Scarica condensatore
Salve,
ho un dubbio riguardo il seguente circuito. In particolare, quando vado a calcolare il coefficiente di tempo di scarica (RC), devo considerare la serie o il parallelo delle due resistenze? Non riesco a venirne a capo.
Grazie per l'attenzione.
ho un dubbio riguardo il seguente circuito. In particolare, quando vado a calcolare il coefficiente di tempo di scarica (RC), devo considerare la serie o il parallelo delle due resistenze? Non riesco a venirne a capo.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Se mi fornisci tutti i dati dell'esercizio posso darti una mano: mi pare di capire che sia un circuito dinamico. Cerca di postare l'intero esercizio e provo ad aiutarti 
Grazie dell'interessamento. Posto di seguito il testo dell'esercizio.
Il circuito mostrato in figura è a regime con l'interruttore aperto. All'istante t = 0 viene chiuso. Determinare a) la corrente che scorre nel ramo di R2 appena viene chiuso l'interruttore ; b) la carica finale del condensatore; c) quando la corrente che scorre nel ramo di R2 diventa I1 = 1 A.
(Dati del problema f =12V,R1 =3kOhm,R2 =1Ohm, C = 10 microF)
Il circuito mostrato in figura è a regime con l'interruttore aperto. All'istante t = 0 viene chiuso. Determinare a) la corrente che scorre nel ramo di R2 appena viene chiuso l'interruttore ; b) la carica finale del condensatore; c) quando la corrente che scorre nel ramo di R2 diventa I1 = 1 A.
(Dati del problema f =12V,R1 =3kOhm,R2 =1Ohm, C = 10 microF)
Definizioni:
1) $ i_1(t) $ è la corrente che circola nella resistenza $ R_1 $;
2) $ i_2(t) $ è la corrente che circola nella resistenza $ R_2 $;
3) $ i_c(t) $ è la corrente che circola nella capacità $ C $;
4) $ v_c(t) $ è la tensione sulla capacità $ C $;
Essendo un circuito dinamico, occorre analizzare cosa succede per $ t<=0 $ e poi per $ t>0 $.
Per $ t<=0 $, essendo il circuito a regime, il condensatore si comporta come un bipolo aperto e, dunque, si vede subito che risulta:
$ v_c(t=0)=v_c(0)=f=12 V $
Per $ t>0 $, invece, occorre applicare le leggi di kirchoff alle due maglie presenti che risultano essere:
$ { ( i_1=i_c+i_2 ),( f-R_1i_1-v_c=0 ):} $
con:
$ i_c=C(partial v_c)/(partial t) $
Manipolando le due equazioni di kirchoff, in maniera assai facile, si raggiunge la seguente equazione:
$ (partial v_c)/(partial t)+ (R_1+R_2)/(CR_1R_2)v_c=f/(CR_1) $
che rappresenta una equazione differenziale ordinaria del primo ordine a coefficienti costanti completa non omogenea nella incognita $ v_c(t) $, con la condizione iniziale:
$ v_c(t=0)=v_c(0)=f=12 V $
Non mi soffermo sulla risoluzione dell'equazione differenziale che ( ricontrolla i calcoli ) dovrebbe essere:
$ v_c(t)=11.99e^(-100033.33t)+0.004 $
da cui si vede che:
$ v_c(t=+oo)=0.004 V $
Inoltre, poichè:
$ i_2(t)=(v_c(t))/R_2 = v_c(t)= 11.99e^(-100033.33t)+0.004 $
si ha che:
1) $ i_2(0)=(v_c(0))/R_2 = 12 A$
2) $ i_2(t)=1hArr 11.99e^(-100033.33bar(t))+0.004=1rArr bar(t)=0.000025 s $
1) $ i_1(t) $ è la corrente che circola nella resistenza $ R_1 $;
2) $ i_2(t) $ è la corrente che circola nella resistenza $ R_2 $;
3) $ i_c(t) $ è la corrente che circola nella capacità $ C $;
4) $ v_c(t) $ è la tensione sulla capacità $ C $;
Essendo un circuito dinamico, occorre analizzare cosa succede per $ t<=0 $ e poi per $ t>0 $.
Per $ t<=0 $, essendo il circuito a regime, il condensatore si comporta come un bipolo aperto e, dunque, si vede subito che risulta:
$ v_c(t=0)=v_c(0)=f=12 V $
Per $ t>0 $, invece, occorre applicare le leggi di kirchoff alle due maglie presenti che risultano essere:
$ { ( i_1=i_c+i_2 ),( f-R_1i_1-v_c=0 ):} $
con:
$ i_c=C(partial v_c)/(partial t) $
Manipolando le due equazioni di kirchoff, in maniera assai facile, si raggiunge la seguente equazione:
$ (partial v_c)/(partial t)+ (R_1+R_2)/(CR_1R_2)v_c=f/(CR_1) $
che rappresenta una equazione differenziale ordinaria del primo ordine a coefficienti costanti completa non omogenea nella incognita $ v_c(t) $, con la condizione iniziale:
$ v_c(t=0)=v_c(0)=f=12 V $
Non mi soffermo sulla risoluzione dell'equazione differenziale che ( ricontrolla i calcoli ) dovrebbe essere:
$ v_c(t)=11.99e^(-100033.33t)+0.004 $
da cui si vede che:
$ v_c(t=+oo)=0.004 V $
Inoltre, poichè:
$ i_2(t)=(v_c(t))/R_2 = v_c(t)= 11.99e^(-100033.33t)+0.004 $
si ha che:
1) $ i_2(0)=(v_c(0))/R_2 = 12 A$
2) $ i_2(t)=1hArr 11.99e^(-100033.33bar(t))+0.004=1rArr bar(t)=0.000025 s $
Propongo un metodo alternativo:
(a) Semplicemente \( i\, (0^+) = \frac{v_C\, (0^+)}{R_2} = \frac{f}{R_2} \).
(b) La carica finale è data da \( Q_C\, (\infty) = C\, v_C\, (\infty) \), dove la tensione di regime sul condensatore la ricavi dalla partizione di \( f \) tra \( R_1 \) e \( R_2 \), cioè \( v_C\, (\infty) = f \frac{R_2}{R_1+R_2} \simeq f \frac{R_2}{R_1} \).
(c) Il circuito ha costante di tempo \( \tau = R_{\text{eq}} C \) (dove \( R_{\text{eq}} = R_1 //\, R_2 \)) e la corrente a regime è data da \( i\, (\infty) = \frac{v_C\, (\infty)}{R_2} \), pertanto
\[ i\, (t) = i\, (\infty) - (i\, (\infty) - i\, (0^+))\, e^{-\frac{t}{\tau}},\quad t > 0 \]
Da cui ricavi l'equazione risolvente \( i\, (t) = 1\, [A] \).
(a) Semplicemente \( i\, (0^+) = \frac{v_C\, (0^+)}{R_2} = \frac{f}{R_2} \).
(b) La carica finale è data da \( Q_C\, (\infty) = C\, v_C\, (\infty) \), dove la tensione di regime sul condensatore la ricavi dalla partizione di \( f \) tra \( R_1 \) e \( R_2 \), cioè \( v_C\, (\infty) = f \frac{R_2}{R_1+R_2} \simeq f \frac{R_2}{R_1} \).
(c) Il circuito ha costante di tempo \( \tau = R_{\text{eq}} C \) (dove \( R_{\text{eq}} = R_1 //\, R_2 \)) e la corrente a regime è data da \( i\, (\infty) = \frac{v_C\, (\infty)}{R_2} \), pertanto
\[ i\, (t) = i\, (\infty) - (i\, (\infty) - i\, (0^+))\, e^{-\frac{t}{\tau}},\quad t > 0 \]
Da cui ricavi l'equazione risolvente \( i\, (t) = 1\, [A] \).
Grazie mille per la risposta esaustiva. Sei stato molto chiaro. La soluzione del problema proposto è qui --> https://docs.google.com/viewer?a=v&pid= ... MxY2EwMzk2
Resto ancora con il dubbio riguardante la costante di tempo di scarica RC.
Resto ancora con il dubbio riguardante la costante di tempo di scarica RC.
Dall'equazione differenziale che ti ho postato:
$ (dv_c)/dt+1/C(R_1+R_2)/(R_1R_2)v_c=f/(CR_1) $
si vede subito che la costante di tempo di scarica del condensatore vale:
$ tau=C(R_1R_2)/(R_1+R_2) $
$ (dv_c)/dt+1/C(R_1+R_2)/(R_1R_2)v_c=f/(CR_1) $
si vede subito che la costante di tempo di scarica del condensatore vale:
$ tau=C(R_1R_2)/(R_1+R_2) $
Ecco, pensando di risolvere l'esercizio alla maniera di Riccardo, da cosa deduco che le due resistenze sono in parallelo? Io avrei giurato fossero in serie. Per il resto è tutto molto chiaro, grazie ad entrambi.
Quello che non capisco è il perchè tu creda che le due resistenze debbano essere in parallelo ( In questo caso specifico capita così ma è un caso ). In generale, se ci fossero state tre o più resistenze, non avresti potuto dire nulla se non che tutte o alcune di esse avrebbero contribuito alla scarica del condensatore, per cui a priori non puoi dire nulla; chiaramente, osservando la costante di tempo puoi analizzare le cose.
PS: per quanto riguarda il metodo di Riccardo ( che pure è un buon metodo ), vale lo stesso discorso
PS: per quanto riguarda il metodo di Riccardo ( che pure è un buon metodo ), vale lo stesso discorso
Perché in questo caso avrei risolto come Riccardo, solo che al momento di studiare la costante di tempo avrei considerato la serie delle resistenze. Per il resto, ripeto, è chiaro, e so che nel caso di più resistenze non sarei stato in grado di dire nulla a priori.
Per questo caso particolare trovo che il metodo di Riccardo sia a me più "vicino", e mi sembra l'abbia intuito "ad occhio" che le due resistenze siano in parallelo. Ecco, io ad occhio non riesco a concluderlo.
Per questo caso particolare trovo che il metodo di Riccardo sia a me più "vicino", e mi sembra l'abbia intuito "ad occhio" che le due resistenze siano in parallelo. Ecco, io ad occhio non riesco a concluderlo.
"kadium":
Perché in questo caso avrei risolto come Riccardo, solo che al momento di studiare la costante di tempo avrei considerato la serie delle resistenze. Per il resto, ripeto, è chiaro, e so che nel caso di più resistenze non sarei stato in grado di dire nulla a priori.
Per questo caso particolare trovo che il metodo di Riccardo sia a me più "vicino", e mi sembra l'abbia intuito "ad occhio" che le due resistenze siano in parallelo. Ecco, io ad occhio non riesco a concluderlo.
Per definizione, la resistenza equivalente che compare nell'espressione della \( \tau \) è la resistenza vista ai morsetti del condensatore: le due resistenze sono collegate agli stessi morsetti (quelli del condensatore, tra l'altro) e quindi sono in parallelo.
Se non riesci a vederlo ad occhio, applica una tensione di test ai morsetti del condensatore: vedrai che entrambe le resistenze sono sottoposte alla stessa tensione; in particolare:
\[ R_{\text{eq}} := \frac{v_T}{i_T} = \frac{v_T}{v_T \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}} = R_1 //\, R_2 \]
La resistenza ( o, in generale, impedenza ) equivalente dipende da dove si osserva il circuito. Nel caso del tuo circuito, la cosa è assai semplice: è sufficiente osservare il circuito tra i nodi a cui fa capo la capacità; si vede subito, allora, che $ R_1 $ ed $ R_2 $ sono in parallelo.
Scusa, non avevo visto che Riccardo Desimini aveva già risposto 
. Comunque spero che il tuo dubbio sia chiarito 
. Comunque spero che il tuo dubbio sia chiarito
Grazie mille ad entrambi per la disponibilità. Ora è tutto chiaro!
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