[Fisica Tecnica] Parete piana con generazione
Sto cercando di risolvere un esercizio che chiede di determinare la potenza di generazione per unità di volume in uno strato di una parete.
La parete è a 3 strati, vengono forniti come dati gli spessori e le conducibilità dei materiali, la temperatura superficiale interna e operante interna e il coefficiente radiativo-convettivo.
Come posso trovare la potenza di generazione con questi dati?
La parete è a 3 strati, vengono forniti come dati gli spessori e le conducibilità dei materiali, la temperatura superficiale interna e operante interna e il coefficiente radiativo-convettivo.
Come posso trovare la potenza di generazione con questi dati?
Risposte
Immagino tu sia in condizioni stazionarie.
Mi sembra un po' strano, comunque.
Per caso ti viene data una temperatura ambiente? O una temperatura "infinito" all'esterno? All'interno hai convezione?
Mi sembra un po' strano, comunque.
Per caso ti viene data una temperatura ambiente? O una temperatura "infinito" all'esterno? All'interno hai convezione?
Sia dato un pavimento radiante in condizioni di regime stazionario. Siano note le temperature superficiale interna (29°C), ed operante interna (20°C), nonché il coefficiente di scambio superficiale interno, convettivo-radiativo (12 $W/(m^2k)$.
Gli strati che costituiscono il solaio a partire dall’esterno, trascurando le resistenze di contatto, sono:
uno strato isolante di spessore s1 e conduttività λ1 = 0.034 W/(mK);
uno strato contenente i pannelli radianti, interessato da generazione distribuita, di spessore s2 = 2,5 cm e conduttività λ2 = 1 W/(mK);
uno strato di massetto di spessore s3 = 4,5 cm con conduttività λ3 = 1.4 W/(mK).
Il pavimento radiante risulta perfettamente isolato nei confronti dell’ambiente sottostante.
Gli strati che costituiscono il solaio a partire dall’esterno, trascurando le resistenze di contatto, sono:
uno strato isolante di spessore s1 e conduttività λ1 = 0.034 W/(mK);
uno strato contenente i pannelli radianti, interessato da generazione distribuita, di spessore s2 = 2,5 cm e conduttività λ2 = 1 W/(mK);
uno strato di massetto di spessore s3 = 4,5 cm con conduttività λ3 = 1.4 W/(mK).
Il pavimento radiante risulta perfettamente isolato nei confronti dell’ambiente sottostante.
Provo a darti qualche spunto, non sono certo sia la strada corretta.
Con la legge di Newton h(T-T_infinito) puoi trovare il flusso termico per unità di superficie. Sarà uguale al flusso per conduzione valutato all'interfaccia interna, espresso tramite legge di Fourier.
Dopodiché scriverei l'equazione del calore e integrerei con le opportune condizioni al contorno.
Nota che devi scrivere 3 volte l'equazione del calore, una volta per ogni parete. Per la parete centrale hai doppia condizione al contorno sul flusso termico.
Con la legge di Newton h(T-T_infinito) puoi trovare il flusso termico per unità di superficie. Sarà uguale al flusso per conduzione valutato all'interfaccia interna, espresso tramite legge di Fourier.
Dopodiché scriverei l'equazione del calore e integrerei con le opportune condizioni al contorno.
Nota che devi scrivere 3 volte l'equazione del calore, una volta per ogni parete. Per la parete centrale hai doppia condizione al contorno sul flusso termico.
Il flusso ok, l'ho ricavato... Però non so come impostare l'equazione del calore e le condizioni al contorno, riesci a darmi una mano?
La potenza di generazione è da ricavare solo per il secondo strato
La potenza di generazione è da ricavare solo per il secondo strato
"effez":
Il flusso ok, l'ho ricavato... Però non so come impostare l'equazione del calore e le condizioni al contorno, riesci a darmi una mano?
La potenza di generazione è da ricavare solo per il secondo strato
L'equazione del calore nelle sue condizioni più generali si presenta come:
$ 1/alpha (partial T)/(partial t) = grad ^2 T + dot(q)/k $
E' una PDE (Partial Differential Equation) e come tale, per essere integrata nel campo T(x,y,z,t), necessita di due informazioni:
- Una condizione iniziale
- Una condizione al bordo
In condizioni stazionarie, per parete piana, diventa:
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
Per trovare la soluzione generale di questa equazione ti basta separare le variabili e integrare.
Integra una volta se vuoi l'espressione del flusso termico in funzione della tua coordinata x.
Integra due volte se vuoi l'espressione del profilo di temperatura in funzione della tua coordinata x.
Nel tuo caso penso sia sufficiente lavorare coi flussi termici.
Ti serve quindi solo la condizione al bordo. Con bordo si ritiene la "periferia" del dominio. Nel tuo caso ogni parete piana è interpretabile come dominio e pertanto il suo bordo sarà costituito dalle due interfacce.
Fissiamo innanzitutto una coordinata x, ortogonale alle pareti.
Fissiamo x=0 all'interfaccia della parete più interna.
In successione, dalla più interna all'esterna, avrai le seguenti condizioni al bordo:
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=0) = h (T-T_(infty)) $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) = -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) = -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) $
$ -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) = -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) $
$ -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) = -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) $
$ -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L3) = 0 $
L'ultima condizione al bordo impone il flusso termico nullo, essendo il pavimento isolato rispetto l'esterno.
Non l'ho svolto a mano, fammi sapere se così ti torna qualcosa.
Praticamente come soluzione ottengo φ (flusso termico) $φ(x)= pi*x$ e avendo già trovato il flusso, avendo x= 2,5 cm ottengo $pi$ che è la generazione, giusto? (i conti mi tornano)
Un dubbio, bisogna utilizzare la prima condizione al contorno inerente ad un rapporto tra solido e fluido perchè è un pavimento radiante?
Un dubbio, bisogna utilizzare la prima condizione al contorno inerente ad un rapporto tra solido e fluido perchè è un pavimento radiante?
Un'altra cosa, io devo risolvere questi 3 sistemi...
1_
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=0) = h (T-T_(infty)) $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) = -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) $
2_
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) = -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) $
$ -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) = -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) $
3_
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
$ -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) = -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) $
$ -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L3) = 0 $
In tutti e 3 i casi devo mettere $ dot(q)/k $ o solo nel secondo strato?
1_
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=0) = h (T-T_(infty)) $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) = -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) $
2_
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
$ -k_1 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) = -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L1) $
$ -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) = -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) $
3_
$ (partial^2 T)/(partial^2 x) + dot(q)/k = 0 $
$ -k_2 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) = -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L2) $
$ -k_3 (partial T)/(partial x) |_(x=L3) = 0 $
In tutti e 3 i casi devo mettere $ dot(q)/k $ o solo nel secondo strato?
Il testo dice che hai generazione distribuita solo nel secondo strato.
Quindi q punto è zero nel primo e nell'ultimo strato. Non avevo notato inizialmente.
Riassumendo:
Prima parete: Non hai generazione. L'equazione del calore si riduce a: $ nabla^2T=0 $ oppure, in termini di flusso: $ nabla \cdot vec(q)=0 $ .
Dalla prima si nota che il campo di temperature sarà lineare con la coordinata x. Integrando due volte infatti si ottiene: $ T(x)=A+Bx $
La seconda formulazione ti fa notare che il flusso termico è costante lungo la coordinata x per una parete senza termine di generazione e in condizioni stazionarie.
Quindi, se trovi il flusso in x=0, ce l'hai anche in x=L1. Come abbiamo detto, il flusso in x=0 lo trovi per comparazione con la legge di Newton:
$ -k(partial T)/(partial x) |_(x=0) = h(T-T_(infty)) $
Rispondendo anche all'altro quesito che hai posto: la legge di Newton è stata formulata in relazione (e solo) allo scambio termico per convezione. La legge è stata formulata da un'evidenza sperimentale: per una data condizione del flusso convettivo, il flusso termico era proporzionale alla differenza di temperatura. Questo in verità è vero solo per la convezione forzata. In questo caso, h è quindi davvero una costante indipendente dalla temperatura (ma dipendente da moltissime altre grandezze, in primis la velocità del flusso convettivo).
Ora, il tuo caso è un caso un po' "speciale". Il testo riporta il coefficiente h come coefficiente di scambio termico "radiativo-convettivo". A volte, può capitare che all'interfaccia di un solido tu abbia una condizione mista radiativa-convezione, dove cioè entrambi i modi di scambio termico sono rilevanti. Quando, tuttavia, le temperature del mezzo irradiante e del solido non sono così diverse, è possibile linearizzare lo scambio termico per radiazione e definire una sola costante di proporzionalità, cioè un coefficiente di scambio termico globale "convettivo-radiativo".
Ti ho spiegato per completezza. Non credo ti possa capitare una situazione in cui il testo non ti suggerisce chiaramente come operare (cioè come trattare convezione e radiazione nel caso siano entrambe presenti).
Seconda parete:
Hai generazione. L'equazione del calore si scrive come:
$ nabla^2T+dot(q)/k=0 $
Moltiplicando tutto per k ed esprimendo in termini di flusso termico, ottieni:
$ -nabla\cdot vec(q) +dot(q)=0 $
Integrando, la soluzione generale è:
$ vec(q)(x)=dot(q)x+C $
C è la costante di integrazione. Per trovare C, imponi una condizione al bordo. Dalla prima parete, conosci il flusso in L1.
Quindi q punto è zero nel primo e nell'ultimo strato. Non avevo notato inizialmente.
Riassumendo:
Prima parete: Non hai generazione. L'equazione del calore si riduce a: $ nabla^2T=0 $ oppure, in termini di flusso: $ nabla \cdot vec(q)=0 $ .
Dalla prima si nota che il campo di temperature sarà lineare con la coordinata x. Integrando due volte infatti si ottiene: $ T(x)=A+Bx $
La seconda formulazione ti fa notare che il flusso termico è costante lungo la coordinata x per una parete senza termine di generazione e in condizioni stazionarie.
Quindi, se trovi il flusso in x=0, ce l'hai anche in x=L1. Come abbiamo detto, il flusso in x=0 lo trovi per comparazione con la legge di Newton:
$ -k(partial T)/(partial x) |_(x=0) = h(T-T_(infty)) $
Rispondendo anche all'altro quesito che hai posto: la legge di Newton è stata formulata in relazione (e solo) allo scambio termico per convezione. La legge è stata formulata da un'evidenza sperimentale: per una data condizione del flusso convettivo, il flusso termico era proporzionale alla differenza di temperatura. Questo in verità è vero solo per la convezione forzata. In questo caso, h è quindi davvero una costante indipendente dalla temperatura (ma dipendente da moltissime altre grandezze, in primis la velocità del flusso convettivo).
Ora, il tuo caso è un caso un po' "speciale". Il testo riporta il coefficiente h come coefficiente di scambio termico "radiativo-convettivo". A volte, può capitare che all'interfaccia di un solido tu abbia una condizione mista radiativa-convezione, dove cioè entrambi i modi di scambio termico sono rilevanti. Quando, tuttavia, le temperature del mezzo irradiante e del solido non sono così diverse, è possibile linearizzare lo scambio termico per radiazione e definire una sola costante di proporzionalità, cioè un coefficiente di scambio termico globale "convettivo-radiativo".
Ti ho spiegato per completezza. Non credo ti possa capitare una situazione in cui il testo non ti suggerisce chiaramente come operare (cioè come trattare convezione e radiazione nel caso siano entrambe presenti).
Seconda parete:
Hai generazione. L'equazione del calore si scrive come:
$ nabla^2T+dot(q)/k=0 $
Moltiplicando tutto per k ed esprimendo in termini di flusso termico, ottieni:
$ -nabla\cdot vec(q) +dot(q)=0 $
Integrando, la soluzione generale è:
$ vec(q)(x)=dot(q)x+C $
C è la costante di integrazione. Per trovare C, imponi una condizione al bordo. Dalla prima parete, conosci il flusso in L1.
Grazie mille!!
Sei bravo anche con l'illuminotecnica? Se hai tempo, daresti un'occhiata anche all'altro esercizio che ho postato pochi giorni fa?
Sei bravo anche con l'illuminotecnica? Se hai tempo, daresti un'occhiata anche all'altro esercizio che ho postato pochi giorni fa?
"effez":
Grazie mille!!
Sei bravo anche con l'illuminotecnica? Se hai tempo, daresti un'occhiata anche all'altro esercizio che ho postato pochi giorni fa?
No, mi spiace, di illuminotecnica non so proprio niente
Scusami ancora, non capisco quale condizione al bordo usare per trovare C
"effez":
Scusami ancora, non capisco quale condizione al bordo usare per trovare C
L'espressione del flusso termico nella seconda parete abbiamo detto essere:
$ q(x) = dot(q)_rx+C $
Conosci il flusso all'interfaccia tra il secondo strato e il primo, fissato a sua volta dall'interfaccia radiativa-convettiva. Cioè:
$ q(L1) = q_(conv) = h(T-T_(infty)) $
Quindi, chiamando L1, L2, L3 lo spessore delle tre pareti:
$ q_(conv) = dot(q)_rL1+C_2 $
Le incognite sono due $ q_r $ e $ C_2 $.
Quindi imponi anche l'altra condizione al bordo, in L2.
Per trovare il flusso termico in L2, studia la terza parete. La terza parete non ha generazione e ha condizione al bordo in L3 fissata (flusso termico nullo).
Quindi dall'equazione del calore alla terza parete hai:
$ nabla \cdot vec(q) = 0 $
Integrata ottieni:
$ q(x)=C_3 $
Ma in L3 il flusso è nullo, quindi:
$ q(x)=cost=0=q(L2)$
Tornando all'espressione del flusso nella parete con generazione e imponendo entrambe le condizioni al bordo, in L1 e L2, ti ritroverai col seguente sistema di 2 equazioni in 2 incognite da risolvere:
$ q(L2)=0=q_r\cdot L2+C_2 $
$ q(L1)=q_(conv)=q_r\cdot L1+C_2 $
Da cui trovi:
$ C_2=-dot(q)_rL2 $
$ q_r=q_(conv)/(L1-L2) $
Il motivo del segno meno di q_r è dovuto al fatto che abbiamo preso una coordinata con direzione opposta al flusso termico.
Se avessi fissato x=0 alla terza parete, avresti trovato q_r col segno giusto.
P.S. Ho voluto darti la soluzione passo per passo, in modo da fartici ragionare un po'
Posso chiederti come ragionare su un esercizio di termodinamica che non riesco a risolvere, dove calcolare la portata in massa di aria secca di ricircolo?
"effez":
Posso chiederti come ragionare su un esercizio di termodinamica che non riesco a risolvere, dove calcolare la portata in massa di aria secca di ricircolo?
Va bene, posta pure. Non ho moltissimo tempo, quindi magari rispondo ogni tanto.
Se L1 non ce l'ho fra i dati, come lo ricavo?
E un'altra cosa... all'inizio, quando semplifichi il k (che sarebbe il $lambda$ vero?) non dovresti averlo nell'equazione del flusso? $ -knabla\cdot vec(q) +dot(q)=0 $
E un'altra cosa... all'inizio, quando semplifichi il k (che sarebbe il $lambda$ vero?) non dovresti averlo nell'equazione del flusso? $ -knabla\cdot vec(q) +dot(q)=0 $
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