Integratore invertente reale

[Ciuccaaa]

Scusate sono tutti circuiti uguali ma appena cambia qualcosa mi perdo...
vorrei farne quanti più per capire bene...
In questo circuito, fondamentalmente un integratore invertente reale, succede questo:
- per $t<0$:
supponiamo segnale applicato da un tempo infinito, quindi stiamo in continua, il condensatore allora è un circuito aperto ma comunque abbiamo la tensione di ingresso nulla quindi anche la tensione di uscita sarà nulla.
-per $ 0 la $V_{out}(0^-)=0$ ma la $V_{out}(0^+)= -(R_2/R_1)*V_{IN} $ considerando che il condensatore sia ancora scarico.
Avremo una corrente che scorre verso destra in R1 ( $I=V_{IN}/R_1$ ) ed anche in c e R2.
quindi avrò che $V_{out}(t)= -(R_2/R_1)*V_{IN}*(1-e^(-t/\tau))$ dove $\tau= R_2*C$.
mi trovo che Vout a 2 millisecondi satura perchè raggiunge una tensione superiore a quella di soglia, quindi va a -10V.
- per $ 2 La tensione di ingresso è -1V e il condensatore in questo intervallo di tempo risulta essere carico quindi scorre corrente solo in R1 e R2 e la Vout diventa 2V..
Fino a qui è giusto il ragionamento ?

[RenzoDF]

Ti consiglio di rivedere la tua analisi perché non c'è coerenza fra $V_{out}(0^+)$ e successiva $V_{out}(t)$.

BTW Millisecondi ($ \text{ms}$) non microsecondi.

[Ciuccaaa]

Ho sbagliato ad analizzare la $V_{OUT}(0^+)$

[Ciuccaaa]

$ V_C (t) = -V_{OUT}(t) =R_2/R_1*( 1- e^-(t/(\tau)))$
poi a t= 2 millisec ho C carico mentre $V_{OUT}(2^+) = -(R_2/R_1)*V_{IN}=2V$
mentre poi per 2

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[RenzoDF]

Errore di battitura a parte, non capisco quel valore di +2 volt da dove arrivi.

[Ciuccaaa]

per t = 2 millisecondi il condensatore non risulta essere carico e quindi lo considero un circuito aperto ?

[RenzoDF]

Certo che è carico e hai una $V_C(t)$ che puoi usare per determinare la sua tensione, no?

$V_{OUT}(2) =-V_{C}(2)=-V_{IN}R_2/R_1*( 1- e^-1)\approx -2.53 \ \text{V}$

BTW Ti consiglio di lasciare perdere questi "circuiti aperti" e "cortocircuiti".

[Ciuccaaa]

questo a $t=2^-$ no?
a $t=2^+$ ho la tensione di ingresso a -1 ... so che il condensatore non può avere discontinuità ma la tensione di uscita si (?)

[Ciuccaaa]

per 2 dove $V_C(\infty)= 0 $ perchè se il transitorio finisse lui sarebbe scarico giusto?
e $V_C(2^+)=V_C(2^-)=2,53V$
quindi $V_C(t)=2,53 e^-((t-2)/\tau) $ dove $\tau=R_2*C$

[RenzoDF]

"arianna1998":questo a $t=2^-$ no?
a $t=2^+$ ho la tensione di ingresso a -1 ... so che il condensatore non può avere discontinuità ma la tensione di uscita si (?)

In questo caso, diversamente da quanto avveniva nel tuo precedente problema (Circuito OPAMP e condensatori), il morsetto sinistro del condensatore è vincolato ad un punto (il morsetto invertente dell OA ) a potenziale nullo $V^+=V^- \ =0 \ \text{V}$ ( fino a quando l'OA non satura, ovviamente) e di conseguenza così come VC non può presentare discontinuità (scelto per VC il positivo a sinistra)

$V_{OUT}=V^{-} - V_C=0- V_C=- V_C$

nemmeno la tensione d'uscita presenterà discontinuità, visto che per $t=2 \ \text{ms)$ abbiamo
$V_C(2 \ \text{ms}) \approx \ 2.53 \lt 10 \ \text{V}$.

[RenzoDF]

"arianna1998":per 2 dove $V_C(\infty)= 0 $ perchè se il transitorio finisse lui sarebbe scarico giusto? ...

No, in quell'intervallo il condensatore si andrà a scaricare, a partire dal valore raggionto per t=2 us, andando a scendere ad una certa $V_C(6 \ \text{ms})$ da determinare. La discesa finale asintotica a zero inizierà per t=6 ms.

"arianna1998": ... $V_C(2^+)=V_C(2^-)=2,53V$

Esatto.

"arianna1998": ... quindi $V_C(t)=2,53 e^-((t-2)/\tau) $ dove $\tau=R_2*C$

Errato, in quanto la tensione non tende a zero ma bensì a ... volt.

Dai, coraggio, che quasi ci siamo.

[Ciuccaaa]

nell'intervallo precedente abbiamo posto che $V_C(\infty)= (R_2/R_1)*V_{IN}$ perchè alla fine dell'intervallo il condensatore sarebbe stato carico e non avrebbe fatto scorrere corrente, quindi il circuito si sarebbe semplificato a una configurazione invertente standard, in questo caso invece come posso sapere che non si scarica completamente a 6s? mentre prima a priori sapevo si sarebbe scaricato a t=2 millisec ? O sto sbagliando tutto?

[Ciuccaaa]

prima si caricava con $\tau = R_2*C = 2 millisec $ quindi sapevo che sarebbe stato carico a fine intervallo?

[RenzoDF]

"arianna1998":... in questo caso invece come posso sapere che non si scarica completamente a 6s? ...

Devi semplicemente andare a considerare che per t=2 ms la sua tensione è pari a 2.53 volt e che, visto che l'ingresso passa a -1 volt, C andrà a scaricarsi esponenzialmente "verso" una nuova tensione di regime pari a -2 volt, ancora con costante di tempo $R_2C$[nota]Visto che il suo morsetto sinistro lo ipotizziamo vincolato a zero.[/nota]; scritta questa funzione del tempo, potrai valutare $V_C(6 \ \text{ms})$ e controllare se anche in questo caso l'OA non va a saturare, per convalidare l'ipotesi della nota.

[RenzoDF]

"arianna1998":prima si caricava con $\tau = R_2*C = 2 millisec $ quindi sapevo che sarebbe stato carico a fine intervallo?

No, un condensatore non è (completamente) carico dopo una [nota]In teoria non lo sarebbe mai, in pratica ce ne vorrebbero almeno cinque (e quindi 10 ms).[/nota] costante di tempo.

[Ciuccaaa]

quindi avrei che $V_C(t) =2-(2-2,53)*e^-((t-2)/(R_2*C)) $?
$V_{OUT}$ va quindi all'incirca a -2V e non satura

[RenzoDF]

Scusa, avevo dimenticato un segno : VC (con positivo a sinistra), parte da +2.53 per t=2us
e va verso i -2 volt per t tendente a infinito, e quindi, con tempi espressi in millisecondi, nell'intervallo $2 < t < 6$

$v_C(t)=v(\infty)-[v(\infty)-v(0)]\cdot e^{-(t-2)/(R_2C))=-2-[-2-2.53]\cdot e^{- (t-2)/(R_2C)}=-2+4.53\cdot e^{- (t/2-1)}\ \text{V}$

di conseguenza

$v_C(6)\approx -1.39 \ \text{V}$

e l'OA con $v_{OUT}(6)=+1.39 \ \text{V}$ non satura, come ipotizzato.

[Ciuccaaa]

Ok perfetto!
Ma la spiegazione concettuale del perchè la tensione del condensatore a infinito risulta essere così nei due diversi intervalli ?
Come devo ragionare? Devo pensare a cosa succederebbe qualora finisse il transitorio?

[RenzoDF]

"arianna1998":... Ma la spiegazione concettuale del perchè la tensione del condensatore a infinito risulta essere così nei due diversi intervalli ?

La tensione per t che tende ad infinito è quella "prevista" in mancanza di variazioni delle grandezze forzanti la rete; il condensatore, per $t=2^+$ "vede" un generatore da -1 volt, forzare una corrente di scarica di un milliampere e non può "prevedere" che per t=6 ms, quel generatore si annullerà.

"arianna1998":... Come devo ragionare? Devo pensare a cosa succederebbe qualora finisse il transitorio?

Devi pensare come il condensatore; mettersi nei suoi "panni circuitali".

[Ciuccaaa]

Quindi è come se pensassi a come si comporterebbe quel condensatore se la tensione 2V adesso ( o -1V dopo) rimanesse in continua fino all'infinito?

[RenzoDF]

Sì, perché quella è la situazione circuitale iniziale, e quella rimane fino a quando qualcosa nel circuito (un generatore che cambia tensione o corrente, un interruttore che si chiude/apre ecc.) non cambia le carte in tavola; in quel momento, dovremo cambiare le previsioni sul "nuovo" futuro.