Potenza di un segnale
Salve a tutti ho problemi su questo esercizio:
Stabilire se il seguente segnale è di potenza o energia e calcolare il valor medio l'energia e la potenza:
$x(t)=Ae^-t*sen(2pif_0t)u(t)$
Ho provato ad applicare la formula della potenza $P_x=lim_(T->oo) 1/T(int_0^(+oo) A^2e^(-2t)[(e^(4pif_0jt)-e^(-4pif_0jt))/(4j^2)]dt$
dove $[(e^(4pif_0jt)-e^(-4pif_0jt))/(4j^2)]=sen^2(2pif_0t)$ ottenuto dalla formula di Eulero ma risolvendo l'integrale mi viene $0$.Ciò mi fa pensare che trasformando il $sen(2pif_0t)$ con la formula di Eulero ottengo un segnale di energia in quanto la potenza risulta nulla.Il risultato di questo esercizio però riporta $P_x=16$.
Voi cosa ne pensate?
Vi ringrazio anticipatamente!
Stabilire se il seguente segnale è di potenza o energia e calcolare il valor medio l'energia e la potenza:
$x(t)=Ae^-t*sen(2pif_0t)u(t)$
Ho provato ad applicare la formula della potenza $P_x=lim_(T->oo) 1/T(int_0^(+oo) A^2e^(-2t)[(e^(4pif_0jt)-e^(-4pif_0jt))/(4j^2)]dt$
dove $[(e^(4pif_0jt)-e^(-4pif_0jt))/(4j^2)]=sen^2(2pif_0t)$ ottenuto dalla formula di Eulero ma risolvendo l'integrale mi viene $0$.Ciò mi fa pensare che trasformando il $sen(2pif_0t)$ con la formula di Eulero ottengo un segnale di energia in quanto la potenza risulta nulla.Il risultato di questo esercizio però riporta $P_x=16$.
Voi cosa ne pensate?
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Ti consiglio di postare i conti senza aver effettuato il limite. Inoltre, risolvi l'integrale nel campo reale (può esserti di aiuto la seguente relazione $sin^2x=(1-cos2x)/2$).
"K.Lomax":
Ti consiglio di postare i conti senza aver effettuato il limite. Inoltre, risolvi l'integrale nel campo reale (può esserti di aiuto la seguente relazione $sin^2x=(1-cos2x)/2$).
Risolvendo l'integrale trascurando il $lim_(T->oo)$ e restando nel campo reale ottengo che:
$P_x=A^2/(2T)*int_o^(+oo) (e^(-2t)-e^(-2t)*cos(4pif_0t))dt=$
$=A^2/(2T)*(int_o^(+oo) e^(-2t)dt-int_o^(+oo) e^(-2t)*cos(4pif_0t)dt)=$
li ho fatti a mente e poi per sicurezza ho utilizzato il matlab per i calcoli e l'integrale $int_o^(+oo) e^(-2t)dt=1/2$ mentre $int_o^(+oo) e^(-2t)*cos(4pif_0t)dt$ va a $+oo$.Proprio non riesco a capire come esce $Px=16$
L'integrale non estenderlo subito a $+\infty$, ma applica la definizione (che prevede come estremo $T$). Successivamente, consideri l'espressione complessiva e calcoli il limite.
"K.Lomax":
L'integrale non estenderlo subito a $+\infty$, ma applica la definizione (che prevede come estremo $T$). Successivamente, consideri l'espressione complessiva e calcoli il limite.
La definizione afferma che l'intervallo di osservazione è da $-T/2$ e $T/2$ in quanto $P_x=lim_(T->oo) int_(-T/2)^(T/2) |x(t)|^2 dt$.Quindi poichè siamo in presenza del gradino $u(t)$ dovrei estendere l'integrale tra $0$ e $T/2$e poi applicando il limite per $T->oo$ si otterrebbe la $P_x=0$.Tale risultato mi fà capire che si tratta di un segnale di energia.
Sono d'accordo con il fatto che $P_x=0$, e ti volevo far calcolare in maniera esplicita il valore di quell'integrale. Infatti:
$\int_0^(T/2)e^(-2t)dt=e^(-2t)/2|_(T/2)^0=1/2(1-e^(-T))$
$\int_0^(T/2)e^(-2t)cos(4\pif_0t)dt=e^(-2t)/(2+8\pi^2f_0^2)[2\pif_0sin(4\pif_0t)-cos(4\pif_0t)]|_0^(T/2)=e^(-T)/(2+8\pi^2f_0^2)[2\pif_0sin(2\pif_0T)-cos(2\pif_0T)]+1/(2+8\pi^2f_0^2)$
Per $T->+\infty$ si ha $E_x=1/2-1/(2+8\pi^2f_0^2)$ che è finita, e quindi $P_x=0$
$\int_0^(T/2)e^(-2t)dt=e^(-2t)/2|_(T/2)^0=1/2(1-e^(-T))$
$\int_0^(T/2)e^(-2t)cos(4\pif_0t)dt=e^(-2t)/(2+8\pi^2f_0^2)[2\pif_0sin(4\pif_0t)-cos(4\pif_0t)]|_0^(T/2)=e^(-T)/(2+8\pi^2f_0^2)[2\pif_0sin(2\pif_0T)-cos(2\pif_0T)]+1/(2+8\pi^2f_0^2)$
Per $T->+\infty$ si ha $E_x=1/2-1/(2+8\pi^2f_0^2)$ che è finita, e quindi $P_x=0$
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