[Elettrotecnica] Transitori in circuiti lineari
Buonasera a tutti, ho un paio di dubbi con quest'esercizio.
Noi siamo abituati a studiare problemi di questo tipo in un modo molto schematico:
1) $J rarr$ circuito aperto, $E rarr$ cortocircuito, $T$ ha già operato;
2) regime ($t=+infty$);
3) $T$ non ha ancora operato ($t=0^-$);
4) $C rarr E$, $L rarr J$, $T$ ha appena operato ($t=0^+$);
5) integrale generale e derivata prima.
Fino al punto 3), è tutto OK. Al punto 4), ottengo il seguente circuito.
Devo calcolarmi $V_(L0)$, sapendo che $I_(L0)=4, V_(C0)=4$.
PS: Le unità di misura le ometto perché così fa anche il Prof. nelle soluzioni (qui sotto).
Dall'analisi delle maglie, ottengo $I_(M2)=-6$. A questo punto, posso calcolarmi $V_(L0)$ in 2 modi.
Facendo il percorso di destra, ottengo $V_(L0)=R_2(I_(M2)-I_(L0))+R_3I_(M2)+V_(C0)=-6$, che è corretto; ma facendo il percorso di sinistra ottengo $V_(L0)=R_2(I_(M2)-I_(L0))-R_1I_(L0)=-14$! L'altro dubbio riguarda il punto 5). L'integrale generale che conosco io è $I_L(t)=ke^(sigmat)sin(omegat+varphi)+I_(LP)$, ma il Prof. spesso usa un'espressione analoga ma con il coseno... In ogni caso, non dovrebbe cambiare nulla. Basta scalare con un fattore $varphi=pi/2$. Facendo i calcoli, mi esce, sapendo che $I_(LP)=0, dotI_L=V_L/L$:
- integrale generale: $I_(L0)=ksinvarphi$
- derivata prima: $V_(L0)/L=k(sigmasinvarphi+omegacosvarphi), sigma=-3, omega=sqrt(3)$
A questo punto, io, le soluzioni del sistema di equazioni, le troverei a tentativi. In genere, pongo sempre $varphi=pi/2$, e vedo $k$ a quanto è uguale. Come scrive il Prof. però si possono sempre ottenere più soluzioni.
In conclusione, quale soluzione prendo: una a caso? Grazie!
Noi siamo abituati a studiare problemi di questo tipo in un modo molto schematico:
1) $J rarr$ circuito aperto, $E rarr$ cortocircuito, $T$ ha già operato;
2) regime ($t=+infty$);
3) $T$ non ha ancora operato ($t=0^-$);
4) $C rarr E$, $L rarr J$, $T$ ha appena operato ($t=0^+$);
5) integrale generale e derivata prima.
Fino al punto 3), è tutto OK. Al punto 4), ottengo il seguente circuito.
Devo calcolarmi $V_(L0)$, sapendo che $I_(L0)=4, V_(C0)=4$.
PS: Le unità di misura le ometto perché così fa anche il Prof. nelle soluzioni (qui sotto).
Dall'analisi delle maglie, ottengo $I_(M2)=-6$. A questo punto, posso calcolarmi $V_(L0)$ in 2 modi.
Facendo il percorso di destra, ottengo $V_(L0)=R_2(I_(M2)-I_(L0))+R_3I_(M2)+V_(C0)=-6$, che è corretto; ma facendo il percorso di sinistra ottengo $V_(L0)=R_2(I_(M2)-I_(L0))-R_1I_(L0)=-14$! L'altro dubbio riguarda il punto 5). L'integrale generale che conosco io è $I_L(t)=ke^(sigmat)sin(omegat+varphi)+I_(LP)$, ma il Prof. spesso usa un'espressione analoga ma con il coseno... In ogni caso, non dovrebbe cambiare nulla. Basta scalare con un fattore $varphi=pi/2$. Facendo i calcoli, mi esce, sapendo che $I_(LP)=0, dotI_L=V_L/L$:
- integrale generale: $I_(L0)=ksinvarphi$
- derivata prima: $V_(L0)/L=k(sigmasinvarphi+omegacosvarphi), sigma=-3, omega=sqrt(3)$
A questo punto, io, le soluzioni del sistema di equazioni, le troverei a tentativi. In genere, pongo sempre $varphi=pi/2$, e vedo $k$ a quanto è uguale. Come scrive il Prof. però si possono sempre ottenere più soluzioni.
In conclusione, quale soluzione prendo: una a caso? Grazie!
Risposte
Tanto per cominciare quella $I_(M2)=-6$ è errata, scopri tu il perché 
... e poi per quanto riguarda le costanti della soluzione di certo non bisogna andare per tentativi, seno o coseno pari sono, usa la funzione che preferisci, ma scrivi il sistema in due equazioni che lega le due costanti $k_1$ e $\phi$ alle condizioni iniziali; è chiaro che se da dette equazioni ricaverai (per esempio) una tangente nulla, avrai "l'imbarazzo della scelta", ma anche qui una vale l'altra, normalmente si sceglie quella relativa all'arco minimo.
... e poi per quanto riguarda le costanti della soluzione di certo non bisogna andare per tentativi, seno o coseno pari sono, usa la funzione che preferisci, ma scrivi il sistema in due equazioni che lega le due costanti $k_1$ e $\phi$ alle condizioni iniziali; è chiaro che se da dette equazioni ricaverai (per esempio) una tangente nulla, avrai "l'imbarazzo della scelta", ma anche qui una vale l'altra, normalmente si sceglie quella relativa all'arco minimo.
Grazie. Sicuramente ho sbagliato il circuito relativo al punto 4 perché, se il circuito è quello, i conti mi sembrano corretti. Anche "scambiando" i 2 rami verticali di destra, si vede che c'è qualquadra che non cosa, visto che mi uscirebbe $I_(M1)=1$, ma poi l'equazione di 2^ maglia non sarebbe verificata. Il resto l'ho capito.
"Bubbino1993":
... se il circuito è quello, i conti mi sembrano corretti.
Il circuito è corretto, ma la corrente della maglia elementare sinistra $I_{M1}$ non è pari alla $I_{L0}$.
OK, infatti $I_(L0)=I_(M1)-I_(M2)$. Grazie.
"RenzoDF":
... e poi per quanto riguarda le costanti della soluzione di certo non bisogna andare per tentativi, seno o coseno pari sono, usa la funzione che preferisci, ma scrivi il sistema in due equazioni che lega le due costanti $k_1$ e $\phi$ alle condizioni iniziali; è chiaro che se da dette equazioni ricaverai (per esempio) una tangente nulla, avrai "l'imbarazzo della scelta", ma anche qui una vale l'altra, normalmente si sceglie quella relativa all'arco minimo.
Io ottengo un sistema di 2 equazioni non lineari:
1) $4=ksinvarphi$
2) $-12=k(-3sinvarphi+sqrt(3)cosvarphi)$
Ho la calcolatrice grafica HP50G, ma non so usarla per risolvere un sistema di questo tipo, per cui vado a occhio: noto subito dalla 1) che, se $varphi=pi/2$, si avrebbe $k=4$, e per questi valori anche la 2) è verificata... Cosa intendi con "arco minimo"?
Scusa ma per risolvere quel sistema basta dividere membro a membro la seconda equazione per la prima ... e quindi cotangente nulla ... e quindi angolo 90° ... seno unitario ... k=4.
Con arco minimo intendo l'angolo minimo.
Con arco minimo intendo l'angolo minimo.
Ah, già! OK, grazie!
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