[Generico] momento di inerzia centrifugo.

[andrea123476]

ciao a tutti.. avrei una domanda da porre spero qualcuno possa chiarire i miei dubbi... se ho una sezione di una trava e quindi un area ho la cordinata del baricentro e due assi di con i rispettivi momenti di inerzia compreso quello centrifugo. Come posso trovare l'angolo e quindi il sistema principale di inerzia dove il momento centrifugo si annullerà????? grazie

[ELWOOD1]

Ciao e benvenuto
In effetti hai colto proprio il concetto....gli assi principali d'inerzia rappresentano quel sistema di riferimento rispetto al quale il calcolo del momento centrifugo risulta nullo.

Per cui ti basterà scrivere l'espressione del momento centrifugo rispetto ad un sistema di riferimento ruotato di un generico angolo $\alpha$ ed imporlo uguale a zero.

[ot]Sia $Oxy$ il sistema di riferimento fisso, e sia $Ox'y'$ il sistema ruotato di un angolo $\alpha$ rispetto a $Oxy$ allora la legge di variazione delle coordinate è descritto dal seguente sistema:

${[x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha],[y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha]:}$

Allora per un sistema discreto i momenti del secondo ordine sono:

$J_{x'}=\sum_i m_i*(-x\sin\alpha+y\cos\alpha)^2=J_x\cos^2\alpha+J_y\sin^2\alpha-2J_{xy}\sin\alpha\cos\alpha$

In particolare il momento centrifugo è

$J_{x'y'}=J_x\sin\alpha\cos\alpha-J_y\sin\alpha\cos\alpha+J_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)$

Questa espressione con le identità trigonometriche puoi ricondurla alla più semplice:

$J_{x'y'}=\frac{J_x-J_y}{2}\sin(2\alpha)+J_{xy}\cos(2\alpha)$

Imponendo quest'ultima nulla ottieni

$\alpha=1/2\arctan(-\frac{2J_{xy}}{J_x-J_y})$ con $\alpha\in[-(\pi)/4,(\pi)/4]$[/ot]

[andrea123476]

grazie mille hai chiarito i miei dubbi!!