Meccanica Razionale -Potenziale Momento-
Salve ragazzi,
Cito in breve il problema.
In un piano verticale Oxy (con y verticale ascendente), una guida circolare omogenea di massa m e centro C e raggio 4R rotola senza strisciare sull'asse Ox. Un disco omogeneo di massa m , centro G e raggio R rotola senza strisciare lungo il bordo interno della guida in modo che il punto di contatto T si mantenga sempre maggiore o uguale a quella di C, in pratica ( XT è sempre maggiore o uguale a XC). Sul sistema agisce ua coppia $ M=mg|OH| hat(k) $
Il punto O è l'origine mentre il punto H è il punto di contatto della guida con l'asse Ox.
Il problema è che nell'espressione del momento, trovo una relazione che contine tutti e due i parametri lagrangiani che ho scelto e non riesco a capire come trovare il potenziale del momento.
Grazie
Cito in breve il problema.
In un piano verticale Oxy (con y verticale ascendente), una guida circolare omogenea di massa m e centro C e raggio 4R rotola senza strisciare sull'asse Ox. Un disco omogeneo di massa m , centro G e raggio R rotola senza strisciare lungo il bordo interno della guida in modo che il punto di contatto T si mantenga sempre maggiore o uguale a quella di C, in pratica ( XT è sempre maggiore o uguale a XC). Sul sistema agisce ua coppia $ M=mg|OH| hat(k) $
Il punto O è l'origine mentre il punto H è il punto di contatto della guida con l'asse Ox.
Il problema è che nell'espressione del momento, trovo una relazione che contine tutti e due i parametri lagrangiani che ho scelto e non riesco a capire come trovare il potenziale del momento.
Grazie
Risposte
"Eddy167":
Il problema è che nell'espressione del momento, trovo una relazione che contiene tutti e due i parametri lagrangiani che ho scelto ...
Impossibile, $bar(OH)$ dipende solo dalla posizione della guida circolare.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Eddy167"]
Il problema è che nell'espressione del momento, trovo una relazione che contiene tutti e due i parametri lagrangiani che ho scelto ...
Impossibile, $bar(OH)$ dipende solo dalla posizione della guida circolare.[/quote]
Per esprimere la posizione del punto H ho dovuto ricorrere all'ascissa del punto di contatto T meno la distanza tra le due ascisse; rispettivamente XT ed XC. Premesso $ XC=XH $
Seguendo questo ragionamento l'ascissa del punto H mi viene dipendente dall'ascissa del punto T e dall'angolo di rotazione, il quale influenza l'ascissa di T. Quindi ho trovato $ XC= XT- (bar(XTXC)) $
La XT l'ho chiamata arbitrariamente $ xi $ mentre il termine in partentesi vale invece $ 4Rsenvartheta $
Quindi $ XC= xi-4Rsenvartheta $
Ci sono entrambi..
"Eddy167":
Per esprimere la posizione ...
Ho l'impressione che tu stia facendo un po' di confusione. Ad ogni modo, poiché la guida rotola senza strisciare, la sua configurazione è univocamente determinata da un solo parametro lagrangiano. Se $x$ è l'ascissa del suo punto di contatto H con l'asse x, l'angolo che determina la sua orientazione è $[\theta=x/(4R)]$, nell'ipotesi in cui $[x=0] harr [\theta=0]$. Quindi, delle due l'una: $[vecM=mgxveck] vv [vecM=4mgR\thetaveck]$. Quali sono i due parametri lagrangiani del tuo procedimento?
"anonymous_0b37e9":
[quote="Eddy167"]
Per esprimere la posizione ...
Ho l'impressione che tu stia facendo un po' di confusione. Ad ogni modo, poiché la guida rotola senza strisciare, la sua configurazione è univocamente determinata da un solo parametro lagrangiano. Se $x$ è l'ascissa del suo punto di contatto H con l'asse x, l'angolo che determina la sua orientazione è $[\theta=x/(4R)]$, nell'ipotesi in cui $[x=0] harr [\theta=0]$. Quindi, delle due l'una: $[vecM=mgxveck] vv [vecM=4mgR\thetaveck]$. Quali sono i due parametri lagrangiani del tuo procedimento?[/quote]
In questo modo scelgo come primo parametro lagrangiano l'ascissa del punto H. Quindi primo parametro $ XH=xi $ Ed è un vincolo bilaterale poichè la guida può muoversi lungo tutto l'asse Ox.
Il problema adesso è scegliere il secondo parametro,ovvero quello che identifica il moto del disco proprio perchè l'ascissa del punto T di contatto deve essere sempre maggiore o uguale a quella del punto H.
Quale è più conveniente scegliere?
Non ho capito, hai risolto il dubbio iniziale?
"anonymous_0b37e9":
Non ho capito, hai risolto il dubbio iniziale?
No, non ho risolto il dubbio iniziale.
Sto cercando di risolvere l'esercizio seguendo il tuo consiglio, ovvero quello di scegliere come primo parametro l'ascissa del punto H. Il problema adesso è scegliere il secondo parametro per individuare il moto del disco.
Un'ottima scelta è l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x e l'angolo $[0 lt= \theta lt= \pi]$ formato dalla retta congiungente il centro C della guida e il centro G del disco con la verticale. Mentre la velocità angolare della guida è semplicemente $[\omega_G=dotx/(4R)]$, è necessaria una certa abilità nel determinare la velocità angolare $[\omega_D]$ del disco.
"anonymous_0b37e9":
Un'ottima scelta è l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x e l'angolo $[0 lt= \theta lt= \pi]$ formato dalla retta congiungente il centro C della guida e il centro G del disco con la verticale. Mentre la velocità angolare della guida è semplicemente $[\omega_G=dotx/(4R)]$, è necessaria una certa abilità nel determinare la velocità angolare $[\omega_D]$ del disco.
Ok proverò a fare come hai suggerito, ma prima due domande.
1) Ha senso parlare dell'integrale di $ int_( )^() xi-4Rcosvartheta dt $ ? Indipendentemente dal fatto che il mio precedente ragionamento sia giusto o sbagliato.
2) Perchè dovrei calcolare la velocità angolare del disco?
"Eddy167":
Quindi $XC=xi-4Rsenvartheta$
Ci sono entrambi ...
Se ho capito bene, i parametri lagrangiani che avevi scelto inizialmente dovrebbero essere:
1. L'ascissa $[\xi]$ del punto di contatto T tra la guida e il disco.
2. L'angolo $[\theta]$ formato dalla retta congiungente il centro C della guida e il centro G del disco con la verticale.
In questo modo, indicando con $[x]$ l'ascissa del punto di contatto H della guida con l'asse x, vale la seguente relazione:
$[x=\xi-4Rsin\theta]$
In definitiva, anche se non si tratta della scelta più naturale, non c'è nulla di sbagliato. Tra parentesi, almeno nel messaggio di apertura, potevi senz'altro essere più chiaro.
"Eddy167":
1) Ha senso parlare dell'integrale di $[int_( )^()(\xi-4Rcosvartheta)dt]$?
Il significato e/o l'utilità di questo integrale non è dato sapere.
"Eddy167":
2) Perchè dovrei calcolare la velocità angolare del disco?
Tipicamente, in questo tipo di esercizi, è necessario determinare l'energia cinetica.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Eddy167"]
Quindi $XC=xi-4Rsenvartheta$
Ci sono entrambi ...
Se ho capito bene, i parametri lagrangiani che avevi scelto inizialmente dovrebbero essere:
1. L'ascissa $[\xi]$ del punto di contatto T tra la guida e il disco.
2. L'angolo $[\theta]$ formato dalla retta congiungente il centro C della guida e il centro G del disco con la verticale.
In questo modo, indicando con $[x]$ l'ascissa del punto di contatto H della guida con l'asse x, vale la seguente relazione:
$[x=\xi-4Rsin\theta]$
In definitiva, anche se non si tratta della scelta più naturale, non c'è nulla di sbagliato. Tra parentesi, almeno nel messaggio di apertura, potevi senz'altro essere più chiaro.
"Eddy167":
1) Ha senso parlare dell'integrale di $[int_( )^()(\xi-4Rcosvartheta)dt]$?
Il significato e/o l'utilità di questo integrale non è dato sapere.
"Eddy167":
2) Perchè dovrei calcolare la velocità angolare del disco?
Tipicamente, in questo tipo di esercizi, è necessario determinare l'energia cinetica.[/quote]
Il fatto è che quando calcolo il potenziale del momento $ M= mg |OH|hat(k) $ Il termine OH in valore assoluto è proprio l'ascissa del punto C che come ho scritto nell'ultimo messaggio vale $ xi -4Rsenvartheta $ .
Quindi essendo in un campo conservativo dove tutte le forze sono conservative $ dU=dL $ , devo integrare l'espressione del lavoro del momento ed arrivo all'integrale dell'ultimo messaggio. Il problema è come risolverlo?
Non è assolutamente quello l'integrale in questione.
1. Nel caso di una forza $F$, indicando con $V_F$ il suo potenziale:
$[(dV_F)/(dx)=F] rarr [V_F=\intFdx]$
2. Nel caso di un momento $M$, indicando con $V_M$ il suo potenziale:
$[(dV_M)/(d\phi)=M] rarr [V_M=\intMd\phi]$
Nell'ipotesi in cui la coppia agisca sulla guida e si sia scelto come parametro lagrangiano l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x, l'angolo che determina la sua orientazione è $[\phi=x/(4R)]$. Quindi:
$[(dV_M)/(d\phi)=M] rarr [(dV_M)/(d\phi)=mg|x|] rarr [V_M=\intmg|x|d\phi] rarr [V_M=\int(mg)/(4R)|x|dx]$
Soprattutto per questo conviene procedere con i parametri lagrangiani che ti ho proposto in uno dei miei messaggi precedenti.
Giova sottolineare che l'angolo $\theta$ non ha nulla a che vedere con l'angolo $\phi$.
1. Nel caso di una forza $F$, indicando con $V_F$ il suo potenziale:
$[(dV_F)/(dx)=F] rarr [V_F=\intFdx]$
2. Nel caso di un momento $M$, indicando con $V_M$ il suo potenziale:
$[(dV_M)/(d\phi)=M] rarr [V_M=\intMd\phi]$
"Eddy167":
Sul sistema agisce una coppia $[vecM=mg|OH|veck]$ ...
Nell'ipotesi in cui la coppia agisca sulla guida e si sia scelto come parametro lagrangiano l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x, l'angolo che determina la sua orientazione è $[\phi=x/(4R)]$. Quindi:
$[(dV_M)/(d\phi)=M] rarr [(dV_M)/(d\phi)=mg|x|] rarr [V_M=\intmg|x|d\phi] rarr [V_M=\int(mg)/(4R)|x|dx]$
Soprattutto per questo conviene procedere con i parametri lagrangiani che ti ho proposto in uno dei miei messaggi precedenti.
"anonymous_0b37e9":
Un'ottima scelta è l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x e l'angolo $[0 lt= \theta lt= \pi]$ formato dalla retta congiungente il centro C della guida e il centro G del disco con la verticale.
Giova sottolineare che l'angolo $\theta$ non ha nulla a che vedere con l'angolo $\phi$.
"anonymous_0b37e9":
Non è assolutamente quello l'integrale in questione.
1. Nel caso di una forza $F$, indicando con $V_F$ il suo potenziale:
$[(dV_F)/(dx)=F] rarr [V_F=\intFdx]$
2. Nel caso di un momento $M$, indicando con $V_M$ il suo potenziale:
$[(dV_M)/(d\phi)=M] rarr [V_M=\intMd\phi]$
[quote="Eddy167"]Sul sistema agisce una coppia $[vecM=mg|OH|veck]$ ...
Nell'ipotesi in cui la coppia agisca sulla guida e si sia scelto come parametro lagrangiano l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x, l'angolo che determina la sua orientazione è $[\phi=x/(4R)]$. Quindi:
$[(dV_M)/(d\phi)=M] rarr [(dV_M)/(d\phi)=mg|x|] rarr [V_M=\intmg|x|d\phi] rarr [V_M=\int(mg)/(4R)|x|dx]$
Soprattutto per questo conviene procedere con i parametri lagrangiani che ti ho proposto in uno dei miei messaggi precedenti.
"anonymous_0b37e9":
Un'ottima scelta è l'ascissa $[x in RR]$ del punto di contatto H della guida con l'asse x e l'angolo $[0 lt= \theta lt= \pi]$ formato dalla retta congiungente il centro C della guida e il centro G del disco con la verticale.
Giova sottolineare che l'angolo $\theta$ non ha nulla a che vedere con l'angolo $\phi$.[/quote]
Vorrei farti una prima domanda: Perchè l'angolo $ phi $ non ha niente a che fare con l'angolo $ vartheta $ ?
Una seconda domanda : Io per calcolare il potenziale del momento ho sempre utilizzato questa formula $ dL= bar(R) * dOmega +bar(M) Omega *omega dt=0 $ Cosa c'è di sbagliato nell'utilizzo di questa formula?
Terza domanda: Nell'integrale al posto di OH hai inserito giustamente x, ma non potevi aggiungere anche $ 4Rphi $ ?
Cioè non riesco a capire il collegamento tra il $ phi $ che è sempre una rotazione, ed il $ vartheta $ del parametro lagrangiano.
"Eddy167":
Perché l'angolo $phi$ non ha niente a che fare con l'angolo $\theta$ ...
Premesso che l'esercizio proposto è piuttosto impegnativo, il fatto di non essere convinto della suddetta proprietà mi induce a pensare che tu non abbia l'esperienza necessaria per affrontarlo. Se posso darti un primo consiglio, farei un primo passo indietro e mi dedicherei a esercizi più semplici.
"Eddy167":
... ho sempre utilizzato questa formula $dL=bar(R)*dOmega+bar(M)Omega*omegadt=0$ ...
Premesso che non si comprende perché il lavoro infinitesimo sia uguagliato a zero e che la suddetta formula dovrebbe piuttosto scriversi:
$[dL=bar(R)*bar(dOmega)+bar(M)_Omega*baromegadt]$
trattandosi, nel caso in esame, di puro momento e ponendo:
$[barR=0] ^^ [baromegadt=bar(d\phi)]$
si ricavano i contenuti del mio messaggio precedente. Tra l'altro, quale logica ti abbia indotto a utilizzare quella formula come hai proposto in precedenza:
"Eddy167":
1) Ha senso parlare dell'integrale di $int(xi-4Rcosvartheta)dt$ ...
non è dato sapere. Se posso darti un secondo consiglio, farei un secondo passo indietro e mi dedicherei a un po' di teoria.
"Eddy167":
Nell'integrale al posto di OH hai inserito giustamente x, ma non potevi aggiungere anche $4Rphi$ ...
Certamente. Tuttavia, avendo scelto, come parametro lagrangiano, l'ascissa $x$ del punto di contatto H della guida, se non voglio cadere in contraddizione con me stesso vado avanti con quello.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Eddy167"]
Perché l'angolo $phi$ non ha niente a che fare con l'angolo $\theta$ ...
Premesso che l'esercizio proposto è piuttosto impegnativo, il fatto di non essere convinto della suddetta proprietà mi induce a pensare che tu non abbia l'esperienza necessaria per affrontarlo. Se posso darti un primo consiglio, farei un primo passo indietro e mi dedicherei a esercizi più semplici.
"Eddy167":
... ho sempre utilizzato questa formula $dL=bar(R)*dOmega+bar(M)Omega*omegadt=0$ ...
Premesso che non si comprende perché il lavoro infinitesimo sia uguagliato a zero e che la suddetta formula dovrebbe piuttosto scriversi:
$[dL=bar(R)*bar(dOmega)+bar(M)_Omega*baromegadt]$
trattandosi, nel caso in esame, di puro momento e ponendo:
$[barR=0] ^^ [baromegadt=bar(d\phi)]$
si ricavano i contenuti del mio messaggio precedente. Tra l'altro, quale logica ti abbia indotto a utilizzare quella formula come hai proposto in precedenza:
"Eddy167":
1) Ha senso parlare dell'integrale di $int(xi-4Rcosvartheta)dt$ ...
non è dato sapere. Se posso darti un secondo consiglio, farei un secondo passo indietro e mi dedicherei a un po' di teoria.
"Eddy167":
Nell'integrale al posto di OH hai inserito giustamente x, ma non potevi aggiungere anche $4Rphi$ ...
Certamente. Tuttavia, avendo scelto, come parametro lagrangiano, l'ascissa $x$ del punto di contatto H della guida, se non voglio cadere in contraddizione con me stesso vado avanti con quello.[/quote]
Ho commesso un errore nello scrivere la formula della variazione di lavoro $dL=bar(R)*dOmega+bar(M)Omega*omegadt=dU$
questa è la formula che utilizzavo. Comunque grazie per le risposte, vedrò adesso di ripassare qualcosa di teoria.
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