Potenza media segnale periodico
Dovevo risolvere un esercizio che , dati $ x(t) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } rect ( \frac{ t - nT_0 }{ \frac{T_0}{2} } ) $ e $ y(t) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } tri ( frac { 2(t- nT_0 ) }{T_0 } ) $ mi chiedeva di trovare $ P_x (f) , P_y(f) , P_x e P_y $ io ho trovato che
$ P_y(f) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } \frac{1}{4} ( sinc ( \frac {k}{2} ) )^{4} \delta (f- kf_0 ) $
$ P_x(f) = \sum_{-\infty} ^{+ \infty } \frac{1}{4} ( sinc ( \frac {k}{2} ) )^{2} \delta (f- kf_0 ) $
$ P_x = \sum_{-\infty} ^{+ \infty } \frac{1}{4} \frac { ( sen ( \frac {\pi k}{2} ) )^{2} }{ { \frac{k \pi }{2} }^{2}} $
$ P_y = \sum_{-\infty}^{+ \infty } \frac{1}{4} \frac{ ( sen ( \frac {\pi k}{2} ) )^{4}}{{\frac{k \pi }{2} }^{4} } $
I risultati sono gli stessi ottenuti dal libro ma per trovare le potenze medie utilizza poi il ‘ problema di Basilea ‘ e qui mi sono persa. Partendo dal fatto che non sapevo sinceramente cosa fosse , e non avendone trovato traccia sul mio libro , ho cercato su diversi siti. Posto qui la soluzione Perché non riesco a capire come è passato dalla formula della potenza media che ho ottenuto anche io ai due passaggi successivi , $ \frac {1}{4} + 2 $ e il passaggio con sommatoria k dispari. Avendo quelli e sapendo che $ \frac{1}{k^{2} } = \frac{ \pi^{2} } {6} $ allora i calcoli mi tornano e ottengo la sua stessa potenza media ma ho un buco nero sulla teoria applicata in quei due passaggi
$ P_y(f) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } \frac{1}{4} ( sinc ( \frac {k}{2} ) )^{4} \delta (f- kf_0 ) $
$ P_x(f) = \sum_{-\infty} ^{+ \infty } \frac{1}{4} ( sinc ( \frac {k}{2} ) )^{2} \delta (f- kf_0 ) $
$ P_x = \sum_{-\infty} ^{+ \infty } \frac{1}{4} \frac { ( sen ( \frac {\pi k}{2} ) )^{2} }{ { \frac{k \pi }{2} }^{2}} $
$ P_y = \sum_{-\infty}^{+ \infty } \frac{1}{4} \frac{ ( sen ( \frac {\pi k}{2} ) )^{4}}{{\frac{k \pi }{2} }^{4} } $
I risultati sono gli stessi ottenuti dal libro ma per trovare le potenze medie utilizza poi il ‘ problema di Basilea ‘ e qui mi sono persa. Partendo dal fatto che non sapevo sinceramente cosa fosse , e non avendone trovato traccia sul mio libro , ho cercato su diversi siti. Posto qui la soluzione Perché non riesco a capire come è passato dalla formula della potenza media che ho ottenuto anche io ai due passaggi successivi , $ \frac {1}{4} + 2 $ e il passaggio con sommatoria k dispari. Avendo quelli e sapendo che $ \frac{1}{k^{2} } = \frac{ \pi^{2} } {6} $ allora i calcoli mi tornano e ottengo la sua stessa potenza media ma ho un buco nero sulla teoria applicata in quei due passaggi
Risposte
caspita che calcoli brutti, si poteva calcolare banalmente nel dominio del tempo. comunque:
prendiamo in considerazione la prima riga dell'immagine ovvero il calcolo di $P_x$.
Per $k = 0$ il termine della sommatoria vale $1/4$ (vedi come è definita la funzione $sinc(x)$), e questo $1/4$ te lo ritrovi dopo l'uguale.
Per $k$ pari il seno vale $0$, quindi lavoriamo solo con $k$ dispari.
Essendo che ci sono dei quadrati possiamo far partire la sommatoria da $1$ invece che da $-infty$ mettendo un due a moltiplicare fuori dalla sommatoria.
E questo è il primo passaggio.
Dopodichè, il problema di basilea è risolto per tutti i $k$ ma noi abbiamo solo una sommatoria per $k$ dispari, allora che facciamo? riscriaviamo la sommatoria come differenza di due sommatorie, ovvero, calcoliamo la somma per tutti i $k$ e poi, sottraiamo tutti i $k$ pari.
Ciao!
prendiamo in considerazione la prima riga dell'immagine ovvero il calcolo di $P_x$.
Per $k = 0$ il termine della sommatoria vale $1/4$ (vedi come è definita la funzione $sinc(x)$), e questo $1/4$ te lo ritrovi dopo l'uguale.
Per $k$ pari il seno vale $0$, quindi lavoriamo solo con $k$ dispari.
Essendo che ci sono dei quadrati possiamo far partire la sommatoria da $1$ invece che da $-infty$ mettendo un due a moltiplicare fuori dalla sommatoria.
E questo è il primo passaggio.
Dopodichè, il problema di basilea è risolto per tutti i $k$ ma noi abbiamo solo una sommatoria per $k$ dispari, allora che facciamo? riscriaviamo la sommatoria come differenza di due sommatorie, ovvero, calcoliamo la somma per tutti i $k$ e poi, sottraiamo tutti i $k$ pari.
Ciao!
Grazie mille !!! Scusa il ritardo con cui rispondo ! In generale ho capito decisamente meglio però ho ancora una domanda .. non riesco a capire bene la ragione di quel 2 fuori dalla sommatoria. Se k=1 io ottengo $ \frac{1}{4} \frac{1}{ \frac{ \pi ^{2} }{4} } $
inizialmente la somamtoria è da $-infty$ a $+infty$, dopo la scrive da $1$ a $+infty$ ma per fare ciò deve mettere un due davanti la sommatoria e in più deve sommare $1/4$
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