[Idraulica] Dubbi su alcuni esercizi di idrodinamica
Ciao a tutti.
Per la preparazione della prova scritta di Idraulica 1 sto facendo una serie di esercizi di idrodinamica, la maggior parte dei quali tratti dal testo Alfonso - Orsi, Problemi di Idraulica e Meccanica dei fluidi.
Nello svolgimento di alcuni di essi però, mi sono sorti alcuni dubbi e vi sarei grato se qualcuno me li potesse chiarire.
Inizio col primo esercizio.
Esercizio 1. Nel sistema liquido in figura, defluisce un liquido perfetto ($\gamma = 9806$ $"N/m"^3$). Determinare la portata effluente e la pressione relativa $p_1$ lungo l'asse del primo tronco di tubazione.
Svolgimento.
Quanto richiesto dall'esercizio l'ho risolto senza problemi, solo che volevo provare a tracciare la linea dei carichi totali (L.C.T.) e la linea piezometrica (L.P.) ed è proprio su ques'ultima che ho un dubbio.
Intanto posso dire che in corrispondenza della sezione terminale $S$ di sbocco della tubazione, ho pressione nulla, in quanto lì è presente la pressione atmosferica. Se faccio riferimento al baricentro della sezione $S$, la linea piezometrica deve quindi partire da esso. Il dubbio è: come continua lungo il tratto? In teoria, essendo la velocità costante sul tronco più grosso (e quindi è costante l'altezza cinetica $(V^2)/(2g)$), la piezometrica dovrebbe continuare orizzontale fino all'ultima sezione del tronco grosso (segnata tratteggiata). In questo modo però ottengo che l'altezza piezometrica $P/\gamma$ è nulla pure su tutti i punti che stanno sull'asse del tubo, invece così non è.
Vi posto una figura dell'esercizio.
Vi ringrazio anticipatamente .
Ciao
_________________________
Nota: l'esercizio è il numero 5.2 di pag. 42 del suddetto libro di testo.
Per la preparazione della prova scritta di Idraulica 1 sto facendo una serie di esercizi di idrodinamica, la maggior parte dei quali tratti dal testo Alfonso - Orsi, Problemi di Idraulica e Meccanica dei fluidi.
Nello svolgimento di alcuni di essi però, mi sono sorti alcuni dubbi e vi sarei grato se qualcuno me li potesse chiarire.
Inizio col primo esercizio.
Esercizio 1. Nel sistema liquido in figura, defluisce un liquido perfetto ($\gamma = 9806$ $"N/m"^3$). Determinare la portata effluente e la pressione relativa $p_1$ lungo l'asse del primo tronco di tubazione.
Svolgimento.
Quanto richiesto dall'esercizio l'ho risolto senza problemi, solo che volevo provare a tracciare la linea dei carichi totali (L.C.T.) e la linea piezometrica (L.P.) ed è proprio su ques'ultima che ho un dubbio.
Intanto posso dire che in corrispondenza della sezione terminale $S$ di sbocco della tubazione, ho pressione nulla, in quanto lì è presente la pressione atmosferica. Se faccio riferimento al baricentro della sezione $S$, la linea piezometrica deve quindi partire da esso. Il dubbio è: come continua lungo il tratto? In teoria, essendo la velocità costante sul tronco più grosso (e quindi è costante l'altezza cinetica $(V^2)/(2g)$), la piezometrica dovrebbe continuare orizzontale fino all'ultima sezione del tronco grosso (segnata tratteggiata). In questo modo però ottengo che l'altezza piezometrica $P/\gamma$ è nulla pure su tutti i punti che stanno sull'asse del tubo, invece così non è.
Vi posto una figura dell'esercizio.
Vi ringrazio anticipatamente .
Ciao
_________________________
Nota: l'esercizio è il numero 5.2 di pag. 42 del suddetto libro di testo.
Risposte
Ciao Jojo...questi esercizi li ho fatti molto tempo fa, per cui non vorrei dirti qualche cavolata.
Ti butto li solamente un ragionamento....Se il moto è permanente il trinomio di Bernoulli è costante, vale quindi l'equazione di continuità.
Per cui nel momento in cui la sezione si allarga la velocità diminuirà....e quindi pure la pressione non sarà la stessa...che ne dici?
Ti butto li solamente un ragionamento....Se il moto è permanente il trinomio di Bernoulli è costante, vale quindi l'equazione di continuità.
Per cui nel momento in cui la sezione si allarga la velocità diminuirà....e quindi pure la pressione non sarà la stessa...che ne dici?
JoJo, io queste cose le ho studiate ancora prima di Elwood 
, quindi prendi con le dovute cautele quello che ti dico, e magari consulta altri testi di Idraulica sull'argomento. Sul web puoi trovare, per esempio :
http://147.162.181.35/materiale/tesaf/g ... itolo5.pdf
Questo mi sembra più che altro un problema di Foronomia, cioè di efflusso da un tubo corto, e applicare "sic et simpliciter" il teorema di Bernouilli a "tutta la sezione", senza peraltro tener conto della "realtà" del fluido, mi sembra un tantino azzardato. Infatti come vedi conduce ad un assurdo. Come sai il teorema di B. vale in condizioni di fluido perfetto, pesante, incomprimibile, in moto permanente, e si riferisce ad un filetto fluido. Ma quando si passa ad una sezione finita, bisognerebbe tenerne conto. La sezione di uscita dell'acqua dal tubo è una "sezione contratta" , con una certa distribuzione di velocità, e si tiene conto della contrazione della vena con un coefficiente di efflusso apposito. E poi se si considera anche la "realtà" del fluido, si ha una dissipazione di energia e la linea piezometrica "cade".
Io però più di cosi non mi sento di sbilanciarmi.
, quindi prendi con le dovute cautele quello che ti dico, e magari consulta altri testi di Idraulica sull'argomento. Sul web puoi trovare, per esempio :http://147.162.181.35/materiale/tesaf/g ... itolo5.pdf
Questo mi sembra più che altro un problema di Foronomia, cioè di efflusso da un tubo corto, e applicare "sic et simpliciter" il teorema di Bernouilli a "tutta la sezione", senza peraltro tener conto della "realtà" del fluido, mi sembra un tantino azzardato. Infatti come vedi conduce ad un assurdo. Come sai il teorema di B. vale in condizioni di fluido perfetto, pesante, incomprimibile, in moto permanente, e si riferisce ad un filetto fluido. Ma quando si passa ad una sezione finita, bisognerebbe tenerne conto. La sezione di uscita dell'acqua dal tubo è una "sezione contratta" , con una certa distribuzione di velocità, e si tiene conto della contrazione della vena con un coefficiente di efflusso apposito. E poi se si considera anche la "realtà" del fluido, si ha una dissipazione di energia e la linea piezometrica "cade".
Io però più di cosi non mi sento di sbilanciarmi.
Grazie ad entrambi!
@ELWOOD: il tuo ragionamento è proprio quello che ho fatto, relativo solo al tronco grosso, ed è proprio questo che mi ha portato al dubbio
@navigatore: il file che mi hai indicato l'avevo trovato qualche giorno fa mentre studiavo gli efflussi, però non è adatto al caso che sto trattando, non essendo un fenomeno di efflusso.
Ecco, credo che hai centrato il punto. Avevo intuito infatti che l'assurdo che ottengo (se così si può chiamare), dipendesse dall'aver considerato non la traiettoria, ma l'intera sezione, all'interno della quale la distribuzione delle velocità non è certo costante.
Nell'applicazione di Bernoulli all'esercizio in questione, infatti ho scritto:
$H= z+p/\gamma + \alpha\barV^2/(2g)$
dove $\barV$ indica la velocità "media" della sezione e $\alpha$ il coefficiente di ragguaglio che consente di estendere Bernoulli dalla singola traiettoria al fascio di traiettorie e che nelle applicazioni di questo tipo considero sempre pari a $1$.
In definitiva credo proprio che è come dici navigatore
.
Grazie ancora a tutti e due! (ci vediamo alla prossima puntata con i tubi di pitot... )
@ELWOOD: il tuo ragionamento è proprio quello che ho fatto, relativo solo al tronco grosso, ed è proprio questo che mi ha portato al dubbio
@navigatore: il file che mi hai indicato l'avevo trovato qualche giorno fa mentre studiavo gli efflussi, però non è adatto al caso che sto trattando, non essendo un fenomeno di efflusso.
"navigatore":
Come sai il teorema di B. vale in condizioni di fluido perfetto, pesante, incomprimibile, in moto permanente, e si riferisce ad un filetto fluido. Ma quando si passa ad una sezione finita, bisognerebbe tenerne conto.
Ecco, credo che hai centrato il punto. Avevo intuito infatti che l'assurdo che ottengo (se così si può chiamare), dipendesse dall'aver considerato non la traiettoria, ma l'intera sezione, all'interno della quale la distribuzione delle velocità non è certo costante.
Nell'applicazione di Bernoulli all'esercizio in questione, infatti ho scritto:
$H= z+p/\gamma + \alpha\barV^2/(2g)$
dove $\barV$ indica la velocità "media" della sezione e $\alpha$ il coefficiente di ragguaglio che consente di estendere Bernoulli dalla singola traiettoria al fascio di traiettorie e che nelle applicazioni di questo tipo considero sempre pari a $1$.
In definitiva credo proprio che è come dici navigatore
.Grazie ancora a tutti e due! (ci vediamo alla prossima puntata con i tubi di pitot...
)
Rieccomi, come avevo promesso, stavolta a parlare di tubi di pitot .
Vi propongo il seguente esercizio:
L'esercizio richiede, fra le altre cose, l'indicazione del manometro $n$ e il mio dubbio è proprio sul suo calcolo.
Vi propongo i due modi in cui avrei determinato tale indicazione:
1. Applicazione di Bernoulli alla traiettoria individuata dai punti $B^I$ e il baricentro del manometro $n$:
$[z_(B^I) + (p_(B^I))/(\gamma) + (v_(B^I)^2)/(2g) = z_n + (p_n)/(\gamma) + (v_n^2)/(2g)]$ $->$ $[0+0+0 = z_n + (p_n)/(\gamma) + 0]$ $->$ $[p_n =-\gamma*z_n]$
considerando che $z_(B^I) =0$, perché ho scelto il riferimento sull'asse del condotto, $p_(B^I) = 0$, perché è un punto della sezione a contatto con la pressione atmosferica (quindi a pressione relativa nulla), $v_(B^I)=0$, perché il punto $B^I$ è punto di ristagno, quindi fermo e $v_n = 0$, perché il liquido manometrico è in quietie.
Devo dire però che questa applicazione non mi convince molto. Vi scrivo anche la seconda applicazione:
2. Applicazione di Bernoulli fra la sezione $B-B$ e il baricentro del manometro $n$.
$[z_(B^I) + (p_(B^I))/(\gamma) + (\barV_B^2)/(2g) = z_n + (p_n)/(\gamma) + (\barV_n^2)/(2g)]$ $->$ $[(\barV_B^2)/(2g) = z_n + (p_n)/(\gamma)]$ $->$ $[p_n =\gamma*(-z_n + (\barV_B^2)/(2g))]$
dove $z_(B^I)$, $p_(B^I)$ e $ (\barV_n^2)/(2g)$ sono nulli per gli stessi motivi di prima (ricordo che con $\barV$ indico la velocità media della sezione).
La domanda dunque è: quale delle due applicazioni è quella corretta? Io direi la seconda, perché tiene conto in qualche modo della velocità del liquido in uscita dalla condotta, però mi rimetto a voi .
Ciao.
EDIT: Corretti i $-$ davanti alle quote $z_n$.
.Vi propongo il seguente esercizio:
L'esercizio richiede, fra le altre cose, l'indicazione del manometro $n$ e il mio dubbio è proprio sul suo calcolo.
Vi propongo i due modi in cui avrei determinato tale indicazione:
1. Applicazione di Bernoulli alla traiettoria individuata dai punti $B^I$ e il baricentro del manometro $n$:
$[z_(B^I) + (p_(B^I))/(\gamma) + (v_(B^I)^2)/(2g) = z_n + (p_n)/(\gamma) + (v_n^2)/(2g)]$ $->$ $[0+0+0 = z_n + (p_n)/(\gamma) + 0]$ $->$ $[p_n =-\gamma*z_n]$
considerando che $z_(B^I) =0$, perché ho scelto il riferimento sull'asse del condotto, $p_(B^I) = 0$, perché è un punto della sezione a contatto con la pressione atmosferica (quindi a pressione relativa nulla), $v_(B^I)=0$, perché il punto $B^I$ è punto di ristagno, quindi fermo e $v_n = 0$, perché il liquido manometrico è in quietie.
Devo dire però che questa applicazione non mi convince molto. Vi scrivo anche la seconda applicazione:
2. Applicazione di Bernoulli fra la sezione $B-B$ e il baricentro del manometro $n$.
$[z_(B^I) + (p_(B^I))/(\gamma) + (\barV_B^2)/(2g) = z_n + (p_n)/(\gamma) + (\barV_n^2)/(2g)]$ $->$ $[(\barV_B^2)/(2g) = z_n + (p_n)/(\gamma)]$ $->$ $[p_n =\gamma*(-z_n + (\barV_B^2)/(2g))]$
dove $z_(B^I)$, $p_(B^I)$ e $ (\barV_n^2)/(2g)$ sono nulli per gli stessi motivi di prima (ricordo che con $\barV$ indico la velocità media della sezione).
La domanda dunque è: quale delle due applicazioni è quella corretta? Io direi la seconda, perché tiene conto in qualche modo della velocità del liquido in uscita dalla condotta, però mi rimetto a voi
.Ciao.
EDIT: Corretti i $-$ davanti alle quote $z_n$.
JoJo, ma sei sicuro che si tratti di tubi di Pitot ? Il tubo di Pitot consente di determinare la pressione dinamica $1/2*\rho*V^2$ come differenza tra pressione totale e pressione statica:
http://www.aero.polimi.it/~baron/bachec ... OTe_01.pdf
Comunque, il ragionamento corretto è il secondo.Guardati l'eq. che riporta la dispensa allegata e te ne rendi conto, anche se lí esclude la possibilità di applicare Bernouilli.
Ma perché metti quel segno $-$ a $z_n$ ? Non è giusto, mi sembra.
http://www.aero.polimi.it/~baron/bachec ... OTe_01.pdf
Comunque, il ragionamento corretto è il secondo.Guardati l'eq. che riporta la dispensa allegata e te ne rendi conto, anche se lí esclude la possibilità di applicare Bernouilli.
Ma perché metti quel segno $-$ a $z_n$ ? Non è giusto, mi sembra.
"navigatore":
JoJo, ma sei sicuro che si tratti di tubi di Pitot ?
E' un tubo di pitot accoppiato ad un manometro metallico (il tubo di pitot normale infatti è aperto e come è riportato nella dispensa che mi hai indicato, è costituito da una presa statica e una dinamica, anche se il tubo di pitot "classico" è un semplice tubo ritorto
). E comunque io so che è uno strumento di misura della velocità (media o locale)."navigatore":
Ma perché metti quel segno $-$ a $z_n$?
Perché rispetto al riferimento $z=0$, il manometro sta sotto, quindi la quota geodetica del suo barientro è negativa (o ho detto una cavolata?
)
Dimenticavo: grazie navigatore come sempre per la tua disponibilità!
"JoJo_90":
.........
[quote="navigatore"]Ma perché metti quel segno $ - $ a $ z_n $?
Perché rispetto al riferimento $ z=0 $, il manometro sta sotto, quindi la quota geodetica del suo barientro è negativa (o ho detto una cavolata?
)[/quote]I tre termini del trinomio di Bernouilli sono tre energie specifiche, come sai, ovvero tre "altezze" nel sistema tecnico.
La posizione dello zero per $z$ non conta, nel senso che quella che conta è la "differenza" tra $z_1$ e $z_2$ ( avendo indicato con 1 e 2 le due sezioni tra le quali il trinomio si conserva). Perciò si deve scrivere :
$z_1 + p_1/(\rhog) + v_1^2/(2g) = z_2 + p_2/(\rhog) + v_2^2/(2g)$
a determinare se la differenza detta è positiva o negativa ci pensa la geometria del sistema, e questo indipendentemente dalla posizione dello zero e dall'orientamento dell' asse verticale.
Insomma, il tuo $z_n$ il segno ce l'ha incorporato dentro, è un numero reale dato, quindi oltre al modulo ha pure il segno "attaccato" al modulo.
Ti ricordi il famoso errore che molti fanno, quando si chiede loro: che cos'è il valore assoluto di un numero reale $x$ ? E quelli (che sbagliano) rispondono : " È il numero senza segno" . Sbagliato!
"navigatore":
La posizione dello zero per $z$ non conta
Scusa navigatore, ma non sono tanto convinto (forse sono tonto come un mulo
), quindi vorrei "argomentare" la mia non convinzione .Consideriamo la seguente situazione di un serbatoio in quiete (suppongo di potermi riferire ad un caso di idrostatica per chiarire questa cosa del segno della quota):
Posiziono il mio riferimento in corrispondenza del pelo libero del liquido come indicato in figura. Applico la legge di Stevino fra un punto del pelo libero ($"p.l."$) e il punto $A$ per calcolare la sua pressione:
$z_("p.l.") + (p_("p.l."))/(\gamma) = z_A + (p_A)/(\gamma)$ $" "$ $=>$ $" "$ $0 = z_A + (p_A)/(\gamma)$
Ho scritto l'equazione considerando che la $z_A$ non và scritta col segno meno.
La pressione dunque è:
$p_A = -z_A*\gamma$
La pressione dunque viene negativa, il che non è possibile, perché il punto $A$ sta sotto il piano dei carichi idrostatici relativo del fluido, in cui le pressioni di tutti i punti devono essere positive.
Scrivendo invece la $z_A$ con il segno meno, coerente con il riferimento scelto, la pressione viene positiva:
$0 = -z_A + (p_A)/(\gamma)$ $" "$ $=>$ $" "$ $p_A = z_A*\gamma$
Ho sbagliato a fare questo ragionamento?
Ciao e grazie ancora!
"JoJo_90":
.............
Posiziono il mio riferimento in corrispondenza del pelo libero del liquido come indicato in figura. Applico la legge di Stevino fra un punto del pelo libero ($ "p.l." $) e il punto $ A $ per calcolare la sua pressione:
$ z_("p.l.") + (p_("p.l."))/(\gamma) = z_A + (p_A)/(\gamma) $ $ " " $ $ => $ $ " " $ $ 0 = z_A + (p_A)/(\gamma) $
Ho scritto l'equazione considerando che la $ z_A $ non và scritta col segno meno.
La pressione dunque è:
$ p_A = -z_A*\gamma $
La pressione dunque viene negativa, il che non è possibile, perché il punto $ A $ sta sotto il piano dei carichi idrostatici relativo del fluido, in cui le pressioni di tutti i punti devono essere positive.
Scrivendo invece la $ z_A $ con il segno meno, coerente con il riferimento scelto, la pressione viene positiva:
$ 0 = -z_A + (p_A)/(\gamma) $ $ " " $ $ => $ $ " " $ $ p_A = z_A*\gamma $
Ho sbagliato a fare questo ragionamento?
Ciao e grazie ancora!
......MMMMMMMM !
Il piano $z = 0$ coincide col pelo libero del liquido. Supponi l'asse $z$ orientato positivo verso l'alto.
Allora $z_A < 0$ .
Perciò : $ p_A = -z_A*\gamma >0 $ , come deve essere. Ad esempio supponi che sia : $ z_A = - 10m$ . Allora : $p_A = + 1 atm$ (circa, se fosse acqua) .
Se invece orienti l'asse $z$ positivo verso il basso, allora $z_A >0 $, e scrivi : $ p_A = z_A*\gamma$.
E la pressione in A risulta ancora positiva, ovviamente.
Ciao JoJo, e sta tranquillo, non sei tonto, affatto.
Fa un buon esame di Idraulica, mi raccomando!
"navigatore":
Ma quello che veramente non conta è, ripeto, il posizionamento del piano $z=0$.
Si, concordo; ho inteso male quel "non conta" riferito al segno della quota geodetica $z$, mentre era riferito al fatto che la posizione del piano di riferimento è del tutto arbitraria.
Ho anche capito cosa volevi dire riguardo il segno $-$ davanti alla $z_n$: in sintesi, se io ho un punto $P$ al di sotto delle $z$, esso avrà certamente una quota negativa e ciò lo scriverò nel modo seguente:
$z_("P") = - 2$ metri
e non
$-z_("P") = - 2$ metri
D'altronde, è come se sul piano cartesiano, le coordinate di un punto $P$ del quarto quadrante le scrivessi erroneamente come $P(x,-y)$ e non come sarebbe giusto, ovvero $P(x,y)$, con $y$ un generico valore negativo.
O almeno, questo è quello che ho capito dalle tue parole, magari mi sbaglio.
Grazie ancora comunque e spero anche io di fare un buon esame, ciao
Hai capito perfettamente. Ciao.
@ELWOOD e navigatore: intervengo per ringraziarvi di tutto l'aiuto che mi avete dato con questa materia. Lunedì ho fatto l'esame di Idraulica 1 (solo scritto) e l'ho superato con 27 .
Vi ringrazio tanto e spero di poter ricambiare in qualche modo (anche se con te, navigatore, credo sia più difficile essendo tu ormai fuori dai giochi )
Ciao a tutti e due e grazie ancora
P.S. Non crediate che sia finita qui comunque, adesso infatti viene il bello: Idraulica 2
.Vi ringrazio tanto e spero di poter ricambiare in qualche modo (anche se con te, navigatore, credo sia più difficile essendo tu ormai fuori dai giochi
)Ciao a tutti e due e grazie ancora
P.S. Non crediate che sia finita qui comunque, adesso infatti viene il bello: Idraulica 2
Bravo Jojo...non avevo dubbi!Ma mi sento di dire che il mio aiuto non ha sicuramente influito sul tuo risultato.
Keep going!
Keep going!
E invece ti sbagli , anzi sei stato il primo a darmi aiuto in Idraulica.
, anzi sei stato il primo a darmi aiuto in Idraulica.
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