Potenza processo aleatorio

[p4ngm4n]

dato il processo $X(t)=Acos(2pif_ot)$ dove A è una variabile aleatoria a media nulla e varianza $sigma^2$ determinare la potenza del processo $y(t)$ ottenuto facendo passare $x(t)$ attraverso un filtro LTI con risposta in frequenza nota $H(f)$

allora io so che vale questa relazione $S_y(f)=S_x(f)|H(f)|^2$ dove con $S(f)$ indico la PSD, con $R_x(t)$ la funzione di autocorrelazione.
Calcolo prima $S_x(f)=FT[]=1/4sigma^2FT[cos(2pif_0tau)]=1/4sigma^2[delta(f-f_0)+delta(f+f_0)]$

a questo punto ottengo $P_y(t)=R_y(0)=int_(-oo)^(+oo)S_y(f)df=1/2|H(f_0)|^2$

Ho saltato qualche passaggio, se necessario posso postarli tutti; vi chiedo se lo svolgimento è corretto

[Ska1]

Come fai a dire che $Rx(t,t+\tau) = \cos(2\pi f_0 \tau)$?

[p4ngm4n]

"Ska":Come fai a dire che $Rx(t,t+\tau) = \cos(2\pi f_0 \tau)$?

$R_x(t,t+tau)=E[X(t)X(t+tau)]=E{[Acos(omega_0t)][Acos(omega_0(t+tau))]}=E[A^2]cos(omega_0t)cos[omega_0(t+tau)]=$formula di Werner=$1/2sigma^2[cos(omega_0tau)+cos(2omega_0t+omega_0tau)]$

facendo $$$=1/2sigma^2cos(omega_0tau)$ le <> indicano l'operazione di media temporale

[p4ngm4n]

siamo d'accordo su questo?

[Ska1]

Non avevo visto la media temporale, scusa...

Sì mi sembra corretto

[p4ngm4n]

tutto l'esercizio???

[Ska1]

Sì, quello che ottieni dovrebbe essere però la potenza media del processo in uscita.

[p4ngm4n]

e l'esercizio cosa chiede?la potenza del processo in uscita...non è quella che ho trovato?

[Ska1]

Vedo scritto $P_y(t)$ quando in realtà è $P_y$

[p4ngm4n]

giusto...grazie...ma $Py$ è proprio quello che chiede l'esercizio o c'è qualche altro tipo di potenza che adesso non mi viene in mente?

[Ska1]

Se tu prendi $R_x(t,t+\tau)|_{\tau=0} = P_x(t)$ la potenza istantanea. Tu avendo fatto la media temporale per poter calcolare $S_x(f)$ da cui hai solo la potenza media.

[p4ngm4n]

allora mi serve la potenza istantanea...quanto varrebbe questa potenza?puoi aiutarmi nel calcolo?

[Ska1]

Allora devi passarre per il calcolo dell'autocorrelazione del processo in uscita, $E[Y(t)Y(t+\tau)] = E[\int_\mathbb{R} X(t - \alpha)h(\alpha)d\alpha \int_\mathbb{R} X(t + \tau - \beta)h(\beta)d\beta ] = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} E[X(t-\alpha) X(t+\tau-\beta)]h(\alpha)h(\beta)d\alpha d\beta = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} R_x(t-\alpha,t+\tau-\beta)h(\alpha)h(\beta)d\alpha d\beta$

Nel tuo caso $R_x(t,t+\tau) = \sigma^2\cos(2\pi f_0 t) \cos(2\pi f_0 (t+\tau))$ da cui $\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} R_x(t-\alpha,t+\tau-\beta)h(\alpha)h(\beta)d\alpha d\beta = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \sigma^2 \cos(2\pi f_0(t-\alpha)) \cos(2\pi f_0(t+\tau - \beta))h(\alpha)h(\beta)d\alpha d\beta$ che in questo particolare caso sembra semplice infatti si può scrivere come prodotto di due convoluzioni:

$\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \sigma^2 \cos(2\pi f_0(t-\alpha)) \cos(2\pi f_0(t+\tau - \beta))h(\alpha)h(\beta)d\alpha d\beta = \sigma^2 (\int_\mathbb{R} \cos(2\pi f_0 (t-\alpha)) h(\alpha)d\alpha)(\int_\mathbb{R} \cos(2\pi f_0 (t+\tau-\beta)) h(\beta)d\beta) = \sigma^2 (\cos(2\pi f_0 t) \star h(t))(\cos(2\pi f_0 (t+\tau))\star h(t))$

[p4ngm4n]

"Ska":
$\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \sigma^2 \cos(2\pi f_0(t-\alpha)) \cos(2\pi f_0(t+\tau - \beta))h(\alpha)h(\beta)d\alpha d\beta = \sigma^2 (\int_\mathbb{R} \cos(2\pi f_0 (t-\alpha)) h(\alpha)d\alpha)(\int_\mathbb{R} \cos(2\pi f_0 (t+\tau-\beta)) h(\beta)d\beta) = \sigma^2 (\cos(2\pi f_0 t) \star h(t))(\cos(2\pi f_0 (t+\tau))\star h(t))$

caratterizzando quest espressione per $tau=0$ ottengo $P_y(t)$
grazie 1000

[Ska1]

Sì

[p4ngm4n]

Scusate se ripesco questo topic che sembrava chiuso...spero soprattutto nell'aiuto di Ska che ha seguito l'esercizio...mi chiedevo se si potesse svolgere nel dominio della frequenza e poi riportarsi in quello del tempo...o questa nei post precedenti è l'unica soluzione???Grazie