[Elettrotecnica] Potenza attiva assorbita da un bipolo
Ciao a tutti!
Non mi è chiara la formula usata in questo esercizio.
Il testo dell'esercizio è:
[fcd][FIDOCAD]
[FIDOCAD]
TY 95 55 4 3 0 0 0 * Z = 200+j300
MC 55 50 0 0 470
RV 90 45 75 75 0
LI 55 50 55 20 0
LI 55 20 80 20 0
LI 80 20 80 45 0
LI 55 105 55 70 0
LI 55 105 80 105 0
LI 80 105 80 75 0
TY 20 65 4 3 0 0 0 * V_(eff)=2[/fcd]
Poichè, nel caso si abbia a che fare con valori massimi, la formula per calcolare la potenza attiva assorbita dal bipolo è $P=\frac{1}{2}|V||I|cos(\angle V-\angle I)$ e poichè $A_{eff}=A_m/2$ (per una grandezza generica $A$),la formula dovrebbe essere $\frac{1}{2}|V_{eff}|2|I_{eff}|2cos(\angle V -\angle I)=2|V||I|cos(\angle V -\angle I)$
Invece la formula applicata per risolvere il problema è questa: $P=|E^2| Re[Y]$, dove $Y$ è l'ammettenza totale, quindi $|E^2| Re[Y]=|E^2| Re[\frac{1}{200+j300}]=...$.
Io non ho capito da dove viene questa formula. C'è qualcuno che può spiegarmelo?
Non mi è chiara la formula usata in questo esercizio.
Il testo dell'esercizio è:
Un bipolo di impedenza $Z=(200+j300) \Omega$ è alimentato da un generatore ideale di tensione di valore efficace $2V$. Si calcoli la potenza attiva $P$ assorbita dal bipolo.
[fcd][FIDOCAD]
[FIDOCAD]
TY 95 55 4 3 0 0 0 * Z = 200+j300
MC 55 50 0 0 470
RV 90 45 75 75 0
LI 55 50 55 20 0
LI 55 20 80 20 0
LI 80 20 80 45 0
LI 55 105 55 70 0
LI 55 105 80 105 0
LI 80 105 80 75 0
TY 20 65 4 3 0 0 0 * V_(eff)=2[/fcd]
Poichè, nel caso si abbia a che fare con valori massimi, la formula per calcolare la potenza attiva assorbita dal bipolo è $P=\frac{1}{2}|V||I|cos(\angle V-\angle I)$ e poichè $A_{eff}=A_m/2$ (per una grandezza generica $A$),la formula dovrebbe essere $\frac{1}{2}|V_{eff}|2|I_{eff}|2cos(\angle V -\angle I)=2|V||I|cos(\angle V -\angle I)$
Invece la formula applicata per risolvere il problema è questa: $P=|E^2| Re[Y]$, dove $Y$ è l'ammettenza totale, quindi $|E^2| Re[Y]=|E^2| Re[\frac{1}{200+j300}]=...$.
Io non ho capito da dove viene questa formula. C'è qualcuno che può spiegarmelo?
Risposte
Banalmente si sa che $\bar V=dot z* \bar I$ da cui
$\bar I=\bar V/dot z$
quindi essendo $P=\bar V *\bar I *cos(varphi)$
si sostituisce e si trova
$P=\bar V * \bar V/dot z *cos(varphi)$
il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del modulo...perciò...
A scanso di equivoci ti faccio un piccolo excursus storico sociale tecnico scientifico
La potenza di un bipolo come ben sai si calcola
$P(t)=v(t)*i(t)$ (occhio alle convenzioni)
si dimostra che in regime sinusoidale la potenza assorbita da un bipolo corrisponde alla somma di due aliquote: una con valore medio (in generale) non nullo che è la potenza attiva e uno con valore medio nullo ovvero la potenza reattiva.
essendo in regime sinusoidale si può agevolmente passare ai fasori corrispondenti e si può dimostrare che la potenza attiva e la potenza reattiva valgono rispettivamente
$P=\bar V *\bar I *cos(varphi)$
$Q=\bar V *\bar I *sin(varphi)$
dove $bar V$ e $\bar I$ sono i valori efficaci di $v(t)$ e $i(t)$
e $varphi$ è lo sfasamento tra tensione e corrente.
da qui si può immaginare che $P$ e $Q$ siano due cateti di un triangolo isoscele e quindi è lecito chiamare $A=sqrt(P^2+I^2)$ potenza apparente da cui salta fuori immediatamente
$A=\bar V*\bar I$
perciò non ti fissare su valori massimi quando lavori coi fasori.
Una volta passati da tensioni e correnti espresse nel dominio del tempo ai fasori corrispondenti non si parla più di valori massimi.
Quando ti sarà richiesto di ritornare al dominio del tempo allora sarà facile moltiplicare il valore efficace per $sqrt(2)$
$\bar I=\bar V/dot z$
quindi essendo $P=\bar V *\bar I *cos(varphi)$
si sostituisce e si trova
$P=\bar V * \bar V/dot z *cos(varphi)$
il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del modulo...perciò...
A scanso di equivoci ti faccio un piccolo excursus storico sociale tecnico scientifico
La potenza di un bipolo come ben sai si calcola
$P(t)=v(t)*i(t)$ (occhio alle convenzioni)
si dimostra che in regime sinusoidale la potenza assorbita da un bipolo corrisponde alla somma di due aliquote: una con valore medio (in generale) non nullo che è la potenza attiva e uno con valore medio nullo ovvero la potenza reattiva.
essendo in regime sinusoidale si può agevolmente passare ai fasori corrispondenti e si può dimostrare che la potenza attiva e la potenza reattiva valgono rispettivamente
$P=\bar V *\bar I *cos(varphi)$
$Q=\bar V *\bar I *sin(varphi)$
dove $bar V$ e $\bar I$ sono i valori efficaci di $v(t)$ e $i(t)$
e $varphi$ è lo sfasamento tra tensione e corrente.
da qui si può immaginare che $P$ e $Q$ siano due cateti di un triangolo isoscele e quindi è lecito chiamare $A=sqrt(P^2+I^2)$ potenza apparente da cui salta fuori immediatamente
$A=\bar V*\bar I$
perciò non ti fissare su valori massimi quando lavori coi fasori.
Una volta passati da tensioni e correnti espresse nel dominio del tempo ai fasori corrispondenti non si parla più di valori massimi.
Quando ti sarà richiesto di ritornare al dominio del tempo allora sarà facile moltiplicare il valore efficace per $sqrt(2)$
Quindi, nel problema in questione, calcolo la potenza nel dominio dei fasori (perchè si presuppone che si lavori in regime sinusoidale) e ottengo un valore $P=P_0$ espressa con i valori efficaci. Poi se voglio la potenza espressa in valori massimi, moltiplico $P_0$ per $\sqrt {2} $. È giusto?
no per la potenza assolutamente non funziona così.
tra l'altro, non vorrei dire una baggianata, quindi mi correggano i pro, il prodotto di due grandezze sinusoidali non è una grandezza sinusoidale (è periodica ma non è sinusoidale).
l'andamento della potenza in funzione del tempo è il seguente
considerando
$v(t)=V_(max)*sin(omega*t+\varphi_V)$
$i(t)=I_(max)*sin(omega*t+\varphi_I)$
$\varphi=\varphi_V-\varphi_I$
$P(t)=v(t)i(t)=1/2V_(max)I_(max)cos(\varphi)[1-cos(2omega t+2\varphi)]-1/2V_(max)I_(max)sin(\varphi)*sin(2omega t+2\varphi)$
subito salta all'occhio
$1/2V_(max)I_(max)cos(\varphi)$ che è la potenza attiva
$1/2V_(max)I_(max)sin(\varphi)$ che è la potenza reattiva
difatti se consideriamo i valori efficaci corrispondenti
$V_(eff)=V_(max)/sqrt(2)$
$I_(eff)=I_(max)/sqrt(2)$
quindi va da sé
$P_(\text{attiva})=V_(eff)I_(eff)cos(\varphi)$
$Q_(\text{reattiva})=V_(eff)I_(eff)sin(\varphi)$
quindi rettifico quanto scritto nel messaggio precedente:
Per passare dal fasore corrispondente di TENSIONE E/O CORRENTE alla funzione nel dominio del tempo bisogna moltiplicare per $sqrt(2)$ il valore efficace e moltiplicare per $sin(omegat+\varphi)$
tra l'altro, non vorrei dire una baggianata, quindi mi correggano i pro, il prodotto di due grandezze sinusoidali non è una grandezza sinusoidale (è periodica ma non è sinusoidale).
l'andamento della potenza in funzione del tempo è il seguente
considerando
$v(t)=V_(max)*sin(omega*t+\varphi_V)$
$i(t)=I_(max)*sin(omega*t+\varphi_I)$
$\varphi=\varphi_V-\varphi_I$
$P(t)=v(t)i(t)=1/2V_(max)I_(max)cos(\varphi)[1-cos(2omega t+2\varphi)]-1/2V_(max)I_(max)sin(\varphi)*sin(2omega t+2\varphi)$
subito salta all'occhio
$1/2V_(max)I_(max)cos(\varphi)$ che è la potenza attiva
$1/2V_(max)I_(max)sin(\varphi)$ che è la potenza reattiva
difatti se consideriamo i valori efficaci corrispondenti
$V_(eff)=V_(max)/sqrt(2)$
$I_(eff)=I_(max)/sqrt(2)$
quindi va da sé
$P_(\text{attiva})=V_(eff)I_(eff)cos(\varphi)$
$Q_(\text{reattiva})=V_(eff)I_(eff)sin(\varphi)$
quindi rettifico quanto scritto nel messaggio precedente:
Per passare dal fasore corrispondente di TENSIONE E/O CORRENTE alla funzione nel dominio del tempo bisogna moltiplicare per $sqrt(2)$ il valore efficace e moltiplicare per $sin(omegat+\varphi)$
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