[Elettrotecnica] Regime, transitorio, poi regime
Determinare l'andamento dell'intensità di corrente dell'induttore
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
Porto il condensatore al primario $C' = 8 \cdot 10^-5$
Per $t<0$ trovo che $i_L = 0$ quindi $i_L(0) = 0$ e che $v_C' = -1$ quindi $v_C'(0) = -1$
Per $t \geq 0$ studio il regime sinusoidale con il metodo dei fasori trovando che $i_L\infty = 0.008cos(50t+1.5)$
Adesso voglio studiare il transitorio, ovvero il passaggio dal regime per $t<0$ a quello che si instaura per $t\geq 0$
Per fare ciò spengo il generatore di tensione, ottenendo un circuito RLC serie
Applico la KVL: \(\displaystyle Ri_L + L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + v_C' = 0 \)
Tenendo conto che \(\displaystyle i_L = C'\frac{\mathrm{d} v_C'}{\mathrm{d} t} \) trovo facilmente, derivando ambo i membri della KVL, che
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 0 \)
Le condizioni iniziali sono $i_L(0) = 0$ (ricavato nel regime per $t<0$) e \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} |_{t=0} = -\frac{1}{L}[v_C'(0)+Ri_L(0)] = 2 \)
Risolvendo questo problema di Cauchy trovo che $\lambda_{1,2} = -5 \pm 158j$ e quindi
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
$i'_L(t) = c_1 [-5e^{-5t}cos(158t)-158e^{-5t}sin(158t)] + c_2 [-5e^{-5t}sin(158t) + 158e^{-5t}cos(158t)]$
Calcolandole entrambe in $t=0$ e ponendole, rispettivamente, a $0$ e $2$ (condizioni iniziali) trovo che
$c_1 = 0$ e $c_2 = 0.06$
ma nel risultato invece le costanti sembrano essere $0.0002$ e $0.3543$
.
1) Cosa sto sbagliando?
2) Mi è stato suggerito di porre l'equazione differenziale del problema di Cauchy uguale a $2cos(50t)$ invece che a $0$
Se fosse questo il problema... potreste spiegarmi il motivo? Io ho semplicemente "sviluppato" la KVL e quindi se mi trovo un'equazione omogenea è perchè sono partito proprio dalla KVL...
Il mio libro dice di spegnere i generatori quando si studia l'evoluzione libera... e così ho fatto...
Che bisogno c'è di porre la forzatura $2cos(50t)$ se io ho già calcolato la $i_L\infty$?
Vorrei capire meglio il quadro generale.
Grazie in anticipo!
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
Porto il condensatore al primario $C' = 8 \cdot 10^-5$
Per $t<0$ trovo che $i_L = 0$ quindi $i_L(0) = 0$ e che $v_C' = -1$ quindi $v_C'(0) = -1$
Per $t \geq 0$ studio il regime sinusoidale con il metodo dei fasori trovando che $i_L\infty = 0.008cos(50t+1.5)$
Adesso voglio studiare il transitorio, ovvero il passaggio dal regime per $t<0$ a quello che si instaura per $t\geq 0$
Per fare ciò spengo il generatore di tensione, ottenendo un circuito RLC serie
Applico la KVL: \(\displaystyle Ri_L + L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + v_C' = 0 \)
Tenendo conto che \(\displaystyle i_L = C'\frac{\mathrm{d} v_C'}{\mathrm{d} t} \) trovo facilmente, derivando ambo i membri della KVL, che
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 0 \)
Le condizioni iniziali sono $i_L(0) = 0$ (ricavato nel regime per $t<0$) e \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} |_{t=0} = -\frac{1}{L}[v_C'(0)+Ri_L(0)] = 2 \)
Risolvendo questo problema di Cauchy trovo che $\lambda_{1,2} = -5 \pm 158j$ e quindi
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
$i'_L(t) = c_1 [-5e^{-5t}cos(158t)-158e^{-5t}sin(158t)] + c_2 [-5e^{-5t}sin(158t) + 158e^{-5t}cos(158t)]$
Calcolandole entrambe in $t=0$ e ponendole, rispettivamente, a $0$ e $2$ (condizioni iniziali) trovo che
$c_1 = 0$ e $c_2 = 0.06$
ma nel risultato invece le costanti sembrano essere $0.0002$ e $0.3543$
.
1) Cosa sto sbagliando?
2) Mi è stato suggerito di porre l'equazione differenziale del problema di Cauchy uguale a $2cos(50t)$ invece che a $0$
Se fosse questo il problema... potreste spiegarmi il motivo? Io ho semplicemente "sviluppato" la KVL e quindi se mi trovo un'equazione omogenea è perchè sono partito proprio dalla KVL...
Il mio libro dice di spegnere i generatori quando si studia l'evoluzione libera... e così ho fatto...
Che bisogno c'è di porre la forzatura $2cos(50t)$ se io ho già calcolato la $i_L\infty$?
Vorrei capire meglio il quadro generale.
Grazie in anticipo!
Risposte
"DeltaEpsilon":
... 1) Cosa sto sbagliando?
Essenzialmente il tuo errore consiste nell'aver "mescolato" due diverse metodologie risolutive:
i) Risposta libera + risposta forzata
ii) Risposta transitoria + risposta a regime
ovvero il tuo errore è aver usato una inapplicabile
iii) Risposta libera + risposta a regime
Dai, per esempio un occhio a questo vecchio thread
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 93#p920001
Grazie per aver chiarito l'errore 
Qual è dunque la differenza fra le due metodologie risolutive?
[size=150](♠)[/size] Essenzialmente per $t \geq 0$
1) Spengo il generatore ricavando e calcolando un'equazione differenziale omogenea (essendo il generatore spento) e condizioni iniziali non nulle (che ricavo dal regime precedente, per $t<0$)
2) Con il generatore acceso, studio il circuito utilizzando il metodo dei fasori
Questo modo di procedere dovrebbe quindi corrispondere a quanto detto
Se invece della risposta libera volessi "cambiare" e studiare la risposta transitoria, come cambierebbe il punto 1 dello svolgimento [size=150](♠)[/size]?
Oppure viceversa, se invece della risposta a regime volessi "cambiare" e studiare la risposta forzata, come cambierebbe il punto 2 dello svolgimento [size=150](♠)[/size]?
Vorrei comprendere meglio le differenze fra le due metodologie...
Qual è dunque la differenza fra le due metodologie risolutive?
[size=150](♠)[/size] Essenzialmente per $t \geq 0$
1) Spengo il generatore ricavando e calcolando un'equazione differenziale omogenea (essendo il generatore spento) e condizioni iniziali non nulle (che ricavo dal regime precedente, per $t<0$)
2) Con il generatore acceso, studio il circuito utilizzando il metodo dei fasori
Questo modo di procedere dovrebbe quindi corrispondere a quanto detto
"RenzoDF":
iii) Risposta libera + risposta a regime
Se invece della risposta libera volessi "cambiare" e studiare la risposta transitoria, come cambierebbe il punto 1 dello svolgimento [size=150](♠)[/size]?
Oppure viceversa, se invece della risposta a regime volessi "cambiare" e studiare la risposta forzata, come cambierebbe il punto 2 dello svolgimento [size=150](♠)[/size]?
Vorrei comprendere meglio le differenze fra le due metodologie...
Se utilizzi il metodo
i) Risposta libera + risposta forzata
per la prima parte, spegni in generatore e vai a determinare l'evoluzione libera, applicando le condizioni iniziali, come hai fatto [nota]Anche se non ho controllato i tuoi calcoli.[/nota]
per la seconda, lasci acceso il generatore e ipotizzi nulle le condizioni iniziali (in questo caso però non puoi usare il metodo fasoriale [nota]Come hai fatto.[/nota] in quanto non siamo in una condizione di regime sinusoidale), ma devi andare a risolvere l'equazione differenziale della rete con condizioni iniziali nulle.
Se utilizzi il metodo
ii) Risposta transitoria + risposta regime
per la prima parte, lasci acceso il generatore e determini la generica forma dell'evoluzione libera, come in precedenza, via autovalori
per la seconda, determini via metodo fasoriale la risposta in regime sinusoidale
e infine vai ad usare le diverse [nota]Essendo in questo caso presente anche la forzante.[/nota] condizioni iniziali, per $t=0^+$, alla somma delle due suddette parti.
Il consiglio che ti do è quello di usare quest'ultimo metodo in quanto la possibilità di usare il metodo fasoriale rende la determinazione della risposta a regime più semplice della determinazione della risposta forzata.
NB Sostanzialmente basta che tu vada a sommare la tua prima relazione per la $i_L(t)$ alla tua $i_L\infty(t)$, per poi andare a ricavare c1 e c2 dalle particolari condizioni iniziali, con generatore di tensione acceso, alla suddetta somma.
BTW Usa qualche cifra significativa in più (3 possono bastare).
i) Risposta libera + risposta forzata
per la prima parte, spegni in generatore e vai a determinare l'evoluzione libera, applicando le condizioni iniziali, come hai fatto [nota]Anche se non ho controllato i tuoi calcoli.[/nota]
per la seconda, lasci acceso il generatore e ipotizzi nulle le condizioni iniziali (in questo caso però non puoi usare il metodo fasoriale [nota]Come hai fatto.[/nota] in quanto non siamo in una condizione di regime sinusoidale), ma devi andare a risolvere l'equazione differenziale della rete con condizioni iniziali nulle.
Se utilizzi il metodo
ii) Risposta transitoria + risposta regime
per la prima parte, lasci acceso il generatore e determini la generica forma dell'evoluzione libera, come in precedenza, via autovalori
per la seconda, determini via metodo fasoriale la risposta in regime sinusoidale
e infine vai ad usare le diverse [nota]Essendo in questo caso presente anche la forzante.[/nota] condizioni iniziali, per $t=0^+$, alla somma delle due suddette parti.
Il consiglio che ti do è quello di usare quest'ultimo metodo in quanto la possibilità di usare il metodo fasoriale rende la determinazione della risposta a regime più semplice della determinazione della risposta forzata.
NB Sostanzialmente basta che tu vada a sommare la tua prima relazione per la $i_L(t)$ alla tua $i_L\infty(t)$, per poi andare a ricavare c1 e c2 dalle particolari condizioni iniziali, con generatore di tensione acceso, alla suddetta somma.
BTW Usa qualche cifra significativa in più (3 possono bastare).
"RenzoDF":
NB Sostanzialmente basta che tu vada a sommare la tua prima relazione per la $i_L(t)$ alla tua $i_L\infty(t)$, per poi andare a ricavare c1 e c2 dalle particolari condizioni iniziali, con generatore di tensione acceso, alla suddetta somma.
Qui mi stai consigliando di portare a termine l'esercizio trovando $c1$ e $c2$ dalla somma di $i_L$ e $i_L∞$ e questo mi lascia intendere di star applicando il metodo 2 (risposta transitoria + risposta regime) in quanto $i_L\infty$ l'ho ricavata con il metodo dei fasori.
Tuttavia, $i_L$ non l'ho ricavata seguendo la prima parte del metodo 2:
"RenzoDF":
per la prima parte, lasci acceso il generatore e determini la generica forma dell'evoluzione libera, come in precedenza, via autovalori
Ma nonostante ciò, mi dici di concludere l'esercizio secondo il metodo 2:
"RenzoDF":
infine vai ad usare le diverse condizioni iniziali, per $t=0^+$, alla somma delle due suddette parti.
Perchè?
.
In sostanza, nel mio svolgimento ho applicato le condizioni iniziali (non nulle) a $i_L$ e a $i'_L$ prima di fare la somma con $i_L\infty$, mentre sembra che tu mi stia suggerendo di farlo dopo.
"DeltaEpsilon":
...mi stai consigliando di portare a termine l'esercizio trovando $c1$ e $c2$ dalla somma di $i_L$ e $i_L∞$ e questo mi lascia intendere di star applicando il metodo 2 (risposta transitoria + risposta regime) in quanto $i_L\infty$ l'ho ricavata con il metodo dei fasori. ... Tuttavia, $i_L$ non l'ho ricavata seguendo la prima parte del metodo 2: ...
Esatto!
Ma ti ricordo che come "risposta transitoria" si intende la combinazione lineare dei soli modi associati agli autovalori $\lambda_i $, ovvero
$ \sum_{i=1}^{n} c_i e^{\lambda_i t}$
la risposta complessiva del sistema è quindi ottenuta sommandola alla "risposta a regime"
$i_L(t)=\sum_{i=1}^{2} c_i e^{\lambda_i t}+i_{L_\infty}(t)$
e solo successivamente saranno usate le condizioni iniziali, a forzante "accesa", per determinare i coefficienti $c_i$.
A forzante "accesa", per $t=0^+$, avrai ancora che $i_L(0^+)=0$, ma la condizione iniziale per la tensione sull'induttore sarà diversa
$v_L(0^+)=-v_C(0^+)+e(0^+)=3 \ \text {V}$.
"RenzoDF":
ti ricordo che come "risposta transitoria" si intende la combinazione lineare dei soli modi associati agli autovalori $\lambda_i $, ovvero
$ \sum_{i=1}^{n} c_i e^{\lambda_i t}$
Parli di autovalori, quando io non li ho nemmeno considerati per il calcolo di
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
che ho invece trovato [size=85](con il generatore spento)[/size] considerando l'equazione differenziale
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 0 \) e la sua equazione caratteristica $\lambda^2 + R/L \lambda + 1/(LC') = 0$
Ma nonostante ciò, mi stai dicendo di fare la somma tra $i_L$ e $i_L\infty$ ovvero
$ c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t) + 0.008cos(50t+1.5)$
Quindi, se mi dici che
"RenzoDF":
la risposta complessiva del sistema è ottenuta sommandola alla "risposta a regime"
$\sum_{i=1}^{2} c_i e^{\lambda_i t}+i_{L_\infty}(t)$
Allora io deduco che $\sum_{i=1}^{2} c_i e^{\lambda_i t}$ è proprio la "mia" $i_L$, cioè quella che mi dici che devo sommare a $i_L\infty$ e cioè $c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
"RenzoDF":
successivamente saranno usate le condizioni iniziali, a forzante "accesa", per determinare i coefficienti $c_i$.
A forzante "accesa", per $t=0^+$, avrai ancora che $i_L(0^+)=0$, ma la condizione iniziale per la tensione sull'induttore sarà diversa
$v_L(0^+)=-v_C(0^+)+e(0^+)=3 \ \text {V}$.
Sulla base di quanto appena detto allora ho che
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t) + 0.008cos(50t+1.5)$
$i'_L(t) = c_1 [-5e^{-5t}cos(158t)-158e^{-5t}sin(158t)] + c_2 [-5e^{-5t}sin(158t) + 158e^{-5t}cos(158t)] - 1.26sin(158t+1.5)$
Li valuto per $t=0$ e impongo che valgano come le condizioni iniziali, cioè $0$ e $\frac{v_L(0)}{L} = 6$ rispettivamente
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
c_1 + 0.0005 = 0& \\
-5c_1 + 158c_2 - 1.4038 = 6 &
\end{matrix}\right. \)
ovvero $c_1 = -0.0005$ e $c_2 = 0.03$
che ancora non corrisponde al risultato
"DeltaEpsilon":
... che ancora non corrisponde al risultato
Se non segui i consigli che ti vengono dati, è facile che succeda.
Non capisco poi che significato abbia quella relazione
$A=i_\infty-I_0$
visto che $i_\infty$ rappresenta una funzione del tempo ... e $I_0$ a cosa corrisponderebbe?
"RenzoDF":
Se non segui i consigli che ti vengono dati, è facile che succeda.
Ho scritto un intero procedimento prima di arrivare a quella conclusione, basandomi su quanto mi hai detto... sto cercando di arrivarci pian piano affinchè tutto mi quadri...
Allora, tanto per cominciare ti avevo consigliato di usare più cifre significative e, non avendolo fatto, hai ottenuto valori troppo approssimati, per esempio, esagerando :
$i_\infty(t)\approx 0.008887\cos(50 t+1.5486)$
di conseguenza $c_1\approx -0.000197$
E' chiaro che se usi solo una cifra significativa ti devi aspettare di ottenere risultati completamente inaffidabili.
In questo problema poi, completamente mal posto dal punto di vista numerico, i rischi aumentano.
$i_\infty(t)\approx 0.008887\cos(50 t+1.5486)$
di conseguenza $c_1\approx -0.000197$
E' chiaro che se usi solo una cifra significativa ti devi aspettare di ottenere risultati completamente inaffidabili.
In questo problema poi, completamente mal posto dal punto di vista numerico, i rischi aumentano.
"RenzoDF":
di conseguenza $c_1\approx -0.000197$
Stando al libro, $c_1$ dovrebbe venire con segno positivo... ma comunque, sostituendo questo valore di $c_1$ nella seconda relazione del sistema, il valore di $c_2$ che trovo è $0.046853699$ che non corrisponde alla soluzione del libro (nè per il modulo, nè per il segno).
---------------
Comunque, dei calcoli mi frega molto poco, li lascio volentieri al computer.
Quello che invece mi interessa, e quello su cui non mi hai (ancora) corretto, è il metodo.
Se dovesse quindi essere corretto, mi domando il perchè... dato che tu parlavi di autovalori e di forzante accesa, mentre io ho spento il generatore e valutato solo l'evoluzione libera con un'equazione differenziale di secondo ordine omogenea.
"DeltaEpsilon":
Parli di autovalori, quando io non li ho nemmeno considerati per il calcolo di
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
che ho invece trovato [size=85](con il generatore spento)[/size] considerando l'equazione differenziale
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 0 \) e la sua equazione caratteristica $\lambda^2 + R/L \lambda + 1/(LC') = 0$
Ma nonostante ciò, mi stai dicendo di fare la somma tra $i_L$ e $i_L\infty$
"DeltaEpsilon":
... Stando al libro, $c_1$ dovrebbe venire con segno positivo...
Mah, non riesco a vedere quale errore possiamo aver commesso: se anche il libro scrive quella relazione per
$i_L(t)$, il problema potrebbe trovarsi in quella "strana" relazione per la quale ti chiedevo chiarimenti, visto che io il libro non ce l'ho.
"DeltaEpsilon":
... ma comunque, sostituendo questo valore di $c_1$ nella seconda relazione del sistema, il valore di $c_2$ che trovo è $0.046853699$ che non corrisponde alla soluzione del libro (nè per il modulo, nè per il segno) ...
Io ottengo un risultato diverso, ma positivo e dello stesso ordine di grandezza del tuo
$c_2\approx 0.0408$
Se posti l'intera soluzione del libro forse riesco a capire il perché di questa differenza fra i nostri calcoli e quelli ufficiali.
"DeltaEpsilon":
... Quello che invece mi interessa, e quello su cui non mi hai (ancora) corretto, è il metodo.
Se dovesse quindi essere corretto, mi domando il perchè... dato che tu parlavi di autovalori e di forzante accesa, mentre io ho spento il generatore e valutato solo l'evoluzione libera con un'equazione differenziale di secondo ordine omogenea.
Parli di autovalori, quando io non li ho nemmeno considerati ...
Gli autovalori non sono altro che le radici dell'equazione caratteristica e quindi li hai usati pure tu e ripeto: la risposta transitoria ha la stessa forma della risposta libera
$i_{tran}(t)\approx c_1 e^{-5t}\cos(158t) + c_2 e^{-5t}\sin(158t)$
l'unica differenza sta nei coefficienti $c_i$, in quanto questi ultimi, nel caso della "risposta transitoria", vengono determinati con le diverse condizioni iniziali associate alla presenza del generatore forzante ("acceso").
"RenzoDF":
Se posti l'intera soluzione del libro forse riesco a capire il perché di questa differenza fra i nostri calcoli e quelli ufficiali.
Non che il libro faccia molti calcoli, in realtà
"RenzoDF":
Gli autovalori non sono altro che le radici dell'equazione caratteristica
Il libro le chiama frequenze naturali. Sono la stessa cosa o...?
"RenzoDF":
la risposta transitoria ha la stessa forma della risposta libera
$i_{tran}(t)\approx c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
l'unica differenza sta nei coefficienti $c_i$, in quanto questi ultimi, nel caso della "risposta transitoria", vengono determinati con le diverse condizioni iniziali associate alla presenza del generatore forzante ("acceso").
Consideriamo ora il mio iniziale svolgimento dell'esercizio (primo post del thread quindi) dove appunto dicevi che ho "mescolato" i due metodi risolutivi.
Lì io ho spento il generatore, e di conseguenza mi sono ritrovato con un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea.
E fin qui pare giusto.
Solo che:
1) Avrei dovuto ricavare le condizioni iniziali considerando il generatore acceso, invece che spento
2) Avrei dovuto fare prima la somma tra la soluzione generale e la risposta a regime e poi trovare i coefficienti, invece io ho fatto il viceversa
---
Se ciò che ho appena detto è giusto, non facevo prima a lasciare il generatore acceso per poi risolvere l'equazione differenziale (sta volta non più omogenea)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 2cos(50t) \)
con le relative condizioni iniziali ricavate sempre tenendo conto che il generatore è acceso?
"DeltaEpsilon":
... Non che il libro faccia molti calcoli, in realtà ...
Continuo a non capire la già indicata prima relazione del sistema, che dovrebbe essere scritta
$A=I_0- i_\infty|_{t=0}$
ad ogni modo, per quanto riguarda il diverso valore dei coefficienti, prova a controllare se la soluzione fornita dal testo per la $i_L(t)$ è coerente con le due condizioni iniziali per iL e per la sua derivata.
"DeltaEpsilon":
... Il libro le chiama frequenze naturali. Sono la stessa cosa o...? ...
Sì, intendendo "frequenze naturali complesse", anche se la ritengo una terminologia fuorviante.
"DeltaEpsilon":
... Solo che: non facevo prima a lasciare il generatore acceso per poi risolvere l'equazione differenziale (sta volta non più omogenea)...
Puoi avere risposta provando a seguire questa strada; poi mi racconti.
BTW Di che testo si tratta? (Titolo e autore)
"RenzoDF":
Puoi avere risposta provando a seguire questa strada; poi mi racconti.
Ho calcolato il problema di Cauchy
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 2cos(50t) \)
con le condizioni iniziali $0$ e $6$ per $i_L$ e $i'_L$ rispettivamente.
Trovo che la somma tra la generale e la particolare è
$c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t) + 0.004cos(50t)$
dove $c_1 = -0.004$ e $c_2 = 0.03$ ... e ciò naturalmente non corrisponde con il risultato, anche solo guardando il termine $i_L\infty$ che non corrisponde minimamente alla soluzione.
Mi piacerebbe però sapere che significato "circuitale" assume quel problema di Cauchy, magari per capire perchè non è una strada giusta.
"RenzoDF":
BTW Di che testo si tratta? (Titolo e autore)
M. De Magistris, G. Miano - Circuiti Fondamenti di circuiti per l'ingegneria
"DeltaEpsilon":
... Ho calcolato il problema di Cauchy
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 2cos(50t) \) ...
Eh no, scusa, ma quella non è l'equazione differenziale corretta!
Lascio a te indovinare perché.
"DeltaEpsilon":
... e ciò naturalmente non corrisponde con il risultato, anche solo guardando il termine $i_L\infty$ che non corrisponde minimamente alla soluzione. ...
Ecco, QED, ora forse comprendi perché ti consigliavo il metodo fasoriale con il quale, eccessivo arrotondamento a parte, avevi determinato correttamente la componente a regime.
"DeltaEpsilon":
... Mi piacerebbe però sapere che significato "circuitale" assume quel problema di Cauchy, magari per capire perchè non è una strada giusta....
Quell'eq. diff. semplicemente riassume i vincoli circuitali di quella rete, relativamente alla corrente nell'induttore.
La strada è giusta, è l'equazione differenziale che hai scritto che è sbagliata; mi accorgo solo ora che l'avevi indicata anche ieri sera, ma non mi ero accorto dell'errore; ... probabilmente ero addormentato.
"DeltaEpsilon":
... M. De Magistris, G. Miano - Circuiti Fondamenti di circuiti per l'ingegneria
Ah, beh ... allora tutto si spiega!
"RenzoDF":
Eh no, scusa, ma quella non è l'equazione differenziale corretta!
Applicando la KVL (considerando il generatore acceso) esce fuori
\(\displaystyle Ri_L + L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + v_C' = -2cos(50t) \)
Tenendo conto che \(\displaystyle i_L = C'\frac{\mathrm{d} v_C'}{\mathrm{d} t} \) trovo, derivando ambo i membri della KVL, che [size=85](ricordando che divido ambo i membri per L = 0.5)[/size]
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 200sin(50t) \)
Ma un veloce calcolo di quest'altra equazione differenziale mi dice che non è ancora giusta
"RenzoDF":
Ecco, QED, ora forse comprendi perché ti consigliavo il metodo fasoriale
Sisi certamente. Avrei potuto terminare questo thread diversi messaggi fa, ma non riesco a dare le cose "per buono"... la curiosità mi porta a voler capire tutto e bene...per quanto possibile... finchè poi chi mi risponde sul forum non si rompe...
E' un mio difetto......
"RenzoDF":
Ah, beh ... allora tutto si spiega!
Con i libri di testo e i docenti non sono stato particolarmente fortunato in questa vita...
Mi sapresti consigliare un testo, secondo te, migliore?
"DeltaEpsilon":
... Applicando la KVL (considerando il generatore acceso) esce fuori
\(\displaystyle Ri_L + L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + v_C' = -2cos(50t) \)
Non capisco il perchè di quel meno.
"DeltaEpsilon":
... Ma un veloce calcolo di quest'altra equazione differenziale mi dice che non è ancora giusta
Aggiungendo il meno al 200, è quella giusta.
"DeltaEpsilon":
... Avrei potuto terminare questo thread diversi messaggi fa, ma non riesco a dare le cose "per buono"... la curiosità mi porta a voler capire tutto e bene...per quanto possibile... E' un mio difetto......
Così si deve fare! Non è un difetto è un pregio!
"DeltaEpsilon":
... Mi sapresti consigliare un testo, secondo te, migliore?
Non me ne viene in mente nessuno; il tuo testo non è malvagio, l'unico difetto che ha sono spesso le soluzioni degli esercizi.
"DeltaEpsilon":
Mi sapresti consigliare un testo
Io ho utilizzato "Introduzione alle reti elettriche" di Verolino L. e mi son trovato piuttosto bene. Prova a darci un'occhiata.
"RenzoDF":
Non capisco il perchè di quel meno.
Avevo applicato la convenzione dell'utilizzatore sul generatore
"RenzoDF":
Aggiungendo il meno al 200, è quella giusta.
Buono a sapersi, anche se non mi trovo
"RenzoDF":
l'unico difetto che ha sono spesso le soluzioni degli esercizi
E ho anche capito perchè: a volte arrotonda a due cifre, altre volte se ne porta dietro pure 5... nello stesso esercizio... ovvio che poi non mi trovo, dovrei stare a vedere ogni volta le approssimazioni che fa o non fa!
"CosenTheta":
Io ho utilizzato "Introduzione alle reti elettriche" di Verolino L. e mi son trovato piuttosto bene. Prova a darci un'occhiata.
Grazie
"DeltaEpsilon":
... Avevo applicato la convenzione dell'utilizzatore sul generatore ...
Questa non l'ho capita.
"DeltaEpsilon":
... Buono a sapersi, anche se non mi trovo ...
Quanto vale
$1/(LC')$
"DeltaEpsilon":
... E ho anche capito perchè: a volte arrotonda a due cifre, altre volte se ne porta dietro pure 5... nello stesso esercizio... ovvio che poi non mi trovo, dovrei stare a vedere ogni volta le approssimazioni che fa o non fa! ...
Come ti dicevo, anche se dipende dal problema, usa almeno 3 cifre significative che, come credo saprai, non significa usare tre cifre dopo la virgola.
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