[Elettrotecnica] Ricavare condizione iniziale in circuito secondo ordine:

[Ster24]

Ho tale circuito. Il circuito è a riposo per t<0. Determinare l’andamento della tensione sul resistore R per t>0. I dati sono :
$j(t) = 0 t<0$ ;$ 5cos(100t) t>0$;$ R=10$ ;$ L=100mH$ ;$ C=1000uF$. Detta v la tensione sul parallelo, l’equazione da risolvere è:

$(d^2v)/(dt^2) + 1/(RC) (dv)/dt +1/(LC) v- 1/C (di)/(dt)$ con le condizioni iniziali $v(0)=0$ e$( dv)/dt( per t=0) = i_(0)/C =5*10^3$
Allora mi è super chiaro tutto, la mia unica perplessità è come ricavare la seconda condizione iniziale , cioè:$( dv)/dt( per t=0) = i_(0)/C =5*10^3$ Ho capito come arrivare alla relazione$ i_0/C$ ma non riesco a ricavarmi $I_0$. Ho provato a considerare il circuito per $t<0$ , ma nulla. Mi aiutate?

[RenzoDF]

La seconda condizione iniziale (sulla derivata della tensione ovvero sulla ic), la ottieni dalla continuità della tensione vc e della corrente iL nel passaggio da t=0- a t=0+ e, visto che per t=0+ il valore istantaneo del GIC è pari al suo valore massimo, avrai che ic(0+)=j(0+)=5 A.

[Ster24]

Ti ringrazio di cuore per la risposta. Ma leggendo continuità noto che non so proprio cosa sia, ho letto un pò dalla teoria ma non capisco... Puoi illuminarmi a riguardo cortesemente? in questa tipologia mi blocco sempre su questo punto.

[RenzoDF]

"Ster24":Ti ringrazio di cuore per la risposta. Ma leggendo continuità noto che non so proprio cosa sia, ...

Premesso che non capisco come tu non possa sapere cosa sia una funzione continua, intendo dire che in una rete elettrica (non degenere) la tensione ai morsetti di un condensatore e la corrente che attraversa un induttore non possono presentare "cambiamenti di valore istantanei" in quanto questo cambiamento porterebbe ad una istantanea variazione nell'energia immagazzinata dagli stessi e quindi a richiedere un'impulso a potenza infinita.

[Ster24]

RenzoDF quando calcolo la Ic per t<0 mi viene 0, e per t> 0 mi viene una cosa impossibile da fare, in quanto nel parallelo tra il condensatore e l'induttore trasformati in fasori ho denominatore 0, non capisco come hai fatto.

[RenzoDF]

"Ster24":... una cosa impossibile da fare, in quanto nel parallelo tra il condensatore e l'induttore trasformati in fasori ho denominatore 0, non capisco come hai fatto.

Non devi usare i fasori, devi solo scrivere una KCL per i valori istantanei delle correnti $i_i(0+)$ nei quattro rami.

[Ster24]

Non ho mai fatto cosi. Quindi applico kirkoff ai due nodi sopra?

[RenzoDF]

"Ster24": Non ho mai fatto cosi.

Puoi anche continuare a non farlo, fai come hai sempre fatto.

"Ster24":... Quindi applico kirkoff ai due nodi sopra?

Kirchhoff lo applichi al singolo supernodo superiore, se ti va di farlo, ovviamente.

[Ster24]

Altrimenti come posso fare? Con il mio metodo non viene

[RenzoDF]

"Ster24":Altrimenti come posso fare? Con il mio metodo non viene

Beh, se con il tuo metodo non viene, direi che potresti provare con il mio, ... a me viene sempre, in quel modo.

[Ster24]

Avrei $J=I_R +I_C+I_L$ e poi come prosegui?

[RenzoDF]

"Ster24":... e poi come prosegui?

Il condensatore è scarico e quindi la sua tensione vC(0+)=vC(0-)=0,
l'induttore non è attraversato da corrente iL(0+)=iL(0-)=0,
ai capi del resistore non c'è tensione vR(0+)=vC(0+)=0,
e di conseguenza ne segue che ...

[Ster24]

Chiarissimo! però non so riesco a capire perchè non si possa considerare l'$i_c=(CdV_c)/dt$ sapendo che $V_c=0$ concludo che $i_c=0$ non riesco a capire perchè sia cosi diverso il risultato! puoi illuminarmi? magari perchè questa è la caratteristica per $t>=0$ e a me interessa nel transitorio?

[RenzoDF]

"Ster24":Chiarissimo! però non so riesco a capire perchè non si possa considerare l'$i_c=(CdV_c)/dt$ sapendo che $V_c=0$ concludo che $i_c=0$

Non puoi farlo perché la tensione sul condensatore è esprimibile con la funzione vC(t)=0 solo per t<0 e non anche per t>0 dove è ancora incognita; visto che 0+ > 0, non puoi far altro che usare la continuità di vC(t) in quanto non possiamo assumere che la sua derivata sia continua.

Ripeto, nel passaggio fra t=0- e t=0+, in una rete non degenere, puoi solo far affidamento sulla continuità delle variabili di stato vC e iL che saranno di certo continue, nulla si può dire sulla continuità delle loro derivate ovvero della iC e della vL (in questo caso, per esempio, la iC è discontinua mentre la vL è continua).