[Fisica Matematica] Calcolo baricentro e momenti di inerzia
Salve a tutti,
ora proverò a postare lo svolgimento di un esercizio che richiedeva il:
-Calcolo del baricentro
-Calcolo del momento di inerzia rispetto all'asse x e x'
-Dire se la terna O'x'y è principale di inerzia
(Nell'immagine due quadratini valgono "a")
Dunque per il calcolo del baricentro ho ragionato per simmetrie. Poiché la figura ammette due rette di simmetria materiale, allora il baricentro risulta essere univocamente determinato. In particolare, in questo caso, il baricentro è il punto $ G (3/2a ;5/2a) $
Per quanto riguarda il momento di inerzia rispetto all'asse x, ho sottratto dal momento di inerzia rispetto a x del rettangolo 3a 5a quello dei due quadrati a*a e viene
$ I_(x)/rho =int_(0)^(3a) dxint_(0)^(5a)y^2dy- int_(0)^(a)dxint_(a)^(2a)y^2dy-int_(0)^(a)dxint_(3a)^(4a)y^2 dy=110a^4 $
Per trovare il momento di inerzia rispetto a x' ho posto questo sistema
$ { ( I_(x')=I_(xG)+mD^2 ),( I_(x)=I_(xG)+md^2 ):} $ con $ D=dist(G;x') $ e $ d=dist(G;x) $
e quindi sottraendo membro a membro le equazioni ottengo $ I_(x')=I_x+m(D^2-d^2)=58a^4 $ dove $ m $ è la massa del rettangolo meno la massa dei due quadrati.
Per vedere se O'x'y è terna principale di inerzia ho calcolato il prodotto di inerzia
$ I_(x'y)/rho =int_(0)^(3a)dx'int_(-4a)^(a)(x'y)dy -int_(a)^(2a)dx' int_(-a)^(0)(x'y)dy -int_(a)^(2a)dx'int_(-2a)^(-3a)(x'y)dy = -117/4a^4 $ che essendo diverso da zero indica che la terna O'x'y non è principale di inerzia.
A meno di errori sugli integrali credo che il procedimento sia corretto. Grazie a tutti coloro che daranno uno sguardo!
ora proverò a postare lo svolgimento di un esercizio che richiedeva il:
-Calcolo del baricentro
-Calcolo del momento di inerzia rispetto all'asse x e x'
-Dire se la terna O'x'y è principale di inerzia
(Nell'immagine due quadratini valgono "a")Dunque per il calcolo del baricentro ho ragionato per simmetrie. Poiché la figura ammette due rette di simmetria materiale, allora il baricentro risulta essere univocamente determinato. In particolare, in questo caso, il baricentro è il punto $ G (3/2a ;5/2a) $
Per quanto riguarda il momento di inerzia rispetto all'asse x, ho sottratto dal momento di inerzia rispetto a x del rettangolo 3a 5a quello dei due quadrati a*a e viene
$ I_(x)/rho =int_(0)^(3a) dxint_(0)^(5a)y^2dy- int_(0)^(a)dxint_(a)^(2a)y^2dy-int_(0)^(a)dxint_(3a)^(4a)y^2 dy=110a^4 $
Per trovare il momento di inerzia rispetto a x' ho posto questo sistema
$ { ( I_(x')=I_(xG)+mD^2 ),( I_(x)=I_(xG)+md^2 ):} $ con $ D=dist(G;x') $ e $ d=dist(G;x) $
e quindi sottraendo membro a membro le equazioni ottengo $ I_(x')=I_x+m(D^2-d^2)=58a^4 $ dove $ m $ è la massa del rettangolo meno la massa dei due quadrati.
Per vedere se O'x'y è terna principale di inerzia ho calcolato il prodotto di inerzia
$ I_(x'y)/rho =int_(0)^(3a)dx'int_(-4a)^(a)(x'y)dy -int_(a)^(2a)dx' int_(-a)^(0)(x'y)dy -int_(a)^(2a)dx'int_(-2a)^(-3a)(x'y)dy = -117/4a^4 $ che essendo diverso da zero indica che la terna O'x'y non è principale di inerzia.
A meno di errori sugli integrali credo che il procedimento sia corretto. Grazie a tutti coloro che daranno uno sguardo!
Risposte
Ho controllato i calcoli e sono tutti giusti, solo una cosa, tu scrivi
\(\displaystyle \frac{I_{xx}}{\rho}=110a^4 \)
Ma per quanto ne so, $\rho$ rappresenta il raggio d'inerzia, definito come
\(\displaystyle \rho=\sqrt{\frac{I_{xx}}{A}} \)
dove $A$ è l'area. Quindi io toglierei quel simbolo perché, anche dimensionalmente, quando calcoli l'inerzia di una lastra omogenea, questa assume le dimensioni di una lunghezza alla IV come tu giustamente hai trovato.
\(\displaystyle \frac{I_{xx}}{\rho}=110a^4 \)
Ma per quanto ne so, $\rho$ rappresenta il raggio d'inerzia, definito come
\(\displaystyle \rho=\sqrt{\frac{I_{xx}}{A}} \)
dove $A$ è l'area. Quindi io toglierei quel simbolo perché, anche dimensionalmente, quando calcoli l'inerzia di una lastra omogenea, questa assume le dimensioni di una lunghezza alla IV come tu giustamente hai trovato.
Credo che per rho intendesse la densità della lamina, perchè il raggio di inerzia non l'abbiamo definito. Forse ho sbagliato io simbolo
A volte indica anche la densità quindi non può essere. Ma a te interessavano i conti e quelli erano giusti.
Buono studio
Buono studio
Grazie mille per aver controllato e per la gentilezza!
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