Equazione di equilibrio fluido

[michele.assirelli]

Salve, vorrei capire alcune delle semplificazioni che vengono fatte nello studio dell'equilibrio di una porzione infinitesima di fluido (lubrificante) contenuta in un meato.

Siano :
$ p=p(x)$ (pressione nel meato in cui è inserito il lubrificante)
$ μ $ viscosità del fluido supposta costante
$ u=u(x,y) $ velocità del fluido
Con $u(x,0) = -U$ e $u(x,h) = 0$

Vorrei quindi capire come vengono fatte le semplificazioni in figura:

Il libro dice che il risultato è ottenuto tramite due integrazioni rispetto ad $y$ usando $0$ come estremo inferiore e $h$ come superiore

Giusto per sapere se sto impostando bene il problema io stavo procedendo così

$ int_(0)^(h) (dp(x))/dx dy = (dp(x))/dx h$
$μ int_(0)^(h) (\partial^2 u(x,y))/(\partial y^2) dy = (\partial)/(\partialy)u(x,h)- (\partial)/(\partialy)u(x,0)$

[donald_zeka]

$(partialp)/(partialx)=mu(partial^2u)/(partialy^2)$
$1/mu(partialp)/(partialy)=(partial^2u)/(partialy^2)$
Integrando una volta rispetto a y:

$1/mu(partialp)/(partialx)y+c_1=(partialu)/(partialy)$

E integrando un'altra volta rispetto a y:

$1/(2mu)(partialp)/(partialx)y^2+c_1y+c_2=u$

Questa è la soluzione generale, a cui vanno applicate le adeguate condizioni al contorno.

[michele.assirelli]

Grazie, adesso mi tornano i passaggi