[Fondamenti di Automatica] Esercizio

[zavo91]

Dato il sistema dinamico LTI a TC la cui matrice dinamica è
$ [( alpha , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , beta , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 4 )] $
dire per quali valori diella coppia $(alpha,beta)$ esso è asintoticamente stabile.


dalla teoria si ha che un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa e quindi devo trovare il determinate di $(SI-A)$ per poi trovare gli autovalori e che dovrebbe essere $S^4+(-1-beta-alpha)S^3+(-14+beta+alphabeta+alpha)S^2+(14alpha-alphabeta+12beta-6)S-12alphabeta+6alpha$


ora non so come procedere per il calcolo degli autovalori

[zavo91]

"TeM":Hai scritto tutto correttamente, pure tutta "quella sberla" di espressione. Però non mi capacito del fatto perché tu l'abbia "complicata" in quel modo! Infatti, in soldoni, per calcolare gli autovalori di una matrice \(A\) occorre calcolare
le radici del polinomio caratteristico, ossia di \( \det(SI - A) \). Dunque si ha \[ \det(SI-A) = 0 \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \det \begin{bmatrix} S -\alpha & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S+3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S-\beta & 2 \\ 0 & 0 & 1 & S-4 \end{bmatrix} = 0 \] e grazie al Teorema di Laplace quel determinante è presto calcolato e precisamente si ha \[ (S-\alpha)(S+3)\left((S-\beta)(S-4)-1\cdot 2\right) = 0 \; . \] A questo punto non credo tu possa trovare altre difficoltà nel ricavare tutti e \(4\) gli autovalori e verificare che
(causa uno) non esiste alcuna coppia \((\alpha,\; \beta)\) che renda stabile quel sistema dinamico

purtroppo si non riesco a capire come calcolare la coppia che rende il sistema Asintoticamente stabile....devo per caso usare il criterio di Routh?

[zavo91]

Ecco io mi complicavo la vita moltiplicando tutti i fattori del determinante ma non capisco perchè si fa cosí cioè perchè ho un autovalore che è $alpha$ e uno che è $-3$?? Cioè a me hanno fatto vedere che per trovare gli autovalori bisogna studiare tutto il determinante facendo tutte le moltiplicazioni

[zavo91]

scusa ma non mi torna il calcolo degli autovalori semplici nel caso in questione S1 e S2 cioè perchè sono quelli?

[zavo91]

e io ad occhio non vedo che S4 ha parte reale positiva come posso capirlo?