[Elettrotecnica] Regime, transitorio, poi regime
Determinare l'andamento dell'intensità di corrente dell'induttore
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
Porto il condensatore al primario $C' = 8 \cdot 10^-5$
Per $t<0$ trovo che $i_L = 0$ quindi $i_L(0) = 0$ e che $v_C' = -1$ quindi $v_C'(0) = -1$
Per $t \geq 0$ studio il regime sinusoidale con il metodo dei fasori trovando che $i_L\infty = 0.008cos(50t+1.5)$
Adesso voglio studiare il transitorio, ovvero il passaggio dal regime per $t<0$ a quello che si instaura per $t\geq 0$
Per fare ciò spengo il generatore di tensione, ottenendo un circuito RLC serie
Applico la KVL: \(\displaystyle Ri_L + L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + v_C' = 0 \)
Tenendo conto che \(\displaystyle i_L = C'\frac{\mathrm{d} v_C'}{\mathrm{d} t} \) trovo facilmente, derivando ambo i membri della KVL, che
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 0 \)
Le condizioni iniziali sono $i_L(0) = 0$ (ricavato nel regime per $t<0$) e \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} |_{t=0} = -\frac{1}{L}[v_C'(0)+Ri_L(0)] = 2 \)
Risolvendo questo problema di Cauchy trovo che $\lambda_{1,2} = -5 \pm 158j$ e quindi
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
$i'_L(t) = c_1 [-5e^{-5t}cos(158t)-158e^{-5t}sin(158t)] + c_2 [-5e^{-5t}sin(158t) + 158e^{-5t}cos(158t)]$
Calcolandole entrambe in $t=0$ e ponendole, rispettivamente, a $0$ e $2$ (condizioni iniziali) trovo che
$c_1 = 0$ e $c_2 = 0.06$
ma nel risultato invece le costanti sembrano essere $0.0002$ e $0.3543$
.
1) Cosa sto sbagliando?
2) Mi è stato suggerito di porre l'equazione differenziale del problema di Cauchy uguale a $2cos(50t)$ invece che a $0$
Se fosse questo il problema... potreste spiegarmi il motivo? Io ho semplicemente "sviluppato" la KVL e quindi se mi trovo un'equazione omogenea è perchè sono partito proprio dalla KVL...
Il mio libro dice di spegnere i generatori quando si studia l'evoluzione libera... e così ho fatto...
Che bisogno c'è di porre la forzatura $2cos(50t)$ se io ho già calcolato la $i_L\infty$?
Vorrei capire meglio il quadro generale.
Grazie in anticipo!
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
Porto il condensatore al primario $C' = 8 \cdot 10^-5$
Per $t<0$ trovo che $i_L = 0$ quindi $i_L(0) = 0$ e che $v_C' = -1$ quindi $v_C'(0) = -1$
Per $t \geq 0$ studio il regime sinusoidale con il metodo dei fasori trovando che $i_L\infty = 0.008cos(50t+1.5)$
Adesso voglio studiare il transitorio, ovvero il passaggio dal regime per $t<0$ a quello che si instaura per $t\geq 0$
Per fare ciò spengo il generatore di tensione, ottenendo un circuito RLC serie
Applico la KVL: \(\displaystyle Ri_L + L\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + v_C' = 0 \)
Tenendo conto che \(\displaystyle i_L = C'\frac{\mathrm{d} v_C'}{\mathrm{d} t} \) trovo facilmente, derivando ambo i membri della KVL, che
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 i_L}{\mathrm{d} t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{LC'}i_L = 0 \)
Le condizioni iniziali sono $i_L(0) = 0$ (ricavato nel regime per $t<0$) e \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} t} |_{t=0} = -\frac{1}{L}[v_C'(0)+Ri_L(0)] = 2 \)
Risolvendo questo problema di Cauchy trovo che $\lambda_{1,2} = -5 \pm 158j$ e quindi
$i_L(t) = c_1 e^{-5t}cos(158t) + c_2 e^{-5t}sin(158t)$
$i'_L(t) = c_1 [-5e^{-5t}cos(158t)-158e^{-5t}sin(158t)] + c_2 [-5e^{-5t}sin(158t) + 158e^{-5t}cos(158t)]$
Calcolandole entrambe in $t=0$ e ponendole, rispettivamente, a $0$ e $2$ (condizioni iniziali) trovo che
$c_1 = 0$ e $c_2 = 0.06$
ma nel risultato invece le costanti sembrano essere $0.0002$ e $0.3543$
.
1) Cosa sto sbagliando?
2) Mi è stato suggerito di porre l'equazione differenziale del problema di Cauchy uguale a $2cos(50t)$ invece che a $0$
Se fosse questo il problema... potreste spiegarmi il motivo? Io ho semplicemente "sviluppato" la KVL e quindi se mi trovo un'equazione omogenea è perchè sono partito proprio dalla KVL...
Il mio libro dice di spegnere i generatori quando si studia l'evoluzione libera... e così ho fatto...
Che bisogno c'è di porre la forzatura $2cos(50t)$ se io ho già calcolato la $i_L\infty$?
Vorrei capire meglio il quadro generale.
Grazie in anticipo!
Risposte
"RenzoDF":
Quanto vale $1/(LC')$
Un abbaglio... avevo ricopiato l'equazione caratteristica e al posto di $25000$ ho trascritto $2500$
.
Grazie mille dell'aiuto
Ora non ti resta che postare il "nostro" risultato, visto che quello ufficiale è chiaramente errato, in quanto non coerente con le condizioni iniziali. 
$i_L(t) = e^{-5t}[-0.000197cos(158t)+0.0351sin(158t)] + 0.00888cos(50t+1.5486)$
"RenzoDF":
[quote="DeltaEpsilon"]... Avevo applicato la convenzione dell'utilizzatore sul generatore ...
Questa non l'ho capita.[/quote]
Leggendo il post, mi è venuto il dubbio su come applicare la LKT nel caso in cui su tutti i bipoli venisse applicata la convenzione dell'utilizzatore. Probabilmente l'OP ha considerato questo circuito con questi segni di tensioni sui bipoli
scegliendo, dunque, come verso di riferimento quello orario, partendo dal generatore si ottiene
$+ e + v_R + v_C + v_L = 0$
portando a secondo membro $e$, quindi, si ottiene quel $-2\cos(50t)$.
Che cosa si sta sbagliando?
"CosenTheta":
... Che cosa si sta sbagliando?
Si sta sbagliando ad applicare la convenzione, che non cambia la natura dei bipoli e/o la sua inserzione nel circuito, ma va solo a scegliere un verso puramente convenzionale (arbitrario) per il verso della tensione e della corrente.
Usando anche per il GIT la convenzione degli utilizzatori il tuo schema non è corretto, ma lo è il seguente
"CosenTheta":
scegliendo, dunque, come verso di riferimento quello orario, partendo dal generatore si ottiene
$+ e + v_R + v_C + v_L = 0$
portando a secondo membro $e$, quindi, si ottiene quel $-2\cos(50t)$.
No, detta v la tensione ai morsetti del GIT, avrai che la KVL sarà
$+ v + v_R + v_C + v_L = 0$
dove
$v=-e=-2\cos(50t)$
e di conseguenza
$+ v_R + v_C + v_L = 2\cos(50t)$
Da come applichi la LKT, dunque, si capisce che allora bisogna tenere conto anche dell'informazione riportata sul generatore, che immagino stia ad indicare quale morsetto è a potenziale maggiore e quale a minore.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
Alziamo ora un po' l'asticella
Il circuito è in regime sinusoidale per $t<0$ (prima della chiusura dell’interruttore).
Determinare:
a) la dinamica dell’intensità di corrente $i_3(t)$ per $t ≥ 0$
b) la potenza complessa erogata dal generatore di tensione a regime per $t→∞$
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
La prima cosa che faccio è l'equivalente tra $R_1$ e $R_2$ e poi porto il generatore equivalente di Thevenin al primario:
- Studio con il metodo dei fasori il regime per $t<0$ trovando che
$v_C(t) = 74.6sin(200t-1.47)$
- Studio con il metodo dei fasori il regime per $t\geq 0$ applicando la sovrapposizione degli effetti, trovando che
$v'_{C_\infty}(t) = 73.42sin(200t-1.37)$ lasciando acceso il GIC
$v''_{C_\infty}(t) = 6.26cos(200t-3.04)$ lasciando acceso il GIT
quindi $v_{C_\infty}(t) = 73.42sin(200t-1.37) + 6.26cos(200t-3.04)$
.
E ora il mio dubbio...
Per quanto riguarda il regime transitorio per $t\geq 0$ come dovrei muovermi?
Nel caso di un solo generatore (come nel caso origine di questo thread) ho appreso essenzialmente che bisogna trovare l'equazione differenziale (ad esempio, nell'incognita $v_C$), calcolarne la soluzione generale e sommarla alla risposta di regime (ad esempio, $v_{C_\infty}$) per poi applicare le condizioni iniziali.
Ma ora che i generatori sono due, dovrei fare la stessa cosa due volte (per via della sovrapposizione degli effetti) e sommare i risultati?
.
Riporto, per completezza, la soluzione fornita dal docente...
... dove sono in dubbio riguardo il metodo utilizzato (apparentemente molto rapido) per la determinazione della risposta transitoria.
Il circuito è in regime sinusoidale per $t<0$ (prima della chiusura dell’interruttore).
Determinare:
a) la dinamica dell’intensità di corrente $i_3(t)$ per $t ≥ 0$
b) la potenza complessa erogata dal generatore di tensione a regime per $t→∞$
[size=85](d'ora in avanti ometterò le unità di misura per non appesantire la lettura, sottintendendo che rispettino quelle del Sistema Internazionale)[/size]
La prima cosa che faccio è l'equivalente tra $R_1$ e $R_2$ e poi porto il generatore equivalente di Thevenin al primario:
- Studio con il metodo dei fasori il regime per $t<0$ trovando che
$v_C(t) = 74.6sin(200t-1.47)$
- Studio con il metodo dei fasori il regime per $t\geq 0$ applicando la sovrapposizione degli effetti, trovando che
$v'_{C_\infty}(t) = 73.42sin(200t-1.37)$ lasciando acceso il GIC
$v''_{C_\infty}(t) = 6.26cos(200t-3.04)$ lasciando acceso il GIT
quindi $v_{C_\infty}(t) = 73.42sin(200t-1.37) + 6.26cos(200t-3.04)$
.
E ora il mio dubbio...
Per quanto riguarda il regime transitorio per $t\geq 0$ come dovrei muovermi?
Nel caso di un solo generatore (come nel caso origine di questo thread) ho appreso essenzialmente che bisogna trovare l'equazione differenziale (ad esempio, nell'incognita $v_C$), calcolarne la soluzione generale e sommarla alla risposta di regime (ad esempio, $v_{C_\infty}$) per poi applicare le condizioni iniziali.
Ma ora che i generatori sono due, dovrei fare la stessa cosa due volte (per via della sovrapposizione degli effetti) e sommare i risultati?
.
Riporto, per completezza, la soluzione fornita dal docente...
... dove sono in dubbio riguardo il metodo utilizzato (apparentemente molto rapido) per la determinazione della risposta transitoria.
Non è la presenza di un unico generatore che ti ha costretto ad usare un'equazione differenziale per il precedente problema, ma è la presenza di due bipoli dinamici.
In questa seconda rete invece, essendo in presenza di un solo bipolo dinamico, per l'evoluzione della tensione su C, basta ricavare l'unico autovalore $\lambda$ associato alla rete, via resistenza equivalente "vista" dai morsetti del condensatore (a generatori "spenti") ed infine applicare la relazione notevole
$v_C(t)=[v_C(0)-v_{C \infty}(0)]e^{\lambda t}+v_{C\infty}(t)$
dimostrabile, una volta per tutte, semplicemente osservando che la soluzione completa può essere scritta come somma della risposta transitoria con quella a regime
$v_C(t)=c_1e^(lambda t}+v_{C\infty}(t)$
nella quale $c_1$ viene ricavato sfruttando la condizione iniziale.
NB Solo in presenza di generatori non isofrequenziali sarà indispensabile usare la sovrapposizione degli effetti per la determinazione la risposta a regime; esistono diversi altri metodi risolutivi.
BTW Per t<0, noto il fasore (a base cosinusoidale) della tensione, il valore per t=0 coincide con la sua parte reale; non serve il calcolo via modulo e argomento.
In questa seconda rete invece, essendo in presenza di un solo bipolo dinamico, per l'evoluzione della tensione su C, basta ricavare l'unico autovalore $\lambda$ associato alla rete, via resistenza equivalente "vista" dai morsetti del condensatore (a generatori "spenti") ed infine applicare la relazione notevole
$v_C(t)=[v_C(0)-v_{C \infty}(0)]e^{\lambda t}+v_{C\infty}(t)$
dimostrabile, una volta per tutte, semplicemente osservando che la soluzione completa può essere scritta come somma della risposta transitoria con quella a regime
$v_C(t)=c_1e^(lambda t}+v_{C\infty}(t)$
nella quale $c_1$ viene ricavato sfruttando la condizione iniziale.
NB Solo in presenza di generatori non isofrequenziali sarà indispensabile usare la sovrapposizione degli effetti per la determinazione la risposta a regime; esistono diversi altri metodi risolutivi.
BTW Per t<0, noto il fasore (a base cosinusoidale) della tensione, il valore per t=0 coincide con la sua parte reale; non serve il calcolo via modulo e argomento.
"RenzoDF":
Non è la presenza di un unico generatore che ti ha costretto ad usare un'equazione differenziale per il precedente problema ma è la presenza di due bipoli dinamici.
E se avessi avuto due bipoli dinamici e due generatori?
"RenzoDF":
$v_C(t)=[v_C(0)-v_{C \infty}(0)]e^{\lambda t}+v_{C\infty}(t)$
dimostrabile, una volta per tutte, semplicemente osservando che la soluzione può essere scritta come somma della risposta transitoria con quella a regime
$v_C(t)=c_1e^(lambda t}+v_{C\infty}(t)$
nella quale $c_1$ viene ricavato sfruttando la condizione iniziale.
Si dimostra quindi che $c_1 = v_C(0)-v_{C \infty}(0)$ in pratica
"DeltaEpsilon":
... E se avessi avuto due bipoli dinamici e due generatori? ...
Con n generatori sinusoidali isofrequenziali ed m bipoli dinamici, puoi determinare la risposta a regime via metodo fasoriale ed evitare di passare per l'equazione differenziale ricavandoti gli m autovalori, a generatori spenti, andando ad uguagliare a zero la somma delle due impedenze "viste" nelle due direzioni, da un qualsiasi taglio della rete, che la separi in due parti collegate da due sole connessioni, una volta sostituito a $j\omega$ una generica variabile, per esempio $s$.
Prova ad applicarlo al problema iniziale del thread.
"DeltaEpsilon":
... Si dimostra quindi che $c_1 = v_C(0)-v_{C \infty}(0)$ in pratica
Sì.
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