-z^4/4) $

ora, dato che il lavoro virtuale esterno è pari a quello interno:
$ L_e = bar(p) v(z) $
$ L_i = (bar(p)p)/(4EI) (lz^3/3-z^4/4) $

da cui segue:
$ v(z) = p/(4EI) (lz^3/3-z^4/4) $

ma se lo calcolo in $ z=l/2 $ mi esce esattamente la metà di quanto mi era uscito integrando l'equazione della linea elastica (primo link).

[ELWOOD1]

Lo spostamento di un punto della trave dipende da ciò che carica la trave nella sua globalità...per cui l errore che fai è quello di integrare fino ad una quota $ z $ ma devi considerare il contributo di tutta la luce