Risposta libera di un sistema
buonasera a tutti, vi sottopongo questo esercizio e chiedo a voi se ci sono errori o meno.
dunque mi è assegnata l'equazione differenziale $ y''' + 3y'' + y' = 1(t) $ e devo
- trovare la fdt del sistema: trasformo secondo Laplace ambo i membri, ottenendo $ (s^3 + 3 s^2 + s) * Y(s) = X(s) * (1/s) $ , per poi ricavare la fdt facendo $ Y(s) div X(s) $ ;
- trovare la risposta libera sapendo che $ y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 1 $ . qui, applico una delle proprietà della trasformata di laplace (quella secondo cui la Tdl della derivata n-e sima di $ y(t) = $ $ s^3 * Y(s) - sum_(i = 0)^(n-1) s^i * $ derivata di ordine n - 1 - i della y(t). naturalmente sfruttando la proprietà della TdL, sostituirò al posto di $ y(0), y'(0), y''(0) $ i rispettivi valori che mi vengono assegnati nella traccia.
siccome mi è richiesta la risposta libera che dipende dalle sole condizioni iniziali, annullo la TdL dell'ingresso che figura a secondo membro dell'equazione in s ricavata alla risposta precedente, e di conseguenza annullo tutto il secondo membro.
è corretto? grazie per l'attenzione
dunque mi è assegnata l'equazione differenziale $ y''' + 3y'' + y' = 1(t) $ e devo
- trovare la fdt del sistema: trasformo secondo Laplace ambo i membri, ottenendo $ (s^3 + 3 s^2 + s) * Y(s) = X(s) * (1/s) $ , per poi ricavare la fdt facendo $ Y(s) div X(s) $ ;
- trovare la risposta libera sapendo che $ y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 1 $ . qui, applico una delle proprietà della trasformata di laplace (quella secondo cui la Tdl della derivata n-e sima di $ y(t) = $ $ s^3 * Y(s) - sum_(i = 0)^(n-1) s^i * $ derivata di ordine n - 1 - i della y(t). naturalmente sfruttando la proprietà della TdL, sostituirò al posto di $ y(0), y'(0), y''(0) $ i rispettivi valori che mi vengono assegnati nella traccia.
siccome mi è richiesta la risposta libera che dipende dalle sole condizioni iniziali, annullo la TdL dell'ingresso che figura a secondo membro dell'equazione in s ricavata alla risposta precedente, e di conseguenza annullo tutto il secondo membro.
è corretto? grazie per l'attenzione
Risposte
up!
la trasformata X(s) da dove la prendi? devi pensare a qual è l'ingresso e quindi la sua trasformata (non introdurre termini che non ci sono), e quindi ricavare la fdt.
per il secondo punto scrivi i passaggi che faresti, perchè quello che leggo è sbagliato ma magari volevi dire altro.
per il secondo punto scrivi i passaggi che faresti, perchè quello che leggo è sbagliato ma magari volevi dire altro.
ti rispondo intanto alla prima questione: quindi devo solo scrivere $ 1 / s $ a secondo membro, essendo la trasformata di laplace del gradino? e la funzione di trasferimento poi come la ricavo, visto che ho solo $ Y(s) $ ?
per il secondo punto, effettivamente avevo sbagliato a scrivere nel primo post, in quanto va la derivata della y(t) da valutare in 0. quindi in definitiva ottengo: $ s^3 * Y(s) - y''(0) - s*y'(0) - s^2 * y(0) + 3s^2 * Y(s) - 3*y'(0) - 3s*y(0)+s*Y(s) - y(0) = 0 $
è giusto?
è giusto?
"drewta":
ti rispondo intanto alla prima questione: quindi devo solo scrivere $ 1 / s $ a secondo membro, essendo la trasformata di laplace del gradino? e la funzione di trasferimento poi come la ricavo, visto che ho solo $ Y(s) $ ?
Y(s) = ...*1/s, che si può riscrivere anche Y(s) = ...*X(s), visto che 1/s = X(s). quindi antitrasformi quello che sta al posto dei puntini
il secondo punto mi sembra che funzioni
i puntini che hai messo sarebbero $ 1/ (s^3 + 3s^2 + s) $ , giusto?
sì
perfetto, così da lì poi ricavo la fdt semplicemente dividendo la Y(s) per X(s). peccato, per quell' X(s) in più che ho messo mi sono giocato un esame 
grazie mille per il tuo aiuto!
grazie mille per il tuo aiuto!
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