Proprietà convoluzione trasformata di Fourier
Ho un segnale $$ x(t) = \frac{1}{T} e^{- \frac{t}{T}} u(t) $$ e la sua trasformata $$ X(f) = \frac{1}{1+i w T } $$ e devo trovare z(t) e Z(f) sapendo che $$ z(t) = x(t) \circledast x(t) $$. subito ho trovato $$ Z(f) = [ \frac{1}{1+ i w T}]^{2} $$ sapendo che la trasformata di Fourier di due segnali ( in questo caso x(t) ) è uguale al prodotto delle trasformate dei due segnali ( quindi X(f)X(f) ). Ora però non riesco a capire come trovare z(t) 
ho provato a fare la derivata di $$ X’(f) = -i2 \pi T Z(f) $$ quindi ora se dovessi fare la antitrasformata di questo risultato otterrei $$ z’(t) $$. Ammesso che quello che ho scritto abbia un senso , poi non so come ricavare z(t) 
ho provato a fare la derivata di $$ X’(f) = -i2 \pi T Z(f) $$ quindi ora se dovessi fare la antitrasformata di questo risultato otterrei $$ z’(t) $$. Ammesso che quello che ho scritto abbia un senso , poi non so come ricavare z(t)
Risposte
Devi passare per forza tramite Fourier?
Quell'integrale di convoluzionee puoi svolgerlo più semplicemente nel dominio del tempo.
\(\left (x*x \right )\left ( t \right )=\left ( \frac{1}{T} \right )^{2}\int_{0}^{t}e^{-\frac{\tau }{T}}e^{-\frac{\left ( t-\tau \right )}{T}}d\tau =\left ( \frac{1}{T} \right )^{2}t\cdot e^{-\frac{t}{T}}\)
Quell'integrale di convoluzionee puoi svolgerlo più semplicemente nel dominio del tempo.
\(\left (x*x \right )\left ( t \right )=\left ( \frac{1}{T} \right )^{2}\int_{0}^{t}e^{-\frac{\tau }{T}}e^{-\frac{\left ( t-\tau \right )}{T}}d\tau =\left ( \frac{1}{T} \right )^{2}t\cdot e^{-\frac{t}{T}}\)
Grazie mille !!!!! In effetti usare l’integrale di convoluzione era più logico quando hai tempo potresti aiutarmi a capire se il metodo che ho usato io per trovare z(t) ha un minimo di senso ? vorrei cercare di capire come svolgerlo in entrambi i modi grazie mille !
quando hai tempo potresti aiutarmi a capire se il metodo che ho usato io per trovare z(t) ha un minimo di senso ? vorrei cercare di capire come svolgerlo in entrambi i modi grazie mille !
"enna":
quando hai tempo potresti aiutarmi a capire se il metodo che ho usato io per trovare z(t) ha un minimo di senso ?
Certamente che ha senso, ma và usato quando hai abbastanza esperienza per farlo.
Partiamo dalla trasformata di Fourier della funzione:
\(X\left ( \omega \right )=ℱ\left [ \frac{1}{T} \cdot e^{-\frac{t}{T}}\cdot u\left ( t \right )\right ]=\frac{1}{1+j\omega T}\)
Dalle proprietà della trasformata una moltiplicazione della funzione con se stessa nella variabile $\omega$ equivale ad una convoluzione nella variabile $t$
\(X\left ( \omega \right )X\left ( \omega \right )=\frac{1}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}\)
Di solito si antitrasforma questo risultato per avere una convoluzione nella variabile $t$
Vediamo di evitare l'antitrasformata.
Cerchiamo di arrivare allo stesso risultato della moltiplicazione tramite qualche manipolazione...
Proviamo a derivare e moltiplicare per $j$ la trasformata dela funzione:
\(j\cdot \frac{d}{d\omega }\left ( \frac{1}{1+j\omega T} \right )=\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}\)
Ci siamo quasi, c'è solamente una $T$ al numeratore che mi disrurba.
Divido per $1/T$:
\(\frac{1}{T}\cdot \frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}=\frac{1}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}\)
Ecco fatto
In pratica ho derivato in $\omega$ e moltiplicato per una costante $j/T$.
Dalle proprietà della trasformata questo equivale ad una moltiplicazione per $t/T$ nella variabile $t$
Adesso antitrasformo usando solamente le proprietà :
\(ℱ^{-1}\left [ \frac{1}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}} \right ]=\left (\frac{1}{T} \right )^{2}\cdot t\cdot e^{-\frac{t}{T}}\)
\(X\left ( \omega \right )=ℱ\left [ \frac{1}{T} \cdot e^{-\frac{t}{T}}\cdot u\left ( t \right )\right ]=\frac{1}{1+j\omega T}\)
Dalle proprietà della trasformata una moltiplicazione della funzione con se stessa nella variabile $\omega$ equivale ad una convoluzione nella variabile $t$
\(X\left ( \omega \right )X\left ( \omega \right )=\frac{1}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}\)
Di solito si antitrasforma questo risultato per avere una convoluzione nella variabile $t$
Vediamo di evitare l'antitrasformata.
Cerchiamo di arrivare allo stesso risultato della moltiplicazione tramite qualche manipolazione...
Proviamo a derivare e moltiplicare per $j$ la trasformata dela funzione:
\(j\cdot \frac{d}{d\omega }\left ( \frac{1}{1+j\omega T} \right )=\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}\)
Ci siamo quasi, c'è solamente una $T$ al numeratore che mi disrurba.
Divido per $1/T$:
\(\frac{1}{T}\cdot \frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}=\frac{1}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}}\)
Ecco fatto
In pratica ho derivato in $\omega$ e moltiplicato per una costante $j/T$.
Dalle proprietà della trasformata questo equivale ad una moltiplicazione per $t/T$ nella variabile $t$
Adesso antitrasformo usando solamente le proprietà
:\(ℱ^{-1}\left [ \frac{1}{\left ( 1+j\omega T \right )^{2}} \right ]=\left (\frac{1}{T} \right )^{2}\cdot t\cdot e^{-\frac{t}{T}}\)
Grazie mille !!!!!!!!!!!! ora ho capito !!! Non avendo abbastanza esperienza mi sono persa per strada e dopo la derivata non sapevo più nemmeno cosa stavo cercando di fare. Poi tentavo di applicare la proprietà senza aver tolto di mezzo T e ignorando il quadrato
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