Equazioni circuitali in forma canonica
Salve a tutti!!Avrei un dubbio su questo esercizio...bisogna determinare il sistema di equazioni del circuito...per poi ottenere i valori delle tensioni e delle intensità di corrente...
Adottiamo la convenzione dell'utilizzatore per tutti i bipoli del circuito.Il circuito è costituito da $3$ nodi quindi avremo $n-1$ nodi ovvero $n-1$ equazioni per le correnti linearmente indipendenti:
$i_1-i_5=0$
$i_1-i_2-i_3+i_4=0$
Scriviamo le equazioni di Kirchhoff indipendenti per le tensioni:
$M_1->v_1+v_2+v_5=0$
$M_2->-v_2+v_3=0$
$M_3->-v_2-v_4=0$
Scriviamo le equazioni caratteristiche dei bipoli del circuito:
$v_1-R_1*i_1=0$
$v_2-R_2*i_2=0$
$v_3-R_3*i_3=0$
$i_4=J$
$v_5=-e(t)$
Si ottengono i due sistemi di equazioni:
${(i_1-i_5=0),(i_1-i_2-i_3+i_4=0),(v_1+v_2+v_5=0),(-v_2+v_3=0),(-v_2-v_4=0):}$
${(v_1-R_1*i_1=0),(v_2-R_2*i_2=0),(v_3-R_3*i_3=0),(i_4=J),(v_5=-e(t)):}$
Nell'equazione $i_1-i_2-i_3+i_4=0$ si cambia di segno perchè la corrente $i_4$ è concorde con il verso di riferimento impresso dal generatore di corrente ma è discorde con la convenzione dell'utilizzatore adottata per ciascun bipolo del circuito???Perchè se la scrivessimo così: $-i_1+i_2+i_3-i_4=0$ allora il segno nell'equazione caratteristica dovrebbe essere negativo cioè $i_4=-J$.....Giusto??
Grazie!!
Adottiamo la convenzione dell'utilizzatore per tutti i bipoli del circuito.Il circuito è costituito da $3$ nodi quindi avremo $n-1$ nodi ovvero $n-1$ equazioni per le correnti linearmente indipendenti:
$i_1-i_5=0$
$i_1-i_2-i_3+i_4=0$
Scriviamo le equazioni di Kirchhoff indipendenti per le tensioni:
$M_1->v_1+v_2+v_5=0$
$M_2->-v_2+v_3=0$
$M_3->-v_2-v_4=0$
Scriviamo le equazioni caratteristiche dei bipoli del circuito:
$v_1-R_1*i_1=0$
$v_2-R_2*i_2=0$
$v_3-R_3*i_3=0$
$i_4=J$
$v_5=-e(t)$
Si ottengono i due sistemi di equazioni:
${(i_1-i_5=0),(i_1-i_2-i_3+i_4=0),(v_1+v_2+v_5=0),(-v_2+v_3=0),(-v_2-v_4=0):}$
${(v_1-R_1*i_1=0),(v_2-R_2*i_2=0),(v_3-R_3*i_3=0),(i_4=J),(v_5=-e(t)):}$
Nell'equazione $i_1-i_2-i_3+i_4=0$ si cambia di segno perchè la corrente $i_4$ è concorde con il verso di riferimento impresso dal generatore di corrente ma è discorde con la convenzione dell'utilizzatore adottata per ciascun bipolo del circuito???Perchè se la scrivessimo così: $-i_1+i_2+i_3-i_4=0$ allora il segno nell'equazione caratteristica dovrebbe essere negativo cioè $i_4=-J$.....Giusto??
Grazie!!
Risposte
una domanda: chi e' $i_5$ ?
il discorso dei versi delle tensioni e delle correnti su di un circuito e' una di quelle cose che sembrano buttate li' un po' a caso , oppure puo' sembrare che si debbano seguire delle regole e delle convenzioni particolari e non ben chiare.
in realta' una volta che hai capito il meccanismo che c'e' alla base, non avrai piu' nessuna difficolta', ed anzi tutto sara' disvelato....(come dice bertinotti).
per esempio, visto che sul ramo 4 c'e' un generatore di corrente, puoi troncare tutto alla fonte e considerare semplicemente quella come la corrente nel ramo, quindi non serve introdurre $i_4$ , ma basta considerare solo $J$ (e questo puoi farlo sin dall'inizio.)
in realta' una volta che hai capito il meccanismo che c'e' alla base, non avrai piu' nessuna difficolta', ed anzi tutto sara' disvelato....(come dice bertinotti).
per esempio, visto che sul ramo 4 c'e' un generatore di corrente, puoi troncare tutto alla fonte e considerare semplicemente quella come la corrente nel ramo, quindi non serve introdurre $i_4$ , ma basta considerare solo $J$ (e questo puoi farlo sin dall'inizio.)
"codino75":
una domanda: chi e' $i_5$ ?
Scusami ho dimenticato di inserirla nella figura....
adesso ho corretto....
anche io avevo fatto un errore, avevo scritto $i_5$ al posto di $i_4$.
un 'altra cosa:
si ha subito, da ispezione visiva, che :
$i_5 = i_1
quindi basta ocnsiderarne uno solo.
inoltre puoi considerare che R2 ed R3 sono in parallelo...quindi sostituirci la resistenza equivalente.
cmq, venendo alla tua domanda iniziale:
per come e' disegnato il circuito, quindi facendo riferimento unicamente alle frecce in esso presenti , avrai sempre e comunque che:
$J=i_4
in quanto le loro frecce sono concordi
questo vale al di la' di ogni pssibile convenzione (utilizzatori , etc) che puoi porre.
dimmi se non ti e' chiaro ancora qlcosa o se non ho capito bene la tua domanda.
alex
un 'altra cosa:
si ha subito, da ispezione visiva, che :
$i_5 = i_1
quindi basta ocnsiderarne uno solo.
inoltre puoi considerare che R2 ed R3 sono in parallelo...quindi sostituirci la resistenza equivalente.
cmq, venendo alla tua domanda iniziale:
per come e' disegnato il circuito, quindi facendo riferimento unicamente alle frecce in esso presenti , avrai sempre e comunque che:
$J=i_4
in quanto le loro frecce sono concordi
questo vale al di la' di ogni pssibile convenzione (utilizzatori , etc) che puoi porre.
dimmi se non ti e' chiaro ancora qlcosa o se non ho capito bene la tua domanda.
alex
"codino75":
anche io avevo fatto un errore, avevo scritto $i_5$ al posto di $i_4$.
un 'altra cosa:
si ha subito, da ispezione visiva, che :
$i_5 = i_1
quindi basta ocnsiderarne uno solo.
inoltre puoi considerare che R2 ed R3 sono in parallelo...quindi sostituirci la resistenza equivalente.
cmq, venendo alla tua domanda iniziale:
per come e' disegnato il circuito, quindi facendo riferimento unicamente alle frecce in esso presenti , avrai sempre e comunque che:
$J=i_4
in quanto le loro frecce sono concordi
questo vale al di la' di ogni pssibile convenzione (utilizzatori , etc) che puoi porre.
dimmi se non ti e' chiaro ancora qlcosa o se non ho capito bene la tua domanda.
alex
Si il fatto che venga positivo il valore di J cioè che l'equazione sia $i_4=J$ questo lo so infatti l'ho scritto...non capisco piuttosto perchè cambiare di segno un'intera equazione cioè scriverla cosi $i_1-i_2-i_3+i_4=0$!Avendo fissato $-$ per correnti entranti e $+$ per correnti uscenti dai nodi,non dovrebbe cambiare solo il segno della $i_4$ che è concorde con $J$ ma discorde con la "convenzione dell'utilizzatore"?Cioè non dovrebbe essere $-i_1+i_2+_3+i_4=0$?Perchè cambiano i segni anche delle altre correnti cioè dell'intera equazione?
non mi e' chiarissimo cosa intendi per "convenzione dell'utilizzatore", cmq cio' non e' rilevante.
le correnti entranti nel nodo in questione sono $i_1$ e $i_4$
le correnti uscenti dal nodo in questione sono $i_2$ e $i_3$
quindi l'equazione delle correnti sul nodo e' la seguente:
($i_1$ + $i_4$) - ($i_2$ + $i_3$)=0
oppure equivalentemente
($i_2$ + $i_3$) - ($i_1$ + $i_4$)=0
tutto quello che c'e' nei rami non conta nulla al fine di scrivere questa equazione.
le correnti entranti nel nodo in questione sono $i_1$ e $i_4$
le correnti uscenti dal nodo in questione sono $i_2$ e $i_3$
quindi l'equazione delle correnti sul nodo e' la seguente:
($i_1$ + $i_4$) - ($i_2$ + $i_3$)=0
oppure equivalentemente
($i_2$ + $i_3$) - ($i_1$ + $i_4$)=0
tutto quello che c'e' nei rami non conta nulla al fine di scrivere questa equazione.
Scritta cosi:
quindi come l'avevo riportata io all'inizio $i_1-i_2-i_3+i_4=0$,non è in disaccordo con come abbiamo definito i versi nell'equazione per il nodo $1$ cioè:
$i_1-i_5=0$
dove la corrente $i_1$ è uscente quindi avrà segno $+$ e la corrente $i_5$ è entrante quindi avrà segno negativo?
Per convenzione dell'utilizzatore si intende che il verso dell'intensità di corrente di un generico bipolo va dal segno positivo al segno negativo cioè:
"codino75":
($i_1$ + $i_4$) - ($i_2$ + $i_3$)=0
quindi come l'avevo riportata io all'inizio $i_1-i_2-i_3+i_4=0$,non è in disaccordo con come abbiamo definito i versi nell'equazione per il nodo $1$ cioè:
$i_1-i_5=0$
dove la corrente $i_1$ è uscente quindi avrà segno $+$ e la corrente $i_5$ è entrante quindi avrà segno negativo?
Per convenzione dell'utilizzatore si intende che il verso dell'intensità di corrente di un generico bipolo va dal segno positivo al segno negativo cioè:
"folgore":
Scritta cosi:
[quote="codino75"]($i_1$ + $i_4$) - ($i_2$ + $i_3$)=0
quindi come l'avevo riportata io all'inizio $i_1-i_2-i_3+i_4=0$
non è in disaccordo con come abbiamo definito i versi nell'equazione per il nodo $1$ cioè:
$i_1-i_5=0$
dove la corrente $i_1$ è uscente quindi avrà segno $+$ e la corrente $i_5$ è entrante quindi avrà segno negativo?
[/quote]
in effetti se vuoi rispettare il criterio che nello scrivere le equazioni ai nodi nella forma :
sommatoria correnti=0
si mettano
quelle entranti col segno -
quelle uscenti col segno +
allora hai ragione e l'espressione corretta tra le 2 che ho scritto e':
($i_2$ + $i_3$) - ($i_1$ + $i_4$)=0
tuttavia, poiche' e' chiaro che le 2 equazioni da me riportate sono equivalenti,
allora puoi sceglere qualsiasi tra le 2 forme e sei cmq sicuro che, risolvendo i vari sistemi di equazioni, non avrai nessun problema, proprio perche' in una equazione posso sempre cambiare segno a tutti i termini.
"codino75":
[quote="folgore"]Scritta cosi:
[quote="codino75"]($i_1$ + $i_4$) - ($i_2$ + $i_3$)=0
quindi come l'avevo riportata io all'inizio $i_1-i_2-i_3+i_4=0$
non è in disaccordo con come abbiamo definito i versi nell'equazione per il nodo $1$ cioè:
$i_1-i_5=0$
dove la corrente $i_1$ è uscente quindi avrà segno $+$ e la corrente $i_5$ è entrante quindi avrà segno negativo?
[/quote]
in effetti se vuoi rispettare il criterio che nello scrivere le equazioni ai nodi nella forma :
sommatoria correnti=0
si mettano
quelle entranti col segno -
quelle uscenti col segno +
allora hai ragione e l'espressione corretta tra le 2 che ho scritto e':
($i_2$ + $i_3$) - ($i_1$ + $i_4$)=0
tuttavia, poiche' e' chiaro che le 2 equazioni da me riportate sono equivalenti,
allora puoi sceglere qualsiasi tra le 2 forme e sei cmq sicuro che, risolvendo i vari sistemi di equazioni, non avrai nessun problema, proprio perche' in una equazione posso sempre cambiare segno a tutti i termini.[/quote]
Adesso ho capito...quindi scegliere una delle due è indifferente...non crea problemi all'equazione $i_1-i_5=0$...ok Grazie!!!
di nulla.
sono cntento che hai capito, anche se non sono stato troppo chiaro nelle mie risposte.
se t tornano dubbi su questi aspetti di come scrivere le equazioni dei circuiti fattivivo, perche' sono cose abbastanza semplici.
alex
sono cntento che hai capito, anche se non sono stato troppo chiaro nelle mie risposte.
se t tornano dubbi su questi aspetti di come scrivere le equazioni dei circuiti fattivivo, perche' sono cose abbastanza semplici.
alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo