Esercizio con principio di sostituzione

[vicio_93]

Salve ragazzi in questo circuito devo ricavare v1 e v2 col principio di sovrapposizione degli effetti.. Non riesco a venirne a capo..

$ R_1=3KOmega $ $ I_1=4mA $
$ R_2=4KOmega $ $ I_2=2mA $
$ R_3=1KOmega $ $ I_3=2mA $

Ho provato così: siccome abbiamo 4 maglie e 4 nodi ho trasformato i generatori di corrente in parallelo con i rispettivi resistori con generatori di tensione in serie con gli stesso resistori ricavando la tensione erogata da ognuno

$E_1=I_1*R_1=12 V$
$E_2=I_2*R_2=8V$
$E_3=I_3*R_3=2V$

A questo punto sorge il primo dubbio.. Le tensioni che chide il problema sono quelle relative ai resistori o semplicemente la tensione tra due nodi del circuito?

Comunque sia ho ricavato il circuito ad una sola maglia ed applicando la LKT ricavo

$-E_1+iR_1-E_2+iR_2-E_3+iR_3=0$
da cui $ i=(E_1+E_2+E_3)/(R_1+R_2+R_3) $

Applicado il principio elimino ad uno ad uno i generatori sostituendoli con corto circuiti. Ricavo la i per ogni circuito ottenuto senza un generatore e ricavo la tensione sui resistori. Se la tensione che chiede il problema è quella tra i due nodi del circuito devo aggiungere anche la tensione erogata dal generatore, ma il risultato non è quello.. Dove sbaglio?

[RenzoDF]

"vich":... ho trasformato i generatori di corrente in parallelo con i rispettivi resistori con generatori di tensione in serie con gli stesso resistori ricavando la tensione erogata da ognuno

Non vedo perché farlo, se devi usare la sovrapposizione andrai a calcolarti le tensioni (o le correnti) parziali dei due resistori, nei tre circuiti parziali, con un unico GIC acceso, via semplici partitori di corrente.

"vich":... A questo punto sorge il primo dubbio.. Le tensioni che chide il problema sono quelle relative ai resistori o semplicemente la tensione tra due nodi del circuito?

Sono quelle ai morsetti dei generatori equivalenti reali, destro e sinistro.

In questa particolare rete, se non fosse esplicito il vincolo sull'uso della sovrapposizione degli effetti, una estensione del teorema di sostituzione permetterebbe comunque una più semplice soluzione, via sostituzione iterativa di coppie di GIC.

[vicio_93]

Ma se sostituisco i generatori di corrente ci rispettivi generatori di tensione mi ricavo un circuito ad una sola maglia con molte meno equazioni da risolvere no!?

Poi non ho capito il fatto del generatore reale? Cosa c'entra il generatore reale qui?

[RenzoDF]

"vich":Ma se sostituisco i generatori di corrente ci rispettivi generatori di tensione mi ricavo un circuito ad una sola maglia con molte meno equazioni da risolvere no!?

Certo, ma poi anche in quel caso devi usare la sovrapposizione, visto che ti è stato richiesto di usare quel metodo e quindi a mio parere conviene non trasformare nulla e scrivere direttamente le tensioni come combinazione lineare delle correnti dei tre GIC; per la $v_1$, per esempio, usando Ohm e partitore di corrente, scriverei un'unica relazione

$v_1=R_1(k_1J_1+k_2J_2+k_3J_3)$

nella quale i tre $k_i$ rappresentano i tre semplici fattori di partizione.

"vich":Poi non ho capito il fatto del generatore reale? Cosa c'entra il generatore reale qui?

Con "generatore reale" intendevo riferirmi al bipolo equivalente secondo Thevenin, che presenta ai suoi morsetti lo stesso comportamento del parallelo fra GIC e il relativo resistore.

[vicio_93]

Grazie!!

[RenzoDF]

Di nulla.

BTW Giusto per completare il discorso relativamente a quanto suggerito nella mia prima risposta se, dopo aver diviso il GIC sinistro da 4 mA nel parallelo di due generatori da 2 mA, andiamo ad applicare il teorema di sostituzione, possiamo svincolare i tre GIC con pari corrente dai due nodi superiori e di conseguenza semplificare drasticamente la rete e risolvere con un'unico semplice partitore.