Energia segnale.
Ciao a tutti come calcolo l'energia del seguente segnale?
$x(t)=Sigma_n_{-oo}^{+oo} e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]$
Io procedo così sapendo che:
$E_x = int_{-oo}^{+oo} |x(t)|^2 dt$
il modulo lo posso omettere visto che il segnale è reale e non complesso dunque avrò:
$E_x = int_{-oo}^{+oo} [Sigma_n_{-oo}^{+oo} e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]]^2 dt $
Per $pi$ intendo l'impulso rettangolare.
Ma ora come procedo? Che fine fa quella sommatoria al quadrato?
GRAZIE
$x(t)=Sigma_n_{-oo}^{+oo} e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]$
Io procedo così sapendo che:
$E_x = int_{-oo}^{+oo} |x(t)|^2 dt$
il modulo lo posso omettere visto che il segnale è reale e non complesso dunque avrò:
$E_x = int_{-oo}^{+oo} [Sigma_n_{-oo}^{+oo} e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]]^2 dt $
Per $pi$ intendo l'impulso rettangolare.
Ma ora come procedo? Che fine fa quella sommatoria al quadrato?
GRAZIE
Risposte
"Ahi":
Ciao a tutti come calcolo l'energia del seguente segnale?
$x(t)=Sigma_n_{-oo}^{+oo} e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]$
Io procedo così sapendo che:
$E_x = int_{-oo}^{+oo} |x(t)|^2 dt$
il modulo lo posso omettere visto che il segnale è reale e non complesso dunque avrò:
$E_x = int_{-oo}^{+oo} [Sigma_n_{-oo}^{+oo} e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]]^2 dt $
Per $pi$ intendo l'impulso rettangolare.
Ma ora come procedo? Che fine fa quella sommatoria al quadrato?
GRAZIE
Secondo me il segnale da te riportato ha enegia infinita, in quanto non è altro che la ripetizione infinita del segnale $e^(-|t|)$ opportunamente troncato.
Caro ing Fabio, non la calcoli.
"clrscr":
Secondo me il segnale da te riportato ha enegia infinita, in quanto non è altro che la ripetizione infinita del segnale $e^(-|t|)$ opportunamente troncato.
Se guardiamo bene, notiamo che $e^(-|t|)$ non dipende da $n$ e pertanto può essere portato fuori dalla sommatoria, dunque
$x(t) = sum_(n=-oo)^(+oo) e^(-|t|) * pi[2(t-3n)] = e^(-|t|) * sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]$
e non si tratta di una replica di $e^(-|t|)$, ma risulta $x(t) <= e^(-|t|) AA t in RR$. Segue che $x(t)$ ha energia finita.
Calcoliamo l'energia...
$E_x = int_{-oo}^{+oo} [sum_(n=-oo)^(+oo) e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]]^2 dt = int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) * [sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]]^2 dt$
Il termine
$[sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]]^2$
è il quadrato di una somma, ma i vari elementi della somma sono ortogonali (in quanto non si sovrappongono nel tempo) e dunque il quadrato della somma è pari alla somma dei quadrati...
$E_x = int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) * [sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]]^2 dt = int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) * sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)] dt$
Ora se scambi (giustificandolo o magari anche brutalmente, se, come spesso accade in questi casi, si chiude un occhio) la sommatoria con l'integrale sei a posto...
"Kroldar":
se, come spesso accade in questi casi, si chiude un occhio
maledetti ingegneri
"Kroldar":
[quote="clrscr"]Secondo me il segnale da te riportato ha enegia infinita, in quanto non è altro che la ripetizione infinita del segnale $e^(-|t|)$ opportunamente troncato.
Se guardiamo bene, notiamo che $e^(-|t|)$ non dipende da $n$ e pertanto può essere portato fuori dalla sommatoria, dunque
$x(t) = sum_(n=-oo)^(+oo) e^(-|t|) * pi[2(t-3n)] = e^(-|t|) * sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]$
e non si tratta di una replica di $e^(-|t|)$, ma risulta $x(t) <= e^(-|t|) AA t in RR$. Segue che $x(t)$ ha energia finita.
Calcoliamo l'energia...
$E_x = int_{-oo}^{+oo} [sum_(n=-oo)^(+oo) e^(-|t|)*pi[2(t-3n)]]^2 dt = int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) * [sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]]^2 dt$
Il termine
$[sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]]^2$
è il quadrato di una somma, ma i vari elementi della somma sono ortogonali (in quanto non si sovrappongono nel tempo) e dunque il quadrato della somma è pari alla somma dei quadrati...
$E_x = int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) * [sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)]]^2 dt = int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) * sum_(n=-oo)^(+oo) pi[2(t-3n)] dt$
Ora se scambi (giustificandolo o magari anche brutalmente, se, come spesso accade in questi casi, si chiude un occhio) la sommatoria con l'integrale sei a posto...[/quote]
Sono riuscito ieri sera a giungere a tale conclusione, solo che poi ho continuato decidendo di calcolare l'energia solo per 3 pezzettini. Non so se può essere una valida conclusione di un esercizio:
Ossia:
$E_x = int_{-3-1/2}^{-3+1/2} e^(-2|t|) dt + int_{-1/2}^{+1/2} e^(-2|t|) dt + int_{3-1/2}^{3+1/2} e^(-2|t|) dt = 0.4$
"Ahi":
Non so se può essere una valida conclusione di un esercizio:
Ossia:
$E_x = int_{-3-1/2}^{-3+1/2} e^(-2|t|) dt + int_{-1/2}^{+1/2} e^(-2|t|) dt + int_{3-1/2}^{3+1/2} e^(-2|t|) dt = 0.4$
Ehm... non è affatto una valida conlcusione.
"Fioravante Patrone":
maledetti ingegneri
Ahuahuahuahuahuahuahua
"Kroldar":
[quote="Ahi"]Non so se può essere una valida conclusione di un esercizio:
Ossia:
$E_x = int_{-3-1/2}^{-3+1/2} e^(-2|t|) dt + int_{-1/2}^{+1/2} e^(-2|t|) dt + int_{3-1/2}^{3+1/2} e^(-2|t|) dt = 0.4$
Ehm... non è affatto una valida conlcusione.[/quote]
Ecco, e allora come valida conlcusione lo lascio così??? Devo comunque dimostrare che abbia un valore finito l'energia..
Che il segnale abbia energia finita è stato già dimostrato...
Se vuoi anche il valore preciso, basta continuare i conti che ho avviato nel post precedente.
Tra l'altro, nei conti che hai fatto tu hai considerato finestre di durata unitaria... ma $pi[2(t-3n)]$ non è una finestra centrata in $3n$ di durata $1/2$?
"Kroldar":
risulta $x(t) <= e^(-|t|) AA t in RR$. Segue che $x(t)$ ha energia finita.
Se vuoi anche il valore preciso, basta continuare i conti che ho avviato nel post precedente.
Tra l'altro, nei conti che hai fatto tu hai considerato finestre di durata unitaria... ma $pi[2(t-3n)]$ non è una finestra centrata in $3n$ di durata $1/2$?
"Kroldar":
Che il segnale abbia energia finita è stato già dimostrato...
[quote="Kroldar"]
risulta $x(t) <= e^(-|t|) AA t in RR$. Segue che $x(t)$ ha energia finita.
Se vuoi anche il valore preciso, basta continuare i conti che ho avviato nel post precedente.[/quote]
Ma scusa in precedenza mi hai detto che non andava bene...io ho continuato i conti in quel modo...perché non è corretto così? Considerando il pezzo centrale e i due adiacenti???
"Ahi":
Ma scusa in precedenza mi hai detto che non andava bene...io ho continuato i conti in quel modo...perché non è corretto così? Considerando il pezzo centrale e i due adiacenti???
Il tuo procedimento non è scorretto, però purtoppo richiederebbe un tempo di calcolo infinito. Non puoi calcolare a mano ogni singolo integrale e poi sommare tutti gli infiniti numeri trovati... una vita intera non ti basterebbe!
Non è altresì corretto calcolare solo una parte dell'energia del segnale limitandosi a tre soli contributi.
L'energia va calcolata tutta e, possibilmente, in un tempo ragionevole.
"Kroldar":
[quote="Ahi"]Ma scusa in precedenza mi hai detto che non andava bene...io ho continuato i conti in quel modo...perché non è corretto così? Considerando il pezzo centrale e i due adiacenti???
Il tuo procedimento non è scorretto, però purtoppo richiederebbe un tempo di calcolo infinito. Non puoi calcolare a mano ogni singolo integrale e poi sommare tutti gli infiniti numeri trovati... una vita intera non ti basterebbe!
Non è altresì corretto calcolare solo una parte dell'energia del segnale limitandosi a tre soli contributi.
L'energia va calcolata tutta e, possibilmente, in un tempo ragionevole.[/quote]
Vediamo se così può andare:
$E_x=int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) Sigma_{n=-oo}^{+oo} pi[2(t-3n)] dt$
effettuando il famoso passaggio "pericoloso"
$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$
$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt$
risolvendo l'integrale:
$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} (1 - e^(-1/2)) = Sigma_{n=-oo}^{+oo} 0.4$
Così può andare?
C'è un errore nel seguente passaggio:
La funzione $pi[2(t-3n)]$ vale $1$ per $3n-1/4 < t < 3n+1/4$ (estremi inclusi o esclusi non cambia nulla) e $0$ altrove, dunque l'integrale
$int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$
diventa
$int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt$
Cosa importante da sottolineare è che nel risultato di tale integrale ci sarà una dipendenza da $n$, che scomparirà solo a seguito del calcolo della sommatoria.
"Ahi":
$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$
$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt$
La funzione $pi[2(t-3n)]$ vale $1$ per $3n-1/4 < t < 3n+1/4$ (estremi inclusi o esclusi non cambia nulla) e $0$ altrove, dunque l'integrale
$int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$
diventa
$int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt$
Cosa importante da sottolineare è che nel risultato di tale integrale ci sarà una dipendenza da $n$, che scomparirà solo a seguito del calcolo della sommatoria.
Purtroppo cominciano i problemi, ho risolto così:
$Sigma_{n=-oo}^{+oo} [int_{3n-1/4}^{0} e^(2t) dt + int_{0}^{3n-1/4} e^(-2t) dt]$
risolvendo si ha:
$Sigma_{n=-oo}^{+oo} 1/2 - (e^(6n-1/2))/2 - (e^(-6n-1/2))/2 $
Ma quella sommatoria è proprio uguale a infinito!! Dove sbaglio?
$Sigma_{n=-oo}^{+oo} [int_{3n-1/4}^{0} e^(2t) dt + int_{0}^{3n-1/4} e^(-2t) dt]$
risolvendo si ha:
$Sigma_{n=-oo}^{+oo} 1/2 - (e^(6n-1/2))/2 - (e^(-6n-1/2))/2 $
Ma quella sommatoria è proprio uguale a infinito!! Dove sbaglio?
"Fioravante Patrone":
[quote="Kroldar"]
se, come spesso accade in questi casi, si chiude un occhio
maledetti ingegneri
[/quote]
Per fortuna ci siete voi matematici a non farci arronzare troppo:
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... +integrale
Vediamo di dare una sistemata alle cose...
Abbiamo detto che
$E_x = sum_(n=-oo)^(+oo) int_(-oo)^(+oo) e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt = sum_(n=-oo)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt$
Se estraiamo l'integrale per $n=0$ e consideriamo solo il caso di $n>0$, otteniamo
$sum_(n=-oo)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt = int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt + 2 * sum_(n=1)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt$
dove nel secondo integrale a secondo membro è stato tolto il modulo in quanto per $n>0$ risulta sicuramente $t>0$.
Calcoliamo ora
$int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt = 1 - e^(-1/2)$
e calcoliamo inoltre
$int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt = e^(-6n) * (e^(1/2) - e^(-1/2))/2$
In definitiva, dunque, risulta
$E_x = int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt + 2 * sum_(n=1)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * sum_(n=1)^(+oo) e^(-6n)$
Inoltre non è difficile mostrare che
$sum_(n=1)^(+oo) e^(-6n) = 1/(e^6-1)$
da cui segue che
$E_x = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * 1/(e^6-1)$
che con qualche manipolazione può essere scritta come
$E_x = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * 1/(e^2-1) = 1 - e^(-1/2) + e^(-1/2) * (e - 1)/(e^6 - 1) = 1 - e^(-1/2) + e^(-1/2)/(e^5 + e^4 + e^3 + e^2 + e + 1)$
Data la mole di conti, mi sia concessa un'eventuale distrazione... la cosa importante tuttavia è aver capito il procedimento da seguire.
Abbiamo detto che
$E_x = sum_(n=-oo)^(+oo) int_(-oo)^(+oo) e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt = sum_(n=-oo)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt$
Se estraiamo l'integrale per $n=0$ e consideriamo solo il caso di $n>0$, otteniamo
$sum_(n=-oo)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt = int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt + 2 * sum_(n=1)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt$
dove nel secondo integrale a secondo membro è stato tolto il modulo in quanto per $n>0$ risulta sicuramente $t>0$.
Calcoliamo ora
$int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt = 1 - e^(-1/2)$
e calcoliamo inoltre
$int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt = e^(-6n) * (e^(1/2) - e^(-1/2))/2$
In definitiva, dunque, risulta
$E_x = int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt + 2 * sum_(n=1)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * sum_(n=1)^(+oo) e^(-6n)$
Inoltre non è difficile mostrare che
$sum_(n=1)^(+oo) e^(-6n) = 1/(e^6-1)$
da cui segue che
$E_x = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * 1/(e^6-1)$
che con qualche manipolazione può essere scritta come
$E_x = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * 1/(e^2-1) = 1 - e^(-1/2) + e^(-1/2) * (e - 1)/(e^6 - 1) = 1 - e^(-1/2) + e^(-1/2)/(e^5 + e^4 + e^3 + e^2 + e + 1)$
Data la mole di conti, mi sia concessa un'eventuale distrazione... la cosa importante tuttavia è aver capito il procedimento da seguire.
Ma considerando il valore assoluto nell'esponenziale, non dovrebbe andare da 0 a $+inf$ l'integrale? E poi perchè c'è quel 2 sull'esponenziale ?
Quella cosa che non si capisce dovrebbe essere + infinito.
"Feynman84":
Ma considerando il valore assoluto nell'esponenziale, non dovrebbe andare da 0 a $+inf$ l'integrale? E poi perchè c'è quel 2 sull'esponenziale ?
+ infinito si scrive + oo tra \$
c'è il quadrato perché $E=int_(-oo)^(+oo)|x(t)|^2$dt$
Ah. Non lo avevo considerato ing Raffaele. Comunque non dovrebbe andare solo da 0 a $+oo$ l'integrale?
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