Risposta in frequenza e BIBO stabilità
se un sistema causale non è bibo stabile esiste la risposta in frequenza?
intendo dire che se la risposta in frequenza corrisponde alla trasformata di Laplace della risposta impulsiva ristretta all'asse immaginario (ossia alla trasformata di Fourier) questa dovrebbe esistere solo se la ROC comprende l'asse immaginario, ovvero se è bibo stabile (oppure volendo essere più corretti se non è bibo stabile non è assicurato che esista la risposta in frequenza)
non sono molto convinto neanche io di questo ragionamento, per questo chiedo a voi.
intendo dire che se la risposta in frequenza corrisponde alla trasformata di Laplace della risposta impulsiva ristretta all'asse immaginario (ossia alla trasformata di Fourier) questa dovrebbe esistere solo se la ROC comprende l'asse immaginario, ovvero se è bibo stabile (oppure volendo essere più corretti se non è bibo stabile non è assicurato che esista la risposta in frequenza)
non sono molto convinto neanche io di questo ragionamento, per questo chiedo a voi.
Risposte
Non capisco il tuo dubbio..
La risposta in frequenza ha un dominio di applicazione pari a quello della trasformata di Laplace, dunque in soldoni se il sistema è descritto da una relazione differenziale lineare puoi definire una risposta in frequenza.
Prendo il sistema descritto dall'equazione
$ddot(x) = u$
esso è chiaramente instabile inquanto un impulso di u produce un gradino della velocità e una rampa della posizione. la trasformata di Laplace esiste ed è un banale doppio integratore
oppure un sistema descritto da $ddot(x) - d dot(x) +k x = u$ se d>0
è sicuramente instabile inquanto nell'equazione c'è un cambio di segno che indica che una delle due radici della caratteristica ha parte reale positiva. Dal momento che autovalori-> poli la fdt avrà un polo instabile ma esiste.
nel caso particolare si ha $x = u/(s^2 - sd + k)$ e i poli sono in $s= d/2 +- sqrt(d^2 /4 -k)$
La risposta in frequenza ha un dominio di applicazione pari a quello della trasformata di Laplace, dunque in soldoni se il sistema è descritto da una relazione differenziale lineare puoi definire una risposta in frequenza.
Prendo il sistema descritto dall'equazione
$ddot(x) = u$
esso è chiaramente instabile inquanto un impulso di u produce un gradino della velocità e una rampa della posizione. la trasformata di Laplace esiste ed è un banale doppio integratore
oppure un sistema descritto da $ddot(x) - d dot(x) +k x = u$ se d>0
è sicuramente instabile inquanto nell'equazione c'è un cambio di segno che indica che una delle due radici della caratteristica ha parte reale positiva. Dal momento che autovalori-> poli la fdt avrà un polo instabile ma esiste.
nel caso particolare si ha $x = u/(s^2 - sd + k)$ e i poli sono in $s= d/2 +- sqrt(d^2 /4 -k)$
ma la risposta in frequenza non è una trasformata di laplace, è una trasformata di fourier... è questo che mi fa sorgere dei dubbi sulla sua esistenza
la trasformata di laplace è definita per s generico, in particolare se scegli $s=j omega$ ottieni la definizione della trasformata di Fourier.
La risposta in frequenza non ne una ne l'altra, essa è una relazione algebrica tra ingresso e uscita dipendente dalla frequenza e in particolare può essere ricavata passando nel dominio della frequenza tramite vari metodi ad esempio le trasformate di laplace o di Fourier..
L'unica restrizione è la convergenza degli integrali
La risposta in frequenza non ne una ne l'altra, essa è una relazione algebrica tra ingresso e uscita dipendente dalla frequenza e in particolare può essere ricavata passando nel dominio della frequenza tramite vari metodi ad esempio le trasformate di laplace o di Fourier..
L'unica restrizione è la convergenza degli integrali
"cyd":
L'unica restrizione è la convergenza degli integrali
...che è garantita in caso di BIBO stabilità. quindi la BIBO stab è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'esistenza della risposta in frequenza...no?
direi di si
Se l'uscita e l'ingresso sono segnali limitati non è detto che gli integrali che definiscono la trasformata di Fourier convergano. La trasformata di Laplace invece esiste sempre per segnali limitati, quindi, tranne il caso in cui la trasformata del segnale in ingresso sia nulla (0 è un segnale limitato), esiste anche il rapporto tra tasformata in uscita e in ingresso.
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