Esercizio studio sistema
La coppia di controllo rispetto all'asse di rollio di un aereo viene generata mediante la rotazione delle superfici mobili, presenti sulle ali. Sia $delta(t)$ l'angolo di deflessione di tali superfici rispetto alla loro posizione neutra. S indichi poi con $phi(t)$ l'angolo di rollio e $w(t)$ la velocità angolare di rollio. Indicando con $j$ il momento di inerzia dell'aereo rispetto all'asse x, un semplice modello descrivente la dinamica del rollio è
$Jddot{phi}=-Kdot{phi}+ddelta(t)$
$delta(t)= u(t)$
$y(t)=phi(t)$
1)Fornire una rappresentazione nello spazio di stato del sistema;
2)Analizzare le proprietà strutturali della realizzazione ottenuta in 1;
3)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione statica dell'uscita, ossia mediante un controllo del tipo $u(t)=Fy(t)$? Dire il perchè e dare una soluzione in caso affermativo;
4)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione dinamica dell'uscita? Descrivere brevemente una possibile soluzione in caso affermativo;
5)Ricavare la funzione di trasferimento del sistema;
6)Assumendo j = 10, k = 1, d= 10, si determini un sistema di controllo a controreazione unitaria, tale che si abbia stabilità asintotica con un margine di fase di almeno 40° e un tempo di salita di almeno $t_1=0,5$ circa.
Allora provo a risolvere:
1)posto $dot{x_1}(t)=x_2(t)=dot{phi}(t)$ e $dot{x_2}(t)=ddot{phi}(t)$
avremo che :
$dot{x_1}(t)=x_2(t)$
$dot{x_2}(t)=-frac{K}{J}x_2(t)+frac{1}{J}u(t)$
$y(t)=x_1(t)$, e il primo punto dovrebbe essere risolto.
Punto 2 analizziamo le proprietà strutturali, dovrebbe essere un sistema SISO, lineare tempo invariante continuo, strettamente proprio. E anche il secondo punto dovrebbe essere risolto.
Faccio un po' di fatica, invece a capire che cosa voglia nei punti 3 e 4.
$Jddot{phi}=-Kdot{phi}+ddelta(t)$
$delta(t)= u(t)$
$y(t)=phi(t)$
1)Fornire una rappresentazione nello spazio di stato del sistema;
2)Analizzare le proprietà strutturali della realizzazione ottenuta in 1;
3)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione statica dell'uscita, ossia mediante un controllo del tipo $u(t)=Fy(t)$? Dire il perchè e dare una soluzione in caso affermativo;
4)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione dinamica dell'uscita? Descrivere brevemente una possibile soluzione in caso affermativo;
5)Ricavare la funzione di trasferimento del sistema;
6)Assumendo j = 10, k = 1, d= 10, si determini un sistema di controllo a controreazione unitaria, tale che si abbia stabilità asintotica con un margine di fase di almeno 40° e un tempo di salita di almeno $t_1=0,5$ circa.
Allora provo a risolvere:
1)posto $dot{x_1}(t)=x_2(t)=dot{phi}(t)$ e $dot{x_2}(t)=ddot{phi}(t)$
avremo che :
$dot{x_1}(t)=x_2(t)$
$dot{x_2}(t)=-frac{K}{J}x_2(t)+frac{1}{J}u(t)$
$y(t)=x_1(t)$, e il primo punto dovrebbe essere risolto.
Punto 2 analizziamo le proprietà strutturali, dovrebbe essere un sistema SISO, lineare tempo invariante continuo, strettamente proprio. E anche il secondo punto dovrebbe essere risolto.
Faccio un po' di fatica, invece a capire che cosa voglia nei punti 3 e 4.
Risposte
Nel punto 3 ti sta chiedendo se considerando questa retroazione dell'uscita
[fcd="Schema"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
TY 115 80 4 3 0 0 0 * Sistema
RV 105 70 150 95 0
LI 150 80 175 80 0
TY 125 110 4 3 0 0 0 * k
RV 120 105 135 120 0
LI 135 110 165 110 0
LI 165 110 165 80 0
EV 75 75 85 85 0
LI 85 80 105 80 0
LI 120 110 80 110 0
LI 80 110 80 85 0
LI 75 80 55 80 0
LI 75 80 70 75 0
LI 75 80 70 85 0
LI 175 80 170 75 0
LI 175 80 170 85 0
LI 80 85 75 90 0
LI 80 85 85 90 0
LI 140 105 135 110 0
LI 140 115 135 110 0
TY 70 90 4 3 0 0 0 * -
TY 175 70 4 3 0 0 0 * Y
TY 55 70 4 3 0 0 0 * u
TY 95 70 4 3 0 0 0 * u
TY 95 65 4 3 0 0 0 * ~[/fcd]
si riesce a stabilizzare il sistema
[fcd="Schema"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
TY 115 80 4 3 0 0 0 * Sistema
RV 105 70 150 95 0
LI 150 80 175 80 0
TY 125 110 4 3 0 0 0 * k
RV 120 105 135 120 0
LI 135 110 165 110 0
LI 165 110 165 80 0
EV 75 75 85 85 0
LI 85 80 105 80 0
LI 120 110 80 110 0
LI 80 110 80 85 0
LI 75 80 55 80 0
LI 75 80 70 75 0
LI 75 80 70 85 0
LI 175 80 170 75 0
LI 175 80 170 85 0
LI 80 85 75 90 0
LI 80 85 85 90 0
LI 140 105 135 110 0
LI 140 115 135 110 0
TY 70 90 4 3 0 0 0 * -
TY 175 70 4 3 0 0 0 * Y
TY 55 70 4 3 0 0 0 * u
TY 95 70 4 3 0 0 0 * u
TY 95 65 4 3 0 0 0 * ~[/fcd]
si riesce a stabilizzare il sistema
Non saprei come rispondere, dovrei forse studiare raggiungibilità e osservabilità per determinarlo? Intanto vado avanti con gli altri punti.
Per quanto riguarda il punto 5 abbiamo:
$A=((0,1),(0,-frac{K}{J}))$, $B=((0),(frac{d}{J}))$, $C=(1,0)$ e $D=0$,
quindi $W(s)=frac{d}{Js(frac{K}{J}+s)}$.
Per il punto 6 non riesco a capire a che cosa equivalga la condizione tempo di salita $t_1=0.5$
Per quanto riguarda il punto 5 abbiamo:
$A=((0,1),(0,-frac{K}{J}))$, $B=((0),(frac{d}{J}))$, $C=(1,0)$ e $D=0$,
quindi $W(s)=frac{d}{Js(frac{K}{J}+s)}$.
Per il punto 6 non riesco a capire a che cosa equivalga la condizione tempo di salita $t_1=0.5$
Non mi trovo.
Se hai:
$ { ( dot(x_1)=x_2 ),( dot(x_2)=-k/Jx_1+d/ju ),( y=x_1 ):} $
allora:
$ A=( ( 0 , 1 ),( -k/J , 0 ) ) ; B=( ( 0 ),( d/J ) ); C= ( 1 \ \ 0 ) $
ti pare?
Se hai:
$ { ( dot(x_1)=x_2 ),( dot(x_2)=-k/Jx_1+d/ju ),( y=x_1 ):} $
allora:
$ A=( ( 0 , 1 ),( -k/J , 0 ) ) ; B=( ( 0 ),( d/J ) ); C= ( 1 \ \ 0 ) $
ti pare?
Hai ragione, correggo, quindi $ W (s)=frac {d}{J(s^2+frac {k}{J})}$ per quanto riguarda invece
"claudio_p88":?
Non saprei come rispondere, dovrei forse studiare raggiungibilità e osservabilità per determinarlo?
Per il punto 6 non riesco a capire a che cosa equivalga la condizione tempo di salita $ t_1=0.5 $
Vai avanti prima con gli altri punti...
Per quanto riguarda la specifica sul tempo di salita, esiste questa formuletta empirica $ t_s~=0.4/B_6 $ dove con $B_6$ ho inteso la banda passante del sistema a ciclo chiuso a $6 dB$
PS: ovviamente $B_6$ è dimensionalmente una frequenza
Per quanto riguarda la specifica sul tempo di salita, esiste questa formuletta empirica $ t_s~=0.4/B_6 $ dove con $B_6$ ho inteso la banda passante del sistema a ciclo chiuso a $6 dB$
PS: ovviamente $B_6$ è dimensionalmente una frequenza
Per i punti 3 o 4 dovrei studiare osservabilitá e raggiungibilitá per rispondere?
No..ti chiede ( punto 3) se è possibile stabilizzare il sistema retroazionando l'uscita con un una retroazione statica ( ovvero per mezzo di una costante $k$ )
Se ci rifletti, questo punto è analogo al controllo per mezzo della retroazione dello stato, solo che qui, invece dello stato, retroazioni l'uscita. Se ragioni allo stesso modo ottieni qualcosa di molto identico e poi vedi se è possibile stabilizzare il sistema.
Il punto 4, invece, ti chiede la stessa cosa del punto 3, salvo il fatto che, invece di effettuare una retroazione dell'uscita per mezzo di una semplice costante, di retroazionarla per mezzo di un secondo sistema dinamico caratterizzato, ad esempio, da matrici $A_c,B_c,C_c,D_c$
Se ci rifletti, questo punto è analogo al controllo per mezzo della retroazione dello stato, solo che qui, invece dello stato, retroazioni l'uscita. Se ragioni allo stesso modo ottieni qualcosa di molto identico e poi vedi se è possibile stabilizzare il sistema.
Il punto 4, invece, ti chiede la stessa cosa del punto 3, salvo il fatto che, invece di effettuare una retroazione dell'uscita per mezzo di una semplice costante, di retroazionarla per mezzo di un secondo sistema dinamico caratterizzato, ad esempio, da matrici $A_c,B_c,C_c,D_c$
Quindi ad esempio scegliendo un polinomio di grado due con autovalori negativi, e assegnando con $ A+BK $?
Rifai tutti i passaggi teorici, non viene fuori $A+BK$, ma qualcos'altro che però lo ricorda
Risolvendo con Routh $ (W (s))/(1+kW (s))$?
Se ti riferisci ancora al punto 3, con riferimento allo schema che ti ho incollato, si ha:
$ { ( dot(x)=Ax+Btilde(u) ),( y=Cx ):} $
che rappresenta il tuo sistema in cui, però, sappiamo che $ tildeu=u-ky $.
Quindi andando a sostituire, si ottiene:
${ ( dot(x)=Ax+B(u-ky) ),( y=Cx ):} rArr
dot(x)=Ax+B(u-ky)=Ax+Bu-Bky=Ax+Bu-BkCx=(A-BkC)x+Bu $.
Quindi la nuova matrice dinamica del tuo sistema diventa $tilde(A)=A-BkC$
PS: avendo indicato la retroazione col segno negativo, viene tutto $-$, ma nulla cambia nel discorso
$ { ( dot(x)=Ax+Btilde(u) ),( y=Cx ):} $
che rappresenta il tuo sistema in cui, però, sappiamo che $ tildeu=u-ky $.
Quindi andando a sostituire, si ottiene:
${ ( dot(x)=Ax+B(u-ky) ),( y=Cx ):} rArr
dot(x)=Ax+B(u-ky)=Ax+Bu-Bky=Ax+Bu-BkCx=(A-BkC)x+Bu $.
Quindi la nuova matrice dinamica del tuo sistema diventa $tilde(A)=A-BkC$
PS: avendo indicato la retroazione col segno negativo, viene tutto $-$, ma nulla cambia nel discorso
Prima di proseguire dovresti aver studiato la teoria secondo la quale la retroazione statica dell'uscita è un caso particolare della retroazione dello stato del sistema; conseguentemente, il sistema appena ottenuto è osservabile e controllabile se e solo se lo è il sistema di partenza. ( teorema di invarianza del sottospazio raggiungibile ).
Forse te l'ho già chiesto: ma possibile che tu non abbia studiato questa teoria?
Forse te l'ho già chiesto: ma possibile che tu non abbia studiato questa teoria?
Diciamo che la teoria l'ho studiata, ma riesco a capirla meglio tramite esercizi svolti, poiché sul mio libro di testo non mi risulta molto facile da capire, ora ho finalmente chiaro questo argomento
Vabbè quindi ora ti ho detto tutto: verifica se il sistema di partenza è osservabile e controllabile. In caso affermativo, è osservabile e controllabile anche il nuovo sistema e puoi scegliere $k$ tale che abbia autovalori a parte reale negativa.
Ho notato solo ora che la traccia definisce $k$ sia la costante di retroazione che quella che compare nel sistema; per evitare equivoci sarebbe comodo chiamare la retroazione con un altro nome
Ho notato solo ora che la traccia definisce $k$ sia la costante di retroazione che quella che compare nel sistema; per evitare equivoci sarebbe comodo chiamare la retroazione con un altro nome
Quindi alla fine per vedere se il sistema ottenuto é stabilizzabile con reazione statica dell'uscita, basta verificare la raggiungibilitá e quindi controllabilitá del sistema di partenza, per il teorema di invarianza, se il sistema di partenza sará completamente raggiungibile, allora sará possibile stabilizzare? O devo verificare anche l'osservabilitá? Comunque svolgo come mi hai detto e posto la soluzione, grazie ancora.
Verifica entrambe le proprietà e poi dopo ne trai le conseguenze
Prima di procedere, ricontrollando meglio, c'é un errore nella funzione di trasferimento quella esatta dovrebbe essere questa
"claudio_p88":
$A=((0,1),(0,-frac{K}{J}))$, $B=((0),(frac{d}{J}))$, $C=(1,0)$ e $D=0$,
quindi $W(s)=frac{d}{Js(frac{K}{J}+s)}$.
Si è corretto
Allora, chiamiamo $k=h$, allora abbiamo che$ tilde(A)=A+BhC= $, sto studiando con controreazione positiva, e $BhC=((0,0),(frac{dh}{J},0))$ quindi$ tilde(A)=A+BhC=((0,1),(frac{dh}{J}, -frac{K}{J})) $, studiamo ora raggiungibilità e osservabilità, $M_r=((B,AB))=((0,frac{d}{J}),(frac{d}{J},-frac{kd}{J^2}))$, $det(M_r)=-frac{d^2}{J^2}$, dunque il sistema dovrebbe essere completamente raggiungibile per $dne0$.
La matrice di osservabilità è $M_o=((C),(CA))=((1,0),(0,1))$, quindi $det(M_o)=1$, dunque il sistema è completamente osservabile. Ora non so se ho svolto bene, comunque che conseguenze ne traggo?
La matrice di osservabilità è $M_o=((C),(CA))=((1,0),(0,1))$, quindi $det(M_o)=1$, dunque il sistema è completamente osservabile. Ora non so se ho svolto bene, comunque che conseguenze ne traggo?
Avresti dovuto studiare raggiungibilità e osservabilità del sistema di partenza quello caratterizzato dalle matrici $(A,B,C,D)$, comunque...per il teorema di invarianza è la stessa cosa.
Dunque, essendo il sistema completamente osservabile e raggiungibile, allora dovremmo essere in grado, al variare di $h$, di fissare in modo arbitrario i due autovalori della matrice $tilde(A)$ ( così come si fa nel caso della retroazione dello stato ), ti trovi?
Allora, a questo punto, prova a fissare questi due autovalori di $tilde(A)$
Dunque, essendo il sistema completamente osservabile e raggiungibile, allora dovremmo essere in grado, al variare di $h$, di fissare in modo arbitrario i due autovalori della matrice $tilde(A)$ ( così come si fa nel caso della retroazione dello stato ), ti trovi?
Allora, a questo punto, prova a fissare questi due autovalori di $tilde(A)$
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