[Elettrotecnica] Esercizio Elettrotecnica

[xneo1]

Salve a tutti, di seguito vi riporto un esercizio che ho provato a risolvere ma i risultati non combaciano con quelli della traccia.

Questo è lo schema iniziale:
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 50 60 0 0 490
MC 70 60 1 0 ihram.res
MC 75 45 0 0 ihram.res
MC 95 50 1 0 ihram.res
MC 75 20 0 0 ihram.res
MC 105 45 0 0 ihram.res
MC 125 60 1 0 ihram.res
MC 95 65 0 0 470
LI 50 60 50 45 0
LI 50 45 75 45 0
LI 70 60 70 45 0
LI 95 85 50 85 0
LI 50 85 50 80 0
LI 70 85 70 75 0
LI 90 45 105 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 125 60 0
LI 125 75 125 85 0
LI 125 85 95 85 0
LI 95 50 95 45 0
LI 95 45 95 20 0
LI 95 20 90 20 0
LI 90 20 90 20 0
LI 70 20 70 45 0
LI 70 20 75 20 0
MC 80 30 0 0 170
LI 95 30 90 30 0
LI 70 30 80 30 0
TY 55 75 4 3 0 1 0 * +
TY 60 70 4 3 0 0 0 * I
TY 75 65 4 3 0 0 0 * R6
TY 80 45 4 3 0 0 0 * R5
TY 80 30 4 3 0 0 0 * C
TY 80 15 4 3 0 0 0 * R4
TY 100 55 4 3 0 0 0 * R1
TY 105 75 4 3 0 0 0 * E1
TY 100 65 4 3 0 1 0 * +
TY 110 40 4 3 0 0 0 * R2
TY 130 65 4 3 0 0 0 * R3
SA 70 45 0
SA 95 45 0
SA 70 85 0
TY 65 40 4 3 0 1 0 * A
TY 100 40 4 3 0 1 0 * B
TY 70 85 4 3 0 1 0 * D
TY 15 5 4 3 0 0 0 * E1=1V, I=2A, R1=1Ω, R2=2Ω, R3=4Ω, R4=6Ω, R5=3Ω, R6=1Ω, C=1mF[/fcd]

L'esercizio mi chiede di calcolare l'energia immagazzinata nell'induttore e la potenza erogata dal generatore reale E1-R1.
I risultati sono rispettivamente 0.0022 J e 0.0471 W.

Il sistema è tempo invariante, perciò il condensatore si comporta come un circuito aperto, tuttavia la tensione Vc è la tensione VAB con verso scelto arbitrariamente.
Ora spiego come ho provato a risolvere.

Ho trasformato il generatore di corrente I con in parallelo il resistore R6 in un generatore di tensione E con in serie lo stesso resistore R6.
Chiamo Rp il parallelo tra R4 e R5 e chiamo RS1 la serie tra R2 e R3.

[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 70 50 1 0 ihram.res
MC 75 45 0 0 ihram.res
MC 95 50 1 0 ihram.res
MC 125 60 1 0 ihram.res
MC 95 65 0 0 470
LI 70 85 70 75 0
LI 90 45 105 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 125 60 0
LI 125 75 125 85 0
LI 125 85 95 85 0
LI 95 50 95 45 0
TY 60 70 4 3 0 0 0 * E
TY 60 55 4 3 0 0 0 * R6
TY 80 45 4 3 0 0 0 * Rp
TY 100 55 4 3 0 0 0 * R1
TY 105 75 4 3 0 0 0 * E1
TY 100 65 4 3 0 1 0 * +
TY 130 65 4 3 0 0 0 * RS1
SA 70 45 0
SA 95 45 0
SA 70 85 0
TY 65 40 4 3 0 1 0 * A
TY 100 40 4 3 0 1 0 * B
TY 70 85 4 3 0 1 0 * D
TY 65 30 4 3 0 0 0 * E=-2V, Rp=2Ω, RS1=6Ω
MC 70 65 0 0 470
LI 70 45 70 50 0
TY 75 65 4 3 0 1 0 * +
LI 75 45 70 45 0
LI 95 85 95 85 0
LI 95 85 70 85 0
LI 105 45 120 45 0[/fcd]

Posso ulteriormente semplificare chiamando RS2 la serie tra R6 e Rp

[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 70 50 1 0 ihram.res
MC 95 50 1 0 ihram.res
MC 125 60 1 0 ihram.res
MC 95 65 0 0 470
LI 70 85 70 75 0
LI 90 45 105 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 125 60 0
LI 125 75 125 85 0
LI 125 85 95 85 0
LI 95 50 95 45 0
TY 60 70 4 3 0 0 0 * E
TY 60 55 4 3 0 0 0 * RS2
TY 100 55 4 3 0 0 0 * R1
TY 105 75 4 3 0 0 0 * E1
TY 100 65 4 3 0 1 0 * +
TY 130 65 4 3 0 0 0 * RS1
SA 95 45 0
SA 70 85 0
TY 100 40 4 3 0 1 0 * B
TY 70 85 4 3 0 1 0 * D
TY 65 30 4 3 0 0 0 * RS2=3Ω
MC 70 65 0 0 470
LI 70 45 70 50 0
TY 75 65 4 3 0 1 0 * +
LI 75 45 70 45 0
LI 95 85 95 85 0
LI 95 85 70 85 0
LI 105 45 120 45 0
LI 75 45 90 45 0[/fcd]

Ora tutti i rami sono tra i nodi B e D, in parallelo, per cui applico il teorema di Millman.
Mi trovo la Vm che in questo caso coincide con la VBD.

\(\displaystyle Vm=((E/RS2)+(E1/R1))/((1/RS2)+(1/R1)+(1/RS1)) =0.22V \)

A questo punto posso calcolarmi la corrente che scorre in R1 e E1 applicando la seconda legge di Kirchhoff

[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 95 50 1 0 ihram.res
MC 95 65 0 0 470
LI 95 50 95 45 0
TY 100 55 4 3 0 0 0 * R1
TY 105 75 4 3 0 0 0 * E1
TY 100 65 4 3 0 1 0 * +
TY 115 40 4 3 0 1 0 * B
LI 95 85 95 85 0
LI 95 45 120 45 0
LI 95 85 120 85 0
SA 120 45 0
SA 120 85 0
TY 115 85 4 3 0 1 0 * D
TY 120 50 4 3 0 1 0 * +
TY 120 80 4 3 0 1 0 * -
LI 100 40 95 45 0
LI 95 45 100 50 0
TY 95 35 4 3 0 0 0 * I1
TY 120 65 4 3 0 0 0 * Vm[/fcd]

\(\displaystyle I1=(Vm-E1)/R1=-0.78A \)

A questo punto mi calcolo la potenza generata da E1:
\(\displaystyle PE1=E1*I1=1V*(-0.78A)=-0.78W \)
poi mi calcolo la potenza dissipata da R1:
\(\displaystyle PR1=R1*(I1)^2=1Ohm*(-0.78A)^2=0.61W \)

Quindi la potenza erogata dal generatore reale E1-R1 deve essere:
\(\displaystyle PE1-R1=PE1+PR1=-0.78W+0.61W=-0.17W \)

Ma il risultato non è quello riportato. Dove sbaglio?

[RenzoDF]

Direi che sbagli i segni, ovvero confondi potenze generate con quelle assorbite, ma segni a parte i tuoi calcoli mi sembrano corretti, e di conseguenza errati quelli ufficiali.

Quando vai a calcolare una potenza dal prodotto tensione corrente, otterrai una potenza erogata se per il bipolo è stata usata la "convenzione dei generatori" (ovvero corrente uscente dal morsetto assunto positivo per la tensione) o viceversa otterrai la potenza assorbita se, come in questo caso per il GIT, hai usato la "convenzione degli utilizzatori" (ovvero corrente entrante nel morsetto assunto positivo per la tensione).

Morale della favola: sono corrette sia la $V_m$ sia la $I_1$, ma per $E_1$ quella calcolata è una potenza assorbita (e quella erogata avrà segno opposto); la potenza calcolata su $R_1$ dal prodotto $RI^2$ è ovviamente assorbita dal bipolo resistore e quindi ne segue che la potenza erogata dal bipolo complessivo (serie di $E_1$ e $R_1$) sarà data dalla differenza $P_{E1}-P_{R1}$. Detta potenza poteva (alternativamente) essere direttamente calcolata dal prodotto $V_m(-I_1)$.

[xneo1]

Io ho usato la convenzione degli utilizzatori sia per calcolare la potenza di E1 sia per quella di R1.
In questo caso, per quanto riguarda E1, posso dire che ho una potenza generata di 0.78W o una potenza assorbita di -0.78W

[RenzoDF]

"xneo":Io ho usato la convenzione degli utilizzatori sia per calcolare la potenza di E1

Certo

"xneo":...sia per quella di R1.

Beh, visto che hai usato quella relazione, in questo caso la scelta era ininfluente ai fini del segno.

"xneo": In questo caso, per quanto riguarda E1, posso dire che ho una potenza generata di 0.78W o una potenza assorbita di -0.78W

Non c'è ombra di dubbio, era proprio questo che intendevo notando l'errore nello scambio dei segni.

[xneo1]

Ok,
Io per calcolare la potenza erogata scrivo sempre PE1+PR1, se il risultato viene minore di 0 allora si tratta di potenza erogata, altrimenti si tratta di potenza assorbita (sempre utilizzando la convenzione degli utilizzatori).

In questo caso a me è venuto come risultato -0.17 W.
Avrei dovuto essere più preciso e dire che la potenza erogata dal generatore reale è di 0.17 W.


Detto questo, per quanto riguarda il calcolo dell'energia immagazzinata nel condensatore, ho ragionato così:
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 95 50 1 0 ihram.res
MC 95 65 0 0 470
LI 95 50 95 45 0
TY 100 55 4 3 0 0 0 * RS2
TY 105 75 4 3 0 0 0 * E
TY 100 65 4 3 0 1 0 * +
TY 115 40 4 3 0 1 0 * B
LI 95 85 95 85 0
LI 95 45 120 45 0
LI 95 85 120 85 0
SA 120 45 0
SA 120 85 0
TY 115 85 4 3 0 1 0 * D
TY 120 50 4 3 0 1 0 * +
TY 120 80 4 3 0 1 0 * -
LI 100 40 95 45 0
LI 95 45 100 50 0
TY 95 35 4 3 0 0 0 * I2
TY 120 65 4 3 0 0 0 * Vm[/fcd]

Mi calcolo la corrente I2 che scorre in RS2,
\(\displaystyle I2=(Vm-E)/RS2 =1.11 A\)

siccome RS2 è la serie tra R6 e Rp, la corrente I2 è, quindi, anche la corrente che scorre in Rp.
La caduta di tensione di Rp la calcolo con la legge di Ohm, \(\displaystyle VRp=Rp*I2=2.22 V \);
Questa è anche la tensione Vab cambiata di segno (-2.22 V).

Ora posso calcolare l'energia immagazzinata dal condensatore:
\(\displaystyle Wc=1/2((Vab^2)*C)=2.46mJ=0.00246J \)

Il risultato si scosta di poco, però mi interesserebbe sapere se è giusto il ragionamento.

[RenzoDF]

"xneo":
Mi calcolo la corrente I2 che scorre in RS2,
\(\displaystyle I2=(Vm-E)/RS2 =1.11 A\)

Scusa ma se Vm=2/9V e E=-2V con RS2=3 ohm, non mi sembra che si arrivi a quel risultato ma a 20/27 di ampere.

[xneo1]

Ho sbagliato i calcoli.
Allora \(\displaystyle I2=2.22V/3 ohm=0.74 A \)

quindi la \(\displaystyle Vab=-1.48V \) e la \(\displaystyle Wc=1.09mJ \) e quindi \(\displaystyle 0.00109 J \).

Ma anche in questo caso il risultato non mi sembra corretto.

[RenzoDF]

"xneo":...
Ma anche in questo caso il risultato non mi sembra corretto.

Come ti dicevo nella prima risposta , a mio parere, i risultati ufficiali del testo sono entrambi errati.

[xneo1]

Ok, quello che mi interessa è che il metodo risolutivo sia giusto.
Grazie