Potenziale elettrico Fisica II
Salve ho un problema che mi dice:
Una distribuzione continua di cariche occupa il volume di una regione di spazio cilindrica (raggio di base R;altezza h=4R) con centro nell'origine e asse coincidente con l'asse z.All'interno del cilindro è presente un campo elettrico di equazioni:
$ E_x=0 E_y=0 E_z=az^2 $ (a>0 costante)
Determinare l'espressione della densità di carica internamente al cilindro e la carica totale posseduta dal cilindro stesso.Inoltre determinare l'andamento del potenziale elettrico generato a grande distanza dall'origine dalla distribuzione cilindrica di carica.
[risultati]$\rho=2\epsilon_0 a z;Q_t=0;V(r)=1/(4\pi\epsilon_0) (\vec p * \vec r)/r^3$ con $ \vec p=\hat k 32/3 a\epsilon_0\pi R^5$
I primi due punti (densità e carica totale) mi sono chiari e mi trovo... il problema è il potenziale.
Ho ragionato così:
il cilindro poiché possiede una carica positiva nella metà superiore del volume del cilindro e una carica negativa uguale a quella positiva nella metà inferiore del volume del cilindro l'ho considerato come dipolo elettrico. Inoltre vogliamo conoscere il potenziale a grandi distanze dal centro quindi possiamo utilizzare la formula $V(r)=1/(4\pi\epsilon_0) (\vec p * \vec r)/r^3$ e non mi resta che calcolare $\vec p$
$\vec p=q*\vec \delta$ dove delta è la distanza tra i due "poli" del dipolo.
$q=\int_\tau \rho d\tau=\rho \int_\tau d\tau$ dove l'integrale rappresenta metà del volume del cilindro quindi
$q=\rho * 2\pi R^3$ sostiuisco $\rho=2\epsilon_0Ra$
$q=4\pi a \epsilon_0 R^4$
$\vec \delta=\hat k \delta$ poiché il vettore distanza tra la carica negativa e quella positiva è rivolto verso l'asse positivo delle $z$ e ha modulo pari a $2R$ quindi $\vec delta=\hat k 2R$
Sostituisco tutto nella formula iniziale di $\vec p$
$\vec p=\hat k 8a\epsilon_0\pi R^5$
Dovè che sbaglio? Mi trovo questo $4/3$ in meno che non riesco a capire da dove esce...
Aiutatemi!!!!
Una distribuzione continua di cariche occupa il volume di una regione di spazio cilindrica (raggio di base R;altezza h=4R) con centro nell'origine e asse coincidente con l'asse z.All'interno del cilindro è presente un campo elettrico di equazioni:
$ E_x=0 E_y=0 E_z=az^2 $ (a>0 costante)
Determinare l'espressione della densità di carica internamente al cilindro e la carica totale posseduta dal cilindro stesso.Inoltre determinare l'andamento del potenziale elettrico generato a grande distanza dall'origine dalla distribuzione cilindrica di carica.
[risultati]$\rho=2\epsilon_0 a z;Q_t=0;V(r)=1/(4\pi\epsilon_0) (\vec p * \vec r)/r^3$ con $ \vec p=\hat k 32/3 a\epsilon_0\pi R^5$
I primi due punti (densità e carica totale) mi sono chiari e mi trovo... il problema è il potenziale.
Ho ragionato così:
il cilindro poiché possiede una carica positiva nella metà superiore del volume del cilindro e una carica negativa uguale a quella positiva nella metà inferiore del volume del cilindro l'ho considerato come dipolo elettrico. Inoltre vogliamo conoscere il potenziale a grandi distanze dal centro quindi possiamo utilizzare la formula $V(r)=1/(4\pi\epsilon_0) (\vec p * \vec r)/r^3$ e non mi resta che calcolare $\vec p$
$\vec p=q*\vec \delta$ dove delta è la distanza tra i due "poli" del dipolo.
$q=\int_\tau \rho d\tau=\rho \int_\tau d\tau$ dove l'integrale rappresenta metà del volume del cilindro quindi
$q=\rho * 2\pi R^3$ sostiuisco $\rho=2\epsilon_0Ra$
$q=4\pi a \epsilon_0 R^4$
$\vec \delta=\hat k \delta$ poiché il vettore distanza tra la carica negativa e quella positiva è rivolto verso l'asse positivo delle $z$ e ha modulo pari a $2R$ quindi $\vec delta=\hat k 2R$
Sostituisco tutto nella formula iniziale di $\vec p$
$\vec p=\hat k 8a\epsilon_0\pi R^5$
Dovè che sbaglio? Mi trovo questo $4/3$ in meno che non riesco a capire da dove esce...
Aiutatemi!!!!
Risposte
"Prophet000000":
... Dovè che sbaglio? Mi trovo questo $4/3$ in meno che non riesco a capire da dove esce...!
Sbagli nel non ricordare che
$\vec p=\hat k \ \int_{-2R}^{2R} \lambda (z)\ z \ \text{d}z$
la carica è distribuita, non concentrata alle estremità del cilindro.
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