[Risolto]Integrale: mi manca un passaggio...
salve a tutti,
non mi tornano i segni degli esponenziali del seguente integrale. Sulle dispense c'è scritto:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2\pi} \bigg(\int_{-\omega_a}^{-\omega_b}e^{j\omega\, n} \;d\omega \, + \, \int_{\omega_a}^{\omega_b}e^{j\omega\, n} \;d\omega \bigg)= \frac{e^{j\omega_b \,n}-e^{- j\omega_b \,n}}{j2\pi \, n} \, -\frac{e^{j\omega_a \,n}-e^{- j\omega_a \,n}}{j2\pi \, n}[/tex]
A me invece l'integrale viene:
[tex]\displaystyle \frac{e^{j\omega_b \,n} + e^{- j\omega_b \,n}}{j2\pi \, n} \, -\frac{e^{j\omega_a \,n} + e^{- j\omega_a \,n}}{j2\pi \, n}[/tex]
Sto sbagliando io o c'è la possibilità che siano sbagliate le dispense?
non mi tornano i segni degli esponenziali del seguente integrale. Sulle dispense c'è scritto:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2\pi} \bigg(\int_{-\omega_a}^{-\omega_b}e^{j\omega\, n} \;d\omega \, + \, \int_{\omega_a}^{\omega_b}e^{j\omega\, n} \;d\omega \bigg)= \frac{e^{j\omega_b \,n}-e^{- j\omega_b \,n}}{j2\pi \, n} \, -\frac{e^{j\omega_a \,n}-e^{- j\omega_a \,n}}{j2\pi \, n}[/tex]
A me invece l'integrale viene:
[tex]\displaystyle \frac{e^{j\omega_b \,n} + e^{- j\omega_b \,n}}{j2\pi \, n} \, -\frac{e^{j\omega_a \,n} + e^{- j\omega_a \,n}}{j2\pi \, n}[/tex]
Sto sbagliando io o c'è la possibilità che siano sbagliate le dispense?
Risposte
Il tuo calcolo è corretto.
Dunque sono sbagliate le dispense?
Gli esponenziali si possono riscrivere come coseni, non seni, secondo le note formule di Eulero? Non c'è modo di ricondurre quell'integrale a
[tex]\displaystyle
\frac{sin(\omega_b\,n) -sin(\omega_a\,n)}{\pi \, n}[/tex]?
A dirla tutta, si tratta della anti-DTFT per il calcolo della risposta impulsiva di un filtro passa banda ideale. Cioè
[tex]h_{PBi}[n]=\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_{BP}(e^{j\omega}) \; e^{j\omega \, n} \,d\omega[/tex]
Dove
[tex]H_{BP}(e^{j\omega})=
\begin{cases}
1, \: \omega_a \leq |\omega| \leq \omega_b \\
0, \: \mbox{altrove}
\end{cases}[/tex]
Gli esponenziali si possono riscrivere come coseni, non seni, secondo le note formule di Eulero? Non c'è modo di ricondurre quell'integrale a
[tex]\displaystyle
\frac{sin(\omega_b\,n) -sin(\omega_a\,n)}{\pi \, n}[/tex]?
A dirla tutta, si tratta della anti-DTFT per il calcolo della risposta impulsiva di un filtro passa banda ideale. Cioè
[tex]h_{PBi}[n]=\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_{BP}(e^{j\omega}) \; e^{j\omega \, n} \,d\omega[/tex]
Dove
[tex]H_{BP}(e^{j\omega})=
\begin{cases}
1, \: \omega_a \leq |\omega| \leq \omega_b \\
0, \: \mbox{altrove}
\end{cases}[/tex]
beh le formule di eulero in realtà prevedono anche seni, in ogni caso basta sapere che $e^(j sigma)$ è la forma esponenziale di un numero complesso unitario e puo essere scritta nella forma trigonometrica $e^(j sigma) = cos sigma + j sin sigma$
nel tuo caso a me l'integrale viene ancora diverso..
$1/(2 pi)( int_(-omega_a)^(-omega_b) e^(j omega n) domega + int_(omega_a)^(omega_b) e^(j omega n) domega ) = 1/(2 pi )( - 1/(omega_b n j) e^(-j omega_b n) + 1/(omega_a n j) e^(-j omega_a n) +1/(omega_b n j) e^(j omega_b n) - 1/(omega_a n j) e^(j omega_a n) )= ( e^(j omega_b n) - e^(-j omega_b n))/(j 2 pi omega b n) - (e^(j omega_a n) - e^(-j omega_a n))/(j 2 pi omega_a n)$
trasformando in forma trigonometrica diventa $ (sin omega_b n)/(pi omega_b n) - (sin omega_a n)/(pi omega_a n)$
non sono molto convinto di qui $omega_a$ e $omega_b$ al denominatore ...
nel tuo caso a me l'integrale viene ancora diverso..
$1/(2 pi)( int_(-omega_a)^(-omega_b) e^(j omega n) domega + int_(omega_a)^(omega_b) e^(j omega n) domega ) = 1/(2 pi )( - 1/(omega_b n j) e^(-j omega_b n) + 1/(omega_a n j) e^(-j omega_a n) +1/(omega_b n j) e^(j omega_b n) - 1/(omega_a n j) e^(j omega_a n) )= ( e^(j omega_b n) - e^(-j omega_b n))/(j 2 pi omega b n) - (e^(j omega_a n) - e^(-j omega_a n))/(j 2 pi omega_a n)$
trasformando in forma trigonometrica diventa $ (sin omega_b n)/(pi omega_b n) - (sin omega_a n)/(pi omega_a n)$
non sono molto convinto di qui $omega_a$ e $omega_b$ al denominatore ...
Concordo con speculor: il tuo calcolo è corretto.
Guardando però la definizione analitica di $ H_{BP}(\omega) $ credo che tu abbia commesso un errore negli estremi di integrazione del primo integrale, quindi hai risolto correttamente un integrale sbagliato.
Infatti considerando che $ \omega_{a} < \omega_{b} $ per costruzione, allora deve essere $ - \omega_{b} < - \omega_{a} $ e quindi gli estremi di integrazione del tuo primo integrale vanno scambiati.
Ovviamente è inutile che tu ripeta i calcoli per trovare il risultato corretto, ricorda qualche proprietà degli integrali.
P.S. I calcoli di cyd sono sbagliati.
Guardando però la definizione analitica di $ H_{BP}(\omega) $ credo che tu abbia commesso un errore negli estremi di integrazione del primo integrale, quindi hai risolto correttamente un integrale sbagliato.
Infatti considerando che $ \omega_{a} < \omega_{b} $ per costruzione, allora deve essere $ - \omega_{b} < - \omega_{a} $ e quindi gli estremi di integrazione del tuo primo integrale vanno scambiati.
Ovviamente è inutile che tu ripeta i calcoli per trovare il risultato corretto, ricorda qualche proprietà degli integrali.
P.S. I calcoli di cyd sono sbagliati.
gia, mi sono reso conto ora dell'isdiozia di cio che ho scritto,
correggo
$1/(2 pi)( int_(-omega_a)^(-omega_b) e^(j omega n) domega + int_(omega_a)^(omega_b) e^(j omega n) domega ) = 1/(2 pi n j)( e^(-j omega_b n) - e^(-j omega_a n) + e^(j omega_b n) - e^(j omega_a n) )= ( e^(j omega_b n) + e^(-j omega_b n))/(j 2 pi n) - (e^(j omega_a n) + e^(-j omega_a n))/(j 2 pi n)$
quindi si, è giusto
correggo
$1/(2 pi)( int_(-omega_a)^(-omega_b) e^(j omega n) domega + int_(omega_a)^(omega_b) e^(j omega n) domega ) = 1/(2 pi n j)( e^(-j omega_b n) - e^(-j omega_a n) + e^(j omega_b n) - e^(j omega_a n) )= ( e^(j omega_b n) + e^(-j omega_b n))/(j 2 pi n) - (e^(j omega_a n) + e^(-j omega_a n))/(j 2 pi n)$
quindi si, è giusto
Per cyd.
Dove? Al primo passaggio.
Si tratta dell'integrale elementare $ int e^(alpha * x) dx = 1/{alpha} * e^(alpha * x) $ che tu invece hai risolto come $ 1/{alpha *x} * e^(alpha * x) $
Dove? Al primo passaggio.
Si tratta dell'integrale elementare $ int e^(alpha * x) dx = 1/{alpha} * e^(alpha * x) $ che tu invece hai risolto come $ 1/{alpha *x} * e^(alpha * x) $
appunto XD e non mi chiedere il perchè
"ZioPaolo":
Infatti considerando che $ \omega_{a} < \omega_{b} $ per costruzione, allora deve essere $ - \omega_{b} < - \omega_{a} $ e quindi gli estremi di integrazione del tuo primo integrale vanno scambiati.
Grazie mille ZioPaolo! Che errore banale! Occorrerà segnalarlo al prof.
Ciao a tutti.
E grazie di nuovo!
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