Prodotto di convoluzione..stessa cosa?
ciao ragazzi,volevo un vostro parere, non ho ben capito qual 'è la definizione corretta di prodotto di convoluzione: cioè la definizione corretta è la seguente x(t)*y(t)=int(-inf,+inf)x(t)y(t-tau) oppure x(tau)*y(tau)=int(-inf,+inf)x(t)y(t-tau).. dove * è il simbolo di convoluzione?Secondo voi le due definzioni sono equivalenti? e se si perkè? grazie mille
Risposte
dai un occhiata su come scrivere le formule 
ciao ragazzi,volevo un vostro parere, non ho ben capito qual 'è la definizione corretta di prodotto di convoluzione: cioè la definizione corretta è la seguente x(t)*y(t)=$int_{-infty}^{+infty}x(t)y(t-$\tau$)$ oppure x($\tau$)*y($tau$)=$int_{-infty}^{+infty}x(t)y(t-$\tau$)$.. dove * è il simbolo di convoluzione?Secondo voi le due definzioni sono equivalenti? e se si perkè? grazie mille.. scusate ma n sn pratico nell'uso del codice.. ciao
Devi mettere il $"d"t$ nell'integrale, in queste applicazioni è importante perché ti permette di distinguere le due variabili. La definizione di prodotto di convoluzione su $RR$ è:
$x \star y (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t- \tau) y(t) "d"t$
$x \star y (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t- \tau) y(t) "d"t$
"dissonance":
Devi mettere il $"d"t$ nell'integrale, in queste applicazioni è importante perché ti permette di distinguere le due variabili. La definizione di prodotto di convoluzione su $RR$ è:
$x \star y (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t- \tau) y(t) "d"t$
Se non erro il prodotto di convoluzione è commutativo, ovvero
[tex]\displaystyle (x \star y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t- \tau) y(\tau) d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) y(t- \tau)d\tau[/tex]
Perchè mi pare questa fosse la domanda fatta...
e ma n capisco al primo membro dell'equazione ho x(t)*y(t) o x($/tau$)y($/tau$)?
"sasasa87":
e ma n capisco al primo membro dell'equazione ho x(t)*y(t) o x($tau$)*y($tau$)?
non cambia, la variabile del prodotto di convoluzione, all'interno dell'integrale è un parametro, se cambi i nomi alle variabili il risultato non cambia:
[tex]$(x\star y)(\tau) = \int_\mathbb{R} x(\tau - t) y(t) dt = \int_\mathbb{R} x(t) y(\tau - t) dt$[/tex]
[tex]$(x\star y)(\tau) = \int_\mathbb{R} x(\tau - t) y(t) dt = \int_\mathbb{R} x(t) y(\tau - t) dt$[/tex]
La variabile rispetto alla quale devi integrare è quella che compare in tutte e due le funzioni.
Giusto: [tex]\displaystyle x \star y (\tau)=\int_{\mathbb{R}}x(t-\tau)y(t)\,dt[/tex]
Sbagliato: [tex]\displaystyle x \star y (\tau)=\int_{\mathbb{R}}x(t-\tau)y(t)\,d\tau[/tex]
Giusto: [tex]\displaystyle x \star y (\tau)=\int_{\mathbb{R}}x(t-\tau)y(t)\,dt[/tex]
Sbagliato: [tex]\displaystyle x \star y (\tau)=\int_{\mathbb{R}}x(t-\tau)y(t)\,d\tau[/tex]
ragazzi grazie mille per le risposte... vorrei capire solo un' ultima cosa ..ma perkè se la funzioni da convolvere(si dice così) sono entrambi funzioni di tau la variabile di integrazione diventa t, e viceversa--- da cosa dipende questo fatto---
Quella [tex]\tau[/tex] che vedi è la variabile dalla quale dipende la funzione che viene fuori dal prodotto di convoluzione. Se decidi di integrare rispetto a [tex]t[/tex] la funzione che viene fuori non può che dipendere solo da [tex]\tau[/tex] e viceversa. In altre parole
[tex](x*y)(\tau)[/tex]
ti dice che la funzione che viene fuori dalla convoluzione dipenderà da [tex]\tau[/tex].
[tex](x*y)(\tau)[/tex]
ti dice che la funzione che viene fuori dalla convoluzione dipenderà da [tex]\tau[/tex].
credo il mio problema sia a monte nel senso ke non ho capito bene la definizione e quanto altro c'è sulla convoluzione anke perkè ad essere sincero al corso mi è stata data come formula da imparare e basta e quindi non ci vado molto daccordo...ho capito la tua risposta ma n capisco ancora perchè se integro in t la funzione che mi esce è ""funzione di tau"... se puoi rispondi altrimenti n fa nulla in un modo o nell'altro la ricorderò--grazie cmq ciao
Hai che $int_RR x(t-tau) y(t) dt =int_-oo^(+00) x(t-tau)y(t)dt $.
La variabile $t $ è la variabile di integrazione e varia tra due valori numerici ( in questo caso è un po ' azzardato chiamarli valori numerici visto che sono $+-oo$) e quindi $ t $ sparisce dal risultato che sarà solo funzione di $tau $.
Se pensi al caso banale $int_ 0^2 (2+t) ( tau-2 ) dt = 6(tau-2) $ vedi che non c'è più dipendenza da $t $ che è la variabile di integrazione dell'integrale definito.
Meglio questo esempio : $ int_0^2 (t-tau)(t+2)dt = int_0^2 (t^2+2t-tau(t+2))dt= [t^3/3+t^2-tau^2/2(t+2)]_0^2 $ e ricordando che la variabile di integrazione era $ t $ otterrai : $ 20/3-tau^2 $ funzione solo di $tau $.
La variabile $t $ è la variabile di integrazione e varia tra due valori numerici ( in questo caso è un po ' azzardato chiamarli valori numerici visto che sono $+-oo$) e quindi $ t $ sparisce dal risultato che sarà solo funzione di $tau $.
Se pensi al caso banale $int_ 0^2 (2+t) ( tau-2 ) dt = 6(tau-2) $ vedi che non c'è più dipendenza da $t $ che è la variabile di integrazione dell'integrale definito.
Meglio questo esempio : $ int_0^2 (t-tau)(t+2)dt = int_0^2 (t^2+2t-tau(t+2))dt= [t^3/3+t^2-tau^2/2(t+2)]_0^2 $ e ricordando che la variabile di integrazione era $ t $ otterrai : $ 20/3-tau^2 $ funzione solo di $tau $.
[tex]$z(t) = x(t)\star y(t) = (x\star y)(t)\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t-\tau) d\tau$[/tex]
La convoluzione in questo caso è una funzione di [tex]$t$[/tex], fissiamo un punto [tex]$t_0$[/tex], a questo punto [tex]$z(t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)y(t_0 - \tau) d\tau$[/tex]
Questo integrale cosa rappresenta? Lo puoi vedere come l'area sottesa al prodotto di [tex]$x(\tau)$[/tex] e [tex]$y(t_0 - \tau)$[/tex] dove quest'ultima è la versione traslata di [tex]t_0[/tex] e poi ribaltata rispetto all'asse delle ordinate della funzione [tex]$y(\tau)$[/tex].
Facendo variare [tex]t_0[/tex], vari la traslazione di [tex]y[/tex], quindi varia l'area sottesa al quel prodotto.
http://www.jhu.edu/signals/convolve/, secondo me questo link può aiutarti a capire, è una semplice applet java che ti permette di vedere cosa succede nel calcolo della convoluzione.
La convoluzione in questo caso è una funzione di [tex]$t$[/tex], fissiamo un punto [tex]$t_0$[/tex], a questo punto [tex]$z(t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)y(t_0 - \tau) d\tau$[/tex]
Questo integrale cosa rappresenta? Lo puoi vedere come l'area sottesa al prodotto di [tex]$x(\tau)$[/tex] e [tex]$y(t_0 - \tau)$[/tex] dove quest'ultima è la versione traslata di [tex]t_0[/tex] e poi ribaltata rispetto all'asse delle ordinate della funzione [tex]$y(\tau)$[/tex].
Facendo variare [tex]t_0[/tex], vari la traslazione di [tex]y[/tex], quindi varia l'area sottesa al quel prodotto.
http://www.jhu.edu/signals/convolve/, secondo me questo link può aiutarti a capire, è una semplice applet java che ti permette di vedere cosa succede nel calcolo della convoluzione.
grazie mille..avevo pensato a tutt'altro -... ciao 
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