Laplace e la variable s
Studiando la funzione di trasferimento nei sistemi dinamici, ho compreso il concetto principale ma non capisco la variabile s cosa rappresenti esattamente in particolare l'equivalenza $s=\sigma+j\omega$.
Ho letto che il piano s (x parte reale, y parte immaginaria) è il piano complesso su cui sono definite le trasformate di Laplace nel dominio della frequenza, quindi le coordinate di s individuano un vettore?
$\omega$ è la pulsazione in $(rad) / s$ per cui immagino si parli di segnali periodici, corretto?
Ma $\sigma$ che cosa rappresenta?
vedo poi che spesso $\sigma$ viene considerato zero ma se non ne apprendo il significato ho grosse difficoltà a proseguire.
Grazie
Ho letto che il piano s (x parte reale, y parte immaginaria) è il piano complesso su cui sono definite le trasformate di Laplace nel dominio della frequenza, quindi le coordinate di s individuano un vettore?
$\omega$ è la pulsazione in $(rad) / s$ per cui immagino si parli di segnali periodici, corretto?
Ma $\sigma$ che cosa rappresenta?
vedo poi che spesso $\sigma$ viene considerato zero ma se non ne apprendo il significato ho grosse difficoltà a proseguire.
Grazie
Risposte
Provo a risponderti anche se l'argomento è troppo vasto per un post, per cui sono obbligato a semplificare al massimo.
La trasformata di Laplace è un integrale improprio della funzione f(t) con parametro s in generale complesso.
Con l'uso della trasformata molte funzioni del tempo si trasformano in funzioni razionali in s e poichè l'applicazione dell'operatore derivata (per semplicità supponiamo condizioni iniziali nulle) è equivalente a moltiplicare per s, la trasformata di Laplace è utilizzata in primo luogo per la risoluzione di equazioni differenziali, in quanto permette una risoluzione algebrica dell'equazione che una volta risolta in s può essere riportata nel tempo usando i metodi di anti-trasformazione.
Nell'Elettrotecnica addirittura il componente che sottende ad una derivata o ad un integrale (induttore L e condensatore C) è già trasformato in partenza ottenendo così dei componenti $sL$ e $1/(sC)$ algebrici, per cui il circuito può essere risolto con i metodi dei circuiti puramente resistivi.
In Controlli Automatici un approccio analogo consente di scrivere le relazioni integro-differenziali tra la variabile di ingresso e quella di uscita in termini di funzione razionale in s, la cosiddetta Funzione di Trasferimento.
Sin qui la variabile s è da considerarsi complessa. Ad esempio i poli di un sistema, ovvero le radici del polinomio al denominatore della funzione razionale, saranno in generale dei valori di s complessi e vanno studiati come tali (cfr. Luogo delle Radici nella teoria dei Controlli Automatici).
Un caso particolare di notevole interesse è quello dei sistemi in regime sinusoidale di pulsazione $omega$. In questo caso, se in virtù della formula di Eulero, l'ingresso viene pensato del tipo $e^(j omega t)$, è chiaro che applicare la derivata equivale a moltiplicare per $j omega$, da cui discende che in regime sinusoidale $s-> j omega$.
Questa proposizione ha diversi risvolti di grande interesse applicativo:
1) ovviamente permette di risolvere facilmente circuiti o sistemi in regime sinusoidale
2) permette di legare un aspetto sperimentale (la risposta in frequenza misurata di un sistema) con un aspetto teorico (la funzione di trasferimento del sistema stesso)
3) consente di utilizzare proprietà sul piano complesso per desumere proprietà di stabilità della funzione di trasferimento originaria in s. Da qui discendono i criteri di Bode e Nyquist.
Bisogna però porre attenzione che il piano complesso in questione è quello in parte reale e immaginaria della funzione di trasferimento avendo posto $s=j omega$ e non quello più generale di $s=sigma+jomega$
La trasformata di Laplace è un integrale improprio della funzione f(t) con parametro s in generale complesso.
Con l'uso della trasformata molte funzioni del tempo si trasformano in funzioni razionali in s e poichè l'applicazione dell'operatore derivata (per semplicità supponiamo condizioni iniziali nulle) è equivalente a moltiplicare per s, la trasformata di Laplace è utilizzata in primo luogo per la risoluzione di equazioni differenziali, in quanto permette una risoluzione algebrica dell'equazione che una volta risolta in s può essere riportata nel tempo usando i metodi di anti-trasformazione.
Nell'Elettrotecnica addirittura il componente che sottende ad una derivata o ad un integrale (induttore L e condensatore C) è già trasformato in partenza ottenendo così dei componenti $sL$ e $1/(sC)$ algebrici, per cui il circuito può essere risolto con i metodi dei circuiti puramente resistivi.
In Controlli Automatici un approccio analogo consente di scrivere le relazioni integro-differenziali tra la variabile di ingresso e quella di uscita in termini di funzione razionale in s, la cosiddetta Funzione di Trasferimento.
Sin qui la variabile s è da considerarsi complessa. Ad esempio i poli di un sistema, ovvero le radici del polinomio al denominatore della funzione razionale, saranno in generale dei valori di s complessi e vanno studiati come tali (cfr. Luogo delle Radici nella teoria dei Controlli Automatici).
Un caso particolare di notevole interesse è quello dei sistemi in regime sinusoidale di pulsazione $omega$. In questo caso, se in virtù della formula di Eulero, l'ingresso viene pensato del tipo $e^(j omega t)$, è chiaro che applicare la derivata equivale a moltiplicare per $j omega$, da cui discende che in regime sinusoidale $s-> j omega$.
Questa proposizione ha diversi risvolti di grande interesse applicativo:
1) ovviamente permette di risolvere facilmente circuiti o sistemi in regime sinusoidale
2) permette di legare un aspetto sperimentale (la risposta in frequenza misurata di un sistema) con un aspetto teorico (la funzione di trasferimento del sistema stesso)
3) consente di utilizzare proprietà sul piano complesso per desumere proprietà di stabilità della funzione di trasferimento originaria in s. Da qui discendono i criteri di Bode e Nyquist.
Bisogna però porre attenzione che il piano complesso in questione è quello in parte reale e immaginaria della funzione di trasferimento avendo posto $s=j omega$ e non quello più generale di $s=sigma+jomega$
Grazie, tutto chiaro escluso questi due punti:
Ok che la formula di Eulero consente di esprimere $e^(j omega t) = cos omega t + jsin omega t$
Quindi l'ingresso lo si considera in questa forma $e^(j omega t)$ ?
Mi torna che applicando la derivata al segnale di ingresso significa moltiplicare per $j omega$ ma non capisco il "da cui discende che in regime sinusoidale $s-> j omega$.
Cioè? Quindi si fa un'assunzione cioè che $sigma$ si suppone uguale a zero? Perchè lo si considera zero? Perchè correlato alla derivata del punto precedente ?
$sigma$ ha un significato particolare oltre che essere la parte reale di s ?
"ingres":
Un caso particolare di notevole interesse è quello dei sistemi in regime sinusoidale di pulsazione $omega$. In questo caso, se in virtù della formula di Eulero, l'ingresso viene pensato del tipo $e^(j omega t)$, è chiaro che applicare la derivata equivale a moltiplicare per $j omega$, da cui discende che in regime sinusoidale $s-> j omega$.
Ok che la formula di Eulero consente di esprimere $e^(j omega t) = cos omega t + jsin omega t$
Quindi l'ingresso lo si considera in questa forma $e^(j omega t)$ ?
Mi torna che applicando la derivata al segnale di ingresso significa moltiplicare per $j omega$ ma non capisco il "da cui discende che in regime sinusoidale $s-> j omega$.
Bisogna però porre attenzione che il piano complesso in questione è quello in parte reale e immaginaria della funzione di trasferimento avendo posto $s=j omega$ e non quello più generale di $s=sigma+jomega$
Cioè? Quindi si fa un'assunzione cioè che $sigma$ si suppone uguale a zero? Perchè lo si considera zero? Perchè correlato alla derivata del punto precedente ?
$sigma$ ha un significato particolare oltre che essere la parte reale di s ?
"zio_mangrovia":
Cioè? Quindi si fa un'assunzione cioè che $sigma$ si suppone uguale a zero? Perchè lo si considera zero? Perchè correlato alla derivata del punto precedente ?
$sigma$ ha un significato particolare oltre che essere la parte reale di s ?
No, non si assume che $\sigma = 0$. Non so dove l'hai letto o d cosa lo deduci.
La trasformata di Laplace si usa perche' la sua sorella, la trasformata di Fourier, non converge per tutta una classe di segnali.
La trasformata di Laplace invece converge sempre perche' l'integrale viene fatto a partire da $t= 0$ e poi perche' proprio $\sigma $ puo' essere usata per determinare la regione di convergenza.
Ad esempio il segnale a gradino $u(t)$, converge solo per $\sigma = Re(s) > 0$.
La trasformata di Fourier corrispondente converge solo se si considerano le funzioni generalizzate come la delta di Dirac $\delta(\omega)$.
Per inciso, se $\sigma = 0$ la t. di Laplace diventa uguale alla t. di Fourier, e quindi se la t. di Laplace esiste in $\sigma = 0$, allora esiste anche la t. di Fourier.
Se guardi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_t ... transforms
c'e' la tabella della t. di Laplace per alcuni segnali, e per ogni segnale c'e' associata la regione di convergenza.
Il significato fisico di $\sigma$ e' che genera un esponenziale smorzato, ovvero che decade con legge esponenziale $e^{-\sigma t}$ e quindi puo' essere integrato nel senso che l'integrale converge.
"zio_mangrovia":
Quindi l'ingresso lo si considera in questa forma $e^(jωt)$ ?
SI. Ad esempio se l'ingresso è $cos (omega t)$ lo posso vedere come $Re(e^(j omega t))$ e posso considerare in tutti i conti $e^(j omega t)$ e fare la parte reale del risultato alla fine. In realtà in tutti i conti intermedi si omette il termine $e^(j omega t)$ che si reintroduce solo all'ultimo per ritornare nel dominio del tempo.
"zio_mangrovia":
Mi torna che applicando la derivata al segnale di ingresso significa moltiplicare per jω ma non capisco il "da cui discende che in regime sinusoidale s→jω.
Deriva dal fatto che applicare la derivata significa moltiplicare per s in generale e per $j omega$ in regime sinusoidale. Ovviamente si può dimostrare il legame in modo più formale, ma come giustificazione semplificata può andare.
"zio_mangrovia":
Cioè? Quindi si fa un'assunzione cioè che σ si suppone uguale a zero? Perchè lo si considera zero? Perchè correlato alla derivata del punto precedente ?
SI, in regime sinusoidale vale l'assunzione precedente. Ma per esempio in regime cisoidale $sigma$ non è nullo. Vedi ad es. https://www.gtronic.it/Elettrotecnica_G ... iabile.pdf pag. 12
"Quinzio":
No, non si assume che $\sigma = 0$. Non so dove l'hai letto o d cosa lo deduci.
Lo deduco secondo questa affermazione:
l'ingresso viene pensato del tipo $e^(jωt)$, è chiaro che applicare la derivata equivale a moltiplicare per jω, da cui discende che in regime sinusoidale $s→jω$
$s→jω$ qua manca il termine $\sigma$ per cui lo considero zero.
Non e' che manca $\sigma$, e' che usi la t. di Laplace e di Fourier come se fossero la stessa cosa.
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