Esercizio studio sistema
La coppia di controllo rispetto all'asse di rollio di un aereo viene generata mediante la rotazione delle superfici mobili, presenti sulle ali. Sia $delta(t)$ l'angolo di deflessione di tali superfici rispetto alla loro posizione neutra. S indichi poi con $phi(t)$ l'angolo di rollio e $w(t)$ la velocità angolare di rollio. Indicando con $j$ il momento di inerzia dell'aereo rispetto all'asse x, un semplice modello descrivente la dinamica del rollio è
$Jddot{phi}=-Kdot{phi}+ddelta(t)$
$delta(t)= u(t)$
$y(t)=phi(t)$
1)Fornire una rappresentazione nello spazio di stato del sistema;
2)Analizzare le proprietà strutturali della realizzazione ottenuta in 1;
3)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione statica dell'uscita, ossia mediante un controllo del tipo $u(t)=Fy(t)$? Dire il perchè e dare una soluzione in caso affermativo;
4)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione dinamica dell'uscita? Descrivere brevemente una possibile soluzione in caso affermativo;
5)Ricavare la funzione di trasferimento del sistema;
6)Assumendo j = 10, k = 1, d= 10, si determini un sistema di controllo a controreazione unitaria, tale che si abbia stabilità asintotica con un margine di fase di almeno 40° e un tempo di salita di almeno $t_1=0,5$ circa.
Allora provo a risolvere:
1)posto $dot{x_1}(t)=x_2(t)=dot{phi}(t)$ e $dot{x_2}(t)=ddot{phi}(t)$
avremo che :
$dot{x_1}(t)=x_2(t)$
$dot{x_2}(t)=-frac{K}{J}x_2(t)+frac{1}{J}u(t)$
$y(t)=x_1(t)$, e il primo punto dovrebbe essere risolto.
Punto 2 analizziamo le proprietà strutturali, dovrebbe essere un sistema SISO, lineare tempo invariante continuo, strettamente proprio. E anche il secondo punto dovrebbe essere risolto.
Faccio un po' di fatica, invece a capire che cosa voglia nei punti 3 e 4.
$Jddot{phi}=-Kdot{phi}+ddelta(t)$
$delta(t)= u(t)$
$y(t)=phi(t)$
1)Fornire una rappresentazione nello spazio di stato del sistema;
2)Analizzare le proprietà strutturali della realizzazione ottenuta in 1;
3)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione statica dell'uscita, ossia mediante un controllo del tipo $u(t)=Fy(t)$? Dire il perchè e dare una soluzione in caso affermativo;
4)è possibile stabilizzare il sistema con una reazione dinamica dell'uscita? Descrivere brevemente una possibile soluzione in caso affermativo;
5)Ricavare la funzione di trasferimento del sistema;
6)Assumendo j = 10, k = 1, d= 10, si determini un sistema di controllo a controreazione unitaria, tale che si abbia stabilità asintotica con un margine di fase di almeno 40° e un tempo di salita di almeno $t_1=0,5$ circa.
Allora provo a risolvere:
1)posto $dot{x_1}(t)=x_2(t)=dot{phi}(t)$ e $dot{x_2}(t)=ddot{phi}(t)$
avremo che :
$dot{x_1}(t)=x_2(t)$
$dot{x_2}(t)=-frac{K}{J}x_2(t)+frac{1}{J}u(t)$
$y(t)=x_1(t)$, e il primo punto dovrebbe essere risolto.
Punto 2 analizziamo le proprietà strutturali, dovrebbe essere un sistema SISO, lineare tempo invariante continuo, strettamente proprio. E anche il secondo punto dovrebbe essere risolto.
Faccio un po' di fatica, invece a capire che cosa voglia nei punti 3 e 4.
Risposte
1)$B_6$ non è uguale a $6 dB$, ma è la pulsazione per la quale il diagramma del modulo si riduce di $6 dB$ rispetto al valore di regime.
2)Il polo nell'origine della fdt a ciclo aperto ti serve in quanto ti garantisce che la fdt ha un margine di guadagno infinito e, dunque, per la stabilità, devi solo preoccuparti del margine di fase
3) Poichè hai una specifica sul margine di fase, che solitamente si richiede alla fdt a ciclo aperto, e una specifica sul tempo di salita, che è proprio della fdt a ciclo chiuso, siamo costretti a studiare entrambe le fdt. Viceversa potrebbe accadere di soddisfare una specifica e non soddisfare l'altra
2)Il polo nell'origine della fdt a ciclo aperto ti serve in quanto ti garantisce che la fdt ha un margine di guadagno infinito e, dunque, per la stabilità, devi solo preoccuparti del margine di fase
3) Poichè hai una specifica sul margine di fase, che solitamente si richiede alla fdt a ciclo aperto, e una specifica sul tempo di salita, che è proprio della fdt a ciclo chiuso, siamo costretti a studiare entrambe le fdt. Viceversa potrebbe accadere di soddisfare una specifica e non soddisfare l'altra
Credi sia possibile svolgere tali esercizi senza un programma che ti calcola i diagrammi?
in ogni caso, aumentiamo la banda passante a 6dB aumentando la pulsazione di attraversamento della fdt a ciclo aperto e portandola a 4rads. Per fare ciò occorre aumentare il modulo della F(s) di circa 4.07dB=1.6 e, quindi, la costante del controllore dovà diventare k=10⋅1.6=16.Inoltre non riesco a capire perchè se aumenti di 6dB devi portare la pulsazione a 4 rad/s? Soprattutto perchè lo fai? Inoltre se è richiesta stabilità asintotica, avendo un polo nello zero non ho stabilità semplice?
Per avere il margine di fase di almeno 40° ( lo fisso intorno ai 45°), invece, aggiungiamo uno zero al controllore in corrispondenza di ω=4rads; dunque, si ha:
"claudio_p88":
Credi sia possibile svolgere tali esercizi senza un programma che ti calcola i diagrammi?
Eheh ma all'esame devi andare che i diagrammi di Bode li sai fare ad occhi chiusi
"claudio_p88":Inoltre non riesco a capire perchè se aumenti di 6dB devi portare la pulsazione a 4 rad/s?
Non ho capito cosa vuoi dire
"claudio_p88":Inoltre se è richiesta stabilità asintotica, avendo un polo nello zero non ho stabilità semplice?
Il polo nello zero è presente nella fdt ad anello aperto e non in quella ad anello chiuso; infatti:
$ F(s)=10/(s(s+0.1)) rArr W(s)=(F(s))/(1+F(s))=10/(s(s+0.1)+10)=10/(s^2+0.1s+10) $
e non compare alcun polo nell'origine della $W(s)$, non confondere le due fdt.
Quando si parla di stabilità del sistema si intende la stabilità del sistema a ciclo chiuso e non di quello a ciclo aperto
Non capisco da dove ti esce 4 rad/s perché prendi proprio quel valore nella funzione a ciclo aperto?
Dovendo spostare in avanti la pulsazione di taglio ( che ti ricordo era di circa $3 (rad)/s$) faccio semplicemente una scelta progettuale, potrei scegliere anche $5 (rad)/s$ o un altro valore.
Tu potresti fare anche un'altra cosa: stabilisci a priori il tempo di salita del sistema, ad esempio stabilisci che $t_s=0.2 s$ e così fissi a priori la pulsazione $omega_6$ e, quindi, a meno di approssimazioni, sai anche quanto deve valere la $omega$ di taglio.
Tu potresti fare anche un'altra cosa: stabilisci a priori il tempo di salita del sistema, ad esempio stabilisci che $t_s=0.2 s$ e così fissi a priori la pulsazione $omega_6$ e, quindi, a meno di approssimazioni, sai anche quanto deve valere la $omega$ di taglio.
continuo a non capire, non so da dove ti esca 3 rad/s, sto provando a calcolare il modulo della funzione a ciclo aperto in w= 5 rad/ s ma non mi viene non riesco proprio a capire.
Guarda il diagramma di Bode della $F(s)$ indica la pulsazione di taglio a circa $3,16 (rad)/s$
Per pulsazione di taglio intendi quando il diagramma della funzione a ciclo aperto si trova a 0 dB?
Inoltre io che non ho uno strumento che mi grafichi i diagrammi come faccio a ricavarla numericamente? E poi perchè non ho potuto procedere con la sintesi diretta in questo caso? ho un po' di confusione.
Inoltre io che non ho uno strumento che mi grafichi i diagrammi come faccio a ricavarla numericamente? E poi perchè non ho potuto procedere con la sintesi diretta in questo caso? ho un po' di confusione.
"claudio_p88":
Per pulsazione di taglio intendi quando il diagramma della funzione a ciclo aperto si trova a 0 dB?
Sisi proprio quella
"claudio_p88":
Inoltre io che non ho uno strumento che mi grafichi i diagrammi come faccio a ricavarla numericamente?
Li devi disegnare oppure la calcoli in modo analitico
ok, come si calcola in modo analitico? ho che il diagramma del modulo della funzione di trasferimento a ciclo aperto $10/(wsqrt{0.1^2+w^2)=1$ poichè $10^0=1$ Inoltre perchè in questo caso non mi è stato possibile applicare la sintesi diretta?
Ma possibile che non ci riesci?
Allora:
$ 10/(omega_tausqrt(0.1^2+omega_tau^2))=1rArr omega_tausqrt(0.1^2+omega_tau^2)=10 rArr omega_tau^2(0.1^2+omega_tau^2)=100 rArr omega_tau^4+0.01omega_tau^2-100=0 $.
Ponendo $x=omega_tau^2$, si ha:
$ x^2+0.01x-100=0 rArr x~=+-9.99 rArr omega_tau~=3.16 (rad)/s $
Ci vogliono 30 secondi
Allora:
$ 10/(omega_tausqrt(0.1^2+omega_tau^2))=1rArr omega_tausqrt(0.1^2+omega_tau^2)=10 rArr omega_tau^2(0.1^2+omega_tau^2)=100 rArr omega_tau^4+0.01omega_tau^2-100=0 $.
Ponendo $x=omega_tau^2$, si ha:
$ x^2+0.01x-100=0 rArr x~=+-9.99 rArr omega_tau~=3.16 (rad)/s $
Ci vogliono 30 secondi
e perchè hai bisogno di spostare in avanti la pulsazione di taglio, scusami ma questo punto mi ha mandato letteralmente in palla non ci sto capendo niente
Ti potrei dimostrare facilmente ( ovviamente c'è anche sul tuo libro ) che la banda passante di un sistema con retroazione unitaria corrisponde, a meno di fattori moltiplicativi, alla pulsazione per la quale il modulo della fdt a ciclo aperto è unitario: in altre parole corrisponde alla pulsazione di attraversamento della $F(s)$.
Dunque, dovendo aumentare $B_6$ devo per forza aumentare $omega_tau$ ( e viceversa )
Dunque, dovendo aumentare $B_6$ devo per forza aumentare $omega_tau$ ( e viceversa )
ok, quello che non min è chiaro è perchè aumenti $B_6$
"D4lF4zZI0":
Partiamo dalla seconda specifica, come ho detto nel post precedente, esiste questa formula empirica $ t_s~=0.4/B_6 $; quindi $ 0.4/B_6<=0.5 rArr B_6>=0.8 Hz rArr omega_6>=5 (rad)/s $.
Supponiamo, per ora, che il controllore sia di tipo proporzionale con costante di proporzionalità $k=10$ ( uso questo valore semplicemente perchè così nel disegnare Bode sono facilitato a fare i logaritmi ).
Dunque la fdt a ciclo aperto vale $F=CP=10/(s(s+0.1))$ mentre la fdt a ciclo chiuso vale $ W(s)=(F(s))/(1+F(s))=(10/(s(s+0.1)))/(1+10/(s(s+0.1)))=10/(s(s+0.1)+10) $ i cui diagrammi di Bode sono riportati di seguito:
e:
Come si vede, la fdt a ciclo chiuso presenta già una $omega_6>5 (rad)/s$, quindi la seconda specifica è già soddisfatta;
in ogni caso, aumentiamo la banda passante a $6dB$ aumentando la pulsazione di attraversamento della fdt a ciclo aperto e portandola a $4 (rad)/s$. Per fare ciò occorre aumentare il modulo della $F(s)$ di circa $4.07dB=1.6$ e, quindi, la costante del controllore dovà diventare $k=10*1.6=16$.
In effetti, in questo caso, avrei potuto anche evitare avendo il sistema una $omega_6~=5.49 (rad)/s$, ma considerando che sono formule empiriche, ho preferito essere sicuro che alla fine il tempo di salita fosse effettivamente minore di $0.5s$ e, dunque, ho preferito spostarla in avanti
Ok grazie, non riuscivo a capire perché aggiungessi quella quantità, anche se la specifica era soddisfatta...
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