Permeabilità,permettivita e mezzi con perdite
Salve, un paio di domande. Sto studiando i campi elettromagnetici.
Per prima cosa volevo chiedere cosa significa che un mezzo è senza perdite? C'entra la non dispersività nel tempo?
Comunque principalmente volevo sapere:
faccio l'ipotesi di linearità, isomorfia, omogeneità, non dispersività nello spazio e forse qualche altra ipotesi e giungo al fatto che l'uscita può essere scritta come integrale di convoluzione dell'ingresso con una certa matrice detta matrice di green. Ad esempio posso considerare $d$ come uscita e $e$ come ingresso
A questo punto vado a trasformare secondo fourier e ottengo ad esempio $D(r,w)=\epsilon(r,w)E(r,w)$ dove r è un vettore che individua la coordinata spaziale.
In generale $\epsilon(r,w)$ è un numero complesso ma a quanto pare è scontato che se un mezzo è senza perdite $\epsilon(r,w)$ è una quantità reale.
Perché????????
Per prima cosa volevo chiedere cosa significa che un mezzo è senza perdite? C'entra la non dispersività nel tempo?
Comunque principalmente volevo sapere:
faccio l'ipotesi di linearità, isomorfia, omogeneità, non dispersività nello spazio e forse qualche altra ipotesi e giungo al fatto che l'uscita può essere scritta come integrale di convoluzione dell'ingresso con una certa matrice detta matrice di green. Ad esempio posso considerare $d$ come uscita e $e$ come ingresso
A questo punto vado a trasformare secondo fourier e ottengo ad esempio $D(r,w)=\epsilon(r,w)E(r,w)$ dove r è un vettore che individua la coordinata spaziale.
In generale $\epsilon(r,w)$ è un numero complesso ma a quanto pare è scontato che se un mezzo è senza perdite $\epsilon(r,w)$ è una quantità reale.
Perché????????
Risposte
Non è affatto scontato, piuttosto dimostrabile. Provo a fare una specie di dimostrazione.
Supponiamo di avere un'onda piana:
[tex]\underline{E}=\underline{E}_0e^{-j\underline{k}\cdot\underline{r}}[/tex]
E' evidente che se il vettore di propagazione è complesso, ovvero se [tex]\underline{k}=\underline{\beta}-j\underline{\alpha}[/tex], avrai un'onda che nel propagarsi si sfasa ([tex]e^{-j\underline{\beta}\cdot\underline{r}[/tex]) e si attenua ([tex]e^{-\underline{\alpha}\cdot\underline{r}[/tex]). Per la presenza di [tex]\alpha[/tex] si dice che il mezzo ha perdite (senza il quale l'onda sarebbe solamente sfasata e non attenuata).
Ora, è noto che (per semplicità considero solo il modulo):
[tex]k=\frac{\omega}{c}=\omega\sqrt{\mu\epsilon}[/tex]
Supponi il mezzo non magnetico ([tex]\mu=\mu_0[/tex]) e [tex]\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r[/tex] con [tex]\epsilon_r[/tex] la permittività relativa del mezzo, allora:
[tex]k=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon_r}[/tex]
E' chiaro quindi che se [tex]\epsilon_r[/tex] è reale lo è anche [tex]k[/tex] e quindi l'onda si propaga non attenuandosi. Viceversa se [tex]\epsilon_r=\epsilon'-j\epsilon''[/tex] si ha:
[tex]k=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'-j\epsilon''}=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'}\sqrt{1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'}}[/tex]
Ancora, nell'ipotesi [tex]\epsilon'>>\epsilon''[/tex] (anche se alla fine non è una condizione necessaria alla "dimostrazione") e ricordando che [tex]\sqrt{1+x}\simeq 1+\frac{x}{2}[/tex] per [tex]|x|<<1[/tex], si ha:
[tex]k=\frac{\omega}{c_0}(\sqrt{\epsilon'}-j\frac{\epsilon''}{2\sqrt{\epsilon'}})=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'}-j\frac{\omega}{c_0}\frac{\epsilon''}{2\sqrt{\epsilon'}}=\beta-j\alpha[/tex]
Nota che [tex]\epsilon''=0\Rightarrow\alpha=0[/tex]. Noterai anche che per avere perdite potresti anche avere mezzi magnetici ([tex]\mu[/tex] complesso) come, ad esempio, la ferrite. Questo, però, è un altro discorso.
Supponiamo di avere un'onda piana:
[tex]\underline{E}=\underline{E}_0e^{-j\underline{k}\cdot\underline{r}}[/tex]
E' evidente che se il vettore di propagazione è complesso, ovvero se [tex]\underline{k}=\underline{\beta}-j\underline{\alpha}[/tex], avrai un'onda che nel propagarsi si sfasa ([tex]e^{-j\underline{\beta}\cdot\underline{r}[/tex]) e si attenua ([tex]e^{-\underline{\alpha}\cdot\underline{r}[/tex]). Per la presenza di [tex]\alpha[/tex] si dice che il mezzo ha perdite (senza il quale l'onda sarebbe solamente sfasata e non attenuata).
Ora, è noto che (per semplicità considero solo il modulo):
[tex]k=\frac{\omega}{c}=\omega\sqrt{\mu\epsilon}[/tex]
Supponi il mezzo non magnetico ([tex]\mu=\mu_0[/tex]) e [tex]\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r[/tex] con [tex]\epsilon_r[/tex] la permittività relativa del mezzo, allora:
[tex]k=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon_r}[/tex]
E' chiaro quindi che se [tex]\epsilon_r[/tex] è reale lo è anche [tex]k[/tex] e quindi l'onda si propaga non attenuandosi. Viceversa se [tex]\epsilon_r=\epsilon'-j\epsilon''[/tex] si ha:
[tex]k=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'-j\epsilon''}=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'}\sqrt{1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'}}[/tex]
Ancora, nell'ipotesi [tex]\epsilon'>>\epsilon''[/tex] (anche se alla fine non è una condizione necessaria alla "dimostrazione") e ricordando che [tex]\sqrt{1+x}\simeq 1+\frac{x}{2}[/tex] per [tex]|x|<<1[/tex], si ha:
[tex]k=\frac{\omega}{c_0}(\sqrt{\epsilon'}-j\frac{\epsilon''}{2\sqrt{\epsilon'}})=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{\epsilon'}-j\frac{\omega}{c_0}\frac{\epsilon''}{2\sqrt{\epsilon'}}=\beta-j\alpha[/tex]
Nota che [tex]\epsilon''=0\Rightarrow\alpha=0[/tex]. Noterai anche che per avere perdite potresti anche avere mezzi magnetici ([tex]\mu[/tex] complesso) come, ad esempio, la ferrite. Questo, però, è un altro discorso.
mi sembra proprio quello che stavo cercando! 
grazie. Comunque in questi giorni mi riguardo meglio tutta la questione delle onde piane e se mi serve altro chiedo.
grazie. Comunque in questi giorni mi riguardo meglio tutta la questione delle onde piane e se mi serve altro chiedo.
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