Rumore bianco passabasso
Sia $n(t,zeta)$ un segnale aleatorio stazionario la cui densità spettrale di potenza è $W_n(f)=eta*rect(f/(2f_m))$
L'autocorrelazione, $R_n(tau)$, è definita come l'antitrasformata della densità spettrale, cioè $int_-infty^(+infty)eta*e^(j2piftau)d tau$
poichè $W_n(f)=0$ al di fuori di $[-f_m,f_m]$, si ha: $R_n(tau)=int_(-f_m)^(+f_m)eta*e^(j2piftau)d tau=eta*1/(j2pif)[e^(j2piftau)]_(-f_m)^(+f_m)$
Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)
Ma mi sorgono dei dubbi:
Al punto in cui sono arrivato, devo andare ad applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi sostituire dove c'è $tau$, $+f_m$ e poi $-f_m$ ($F(f_m)-F(-f_m)$)
come fa quindi a comparire nell'espressione finale ancora $tau$?
inoltre se gli estremi di integrazione li vado a sostituire ad $f$ e non a $tau$ (come pare faccia il libro), da dove gli spunta quel fattore $f_m$ che moltiplica $2eta$?
L'autocorrelazione, $R_n(tau)$, è definita come l'antitrasformata della densità spettrale, cioè $int_-infty^(+infty)eta*e^(j2piftau)d tau$
poichè $W_n(f)=0$ al di fuori di $[-f_m,f_m]$, si ha: $R_n(tau)=int_(-f_m)^(+f_m)eta*e^(j2piftau)d tau=eta*1/(j2pif)[e^(j2piftau)]_(-f_m)^(+f_m)$
Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)
Ma mi sorgono dei dubbi:
Al punto in cui sono arrivato, devo andare ad applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi sostituire dove c'è $tau$, $+f_m$ e poi $-f_m$ ($F(f_m)-F(-f_m)$)
come fa quindi a comparire nell'espressione finale ancora $tau$?
inoltre se gli estremi di integrazione li vado a sostituire ad $f$ e non a $tau$ (come pare faccia il libro), da dove gli spunta quel fattore $f_m$ che moltiplica $2eta$?
Risposte
ovviamente l'integrale è fatto rispetto alla variabile $f$, dato che vuoi passare dal dominio delle frequenze a quello dei tempi!
"Ska":
ovviamente l'integrale è fatto rispetto alla variabile $f$, dato che vuoi passare dal dominio delle frequenze a quello dei tempi!
Il libro integra in $d tau$, non solo in questo caso ma anche per calcolarsi l'autocorrelazione di un rumore bianco passabanda
Allora... se dici che l'autocorrelazione è l'antitrasformata di Fourier della densità spettrale [tex]$W_X(f)$[/tex], allora dovrò considerare l'antitrasformata del segnale [tex]$W_X(f)$[/tex] che risulta essere [tex]$\int_\mathbb{R} W_X(f) e^{j2\pi f \tau} df$[/tex], giustamente $\tau$ è un parametro dato che voglio cambiare dominio rispetto a quello frequenziale, quindi l'integrare risulta essere fatto rispetto a [tex]$f$[/tex]. Quindi nel caso specifico risulta [tex]$R_X(\tau) = \int_\mathbb{R} W_X(f) e^{j2\pi f \tau} df = \int_{-f_m}^{f_m} \eta e^{j2\pi f\tau}df = \eta \left[\frac{e^{j2\pi f \tau}}{j2\pi\tau}\right ]_{-f_m}^{f_m} = \eta \left[\frac{e^{j2\pi f_m \tau} - e^{-j2\pi f_m \tau}}{j2\pi\tau}\right ] = 2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} = 2\eta sinc(2f_m\tau)$[/tex]
È chiaro che nel procedimento che hai riportato c'è qualcosa che non va, e banalmente secondo me è un "errore di stampa" quel [tex]$d\tau$[/tex]
È chiaro che nel procedimento che hai riportato c'è qualcosa che non va, e banalmente secondo me è un "errore di stampa" quel [tex]$d\tau$[/tex]
"Andre@":
Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)
"Andre@":[/quote]
[quote="Andre@"]
Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)
Piccolo mio errore [tex]$2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} =2f_m\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau f_m} = 2f_m\eta sinc(2f_m\tau)$[/tex], alle 3 di notte capita qualche svista...
"Ska":[/quote]
[quote="Andre@"][quote="Andre@"]
Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)
Piccolo mio errore [tex]$2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} =2f_m\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau f_m} = 2f_m\eta sinc(2f_m\tau)$[/tex], alle 3 di notte capita qualche svista...[/quote]
Ok grazie, neanche io ci avevo fatto caso. Quindi l'errore del libro è quel $d tau$
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