Proprietà dei sistemi nel dominio del tempo
Buongiorno a tutti!! 
Volevo sapere come si può provare che un sistema è stabile.Sulla dispensa che ho c'è scritto che per provare che un sistema è stabile, bisogna supporre che l’ingresso sia arbitrario ma limitato, cioè che valga la condizione $|x(·)|<=K_x$, per ogni valore di tempo, e trovare un’opportuna maggiorazione per l’uscita, ovvero trovare un valore $K_y ∈ R_+$ tale che $|y(·)|<= K_y$, per ogni valore di tempo.
Non riesco a capire queste due costanti come le trovo?
Volevo sapere come si può provare che un sistema è stabile.Sulla dispensa che ho c'è scritto che per provare che un sistema è stabile, bisogna supporre che l’ingresso sia arbitrario ma limitato, cioè che valga la condizione $|x(·)|<=K_x$, per ogni valore di tempo, e trovare un’opportuna maggiorazione per l’uscita, ovvero trovare un valore $K_y ∈ R_+$ tale che $|y(·)|<= K_y$, per ogni valore di tempo.
Non riesco a capire queste due costanti come le trovo?
Risposte
Un ingresso [tex]x(t)[/tex] (più in generale una funzione) è limitato per definizione se [tex]|x(t)|\leq M[/tex], con M costante. Questa è l'ipotesi di partenza che utilizzi per dimostrare quale condizione deve essere soddisfatta affinchè un sistema sia stabile (stabilità BIBO ovvero BoundedInputBoundedOutput) in presenza di un ingresso limitato. Per fare questo, quindi, ti basta dimostrare che [tex]|y(t)|<+\infty[/tex].
"K.Lomax":
Un ingresso [tex]x(t)[/tex] (più in generale una funzione) è limitato per definizione se [tex]|x(t)|\leq M[/tex], con M costante. Questa è l'ipotesi di partenza che utilizzi per dimostrare quale condizione deve essere soddisfatta affinchè un sistema sia stabile (stabilità BIBO ovvero BoundedInputBoundedOutput) in presenza di un ingresso limitato. Per fare questo, quindi, ti basta dimostrare che [tex]|y(t)|<+\infty[/tex].
Capito!Quindi ad esempio se suppongo di avere un sistema che abbia una relazione i-u data da:
$y(t)=x(t)*cos(t+1)$
e introduco in ingresso un impulso rettangolare $x(t)=rect(t)$ otterrò una risposta limitata data da $y(t)=rect(t)*cos(t+1)$ e quindi il sistema sarà stabile in senso BIBO.Sbaglio?
Ok per quel particolare esempio sai che il sistema è BIBO. Ma a te serve una condizione generale che, a partire dalla fdt del sistema, ti permetta di determinare per qualsiasi ingresso limitato se quel sistema è stabile o meno. Per i sistemi LTI, si dimostra (proprio nel modo precedentemente suggerito) che la seguente condizione
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)dt<\infty[/tex]
è necessaria e sufficiente per la stabilità BIBO. E' importante questa condizione in quanto ti permette di valutare la stabilità del sistema conoscendo semplicemente la sua fdt.
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)dt<\infty[/tex]
è necessaria e sufficiente per la stabilità BIBO. E' importante questa condizione in quanto ti permette di valutare la stabilità del sistema conoscendo semplicemente la sua fdt.
"K.Lomax":
Ok per quel particolare esempio sai che il sistema è BIBO. Ma a te serve una condizione generale che, a partire dalla fdt del sistema, ti permetta di determinare per qualsiasi ingresso limitato se quel sistema è stabile o meno. Per i sistemi LTI, si dimostra (proprio nel modo precedentemente suggerito) che la seguente condizione
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)dt<\infty[/tex]
è necessaria e sufficiente per la stabilità BIBO. E' importante questa condizione in quanto ti permette di valutare la stabilità del sistema conoscendo semplicemente la sua fdt.
Credo ci sia un errore di battitura.... sicuramente intedevi
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\vert h(t)\vert dt<\infty[/tex]
Ho questo esercizio.
Si discuta la stabilitò del sistema al variare di a e b reali, e per quali valori di a e b si ha stabilità BIBO
$G(s) = (s+a)/(s*(s+b))$
é giusto il seguente ragionamento?
Siccome per la stabilità bisogna controllare solo i poli, ho un polo nell'origine e uno variabile...se $b>0$ il sistema è asintoticamente stabile, se $b<=0$ è instabile
E per la stabilitò BIBO?
Si discuta la stabilitò del sistema al variare di a e b reali, e per quali valori di a e b si ha stabilità BIBO
$G(s) = (s+a)/(s*(s+b))$
é giusto il seguente ragionamento?
Siccome per la stabilità bisogna controllare solo i poli, ho un polo nell'origine e uno variabile...se $b>0$ il sistema è asintoticamente stabile, se $b<=0$ è instabile
E per la stabilitò BIBO?
Grazie a tutti per avermi risposto!Volevo,inoltre,sapere se è corretto il seguente procedimento dove si verifica che il sistema $y(t)=sign[x(t)]$ è "non lineare":
Applico il principio di sovrapposizione e verifico la proprietà di omogeneità:
$S[\alphax(t)]=sign[\alphax(t)]!=\alphaS[x(t)]=\alphasign[x(t)]$
il sistema non è omogeneo.Inoltre verificando anche la proprietà di additività:
$S[sign[x_1(t)+x_2(t)]]=sign[x_1(t)+x_2(t)]!=S[sign[x_1(t)]]+S[sign[x_2(t)]]=sign[x_1(t)]+sign[x_2(t)]$
il sistema non è additivo dunque non è lineare.
Applico il principio di sovrapposizione e verifico la proprietà di omogeneità:
$S[\alphax(t)]=sign[\alphax(t)]!=\alphaS[x(t)]=\alphasign[x(t)]$
il sistema non è omogeneo.Inoltre verificando anche la proprietà di additività:
$S[sign[x_1(t)+x_2(t)]]=sign[x_1(t)+x_2(t)]!=S[sign[x_1(t)]]+S[sign[x_2(t)]]=sign[x_1(t)]+sign[x_2(t)]$
il sistema non è additivo dunque non è lineare.
@ninja986
I poli devono essere a parte reale negativa anche per la stabilità BIBO (la dimostrazione la trovi qui http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability)
@folgore
Ok.
I poli devono essere a parte reale negativa anche per la stabilità BIBO (la dimostrazione la trovi qui http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability)
@folgore
Ok.
"K.Lomax":
@folgore
Ok.
Grazie mille!!!
"K.Lomax":
@ninja986
I poli devono essere a parte reale negativa anche per la stabilità BIBO (la dimostrazione la trovi qui http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability)
Rimarcherei il fatto che la stabilità del sistema non è sempre coincidente con la stabilità derivata dall'analisi dei poli, parti nascoste preesistenti instabili, o introdotte a causa di semplificazioni, comunque rendono il sistema instabile anche se magari l'uscita non lo è.
il ragionamento che hai fatto tu vale se il sistema è in forma minima, ovvero se non avvengono semplificazione polo-zero nel calcolo della funzione di trasferimento tramite le matrici della rappresentazione di stato A,B,C.
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