[Elettrotecnica] Esercizio con analisi nodale

[Fenshu]

Buogiorno a tutti,
sto cercando di consolidare il procedimento per risolvere i circuiti lineari semplici con il metodo dei potenziali ai nodi. Ho un dubbio quando incontro un generatore di tensione.

[fcd="Schema"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 50 100 0 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 35 100 4 3 0 0 0 * 7
TY 40 100 4 3 0 0 0 * V
MC 125 85 1 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 125 75 4 3 0 0 0 * 3
TY 130 75 4 3 0 0 0 * V
MC 75 85 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 70 75 4 3 0 0 0 * 4
TY 75 75 4 3 0 0 0 * ohm
MC 185 100 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 190 100 4 3 0 0 0 * 6
TY 195 100 4 3 0 0 0 * ohm
MC 150 100 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 155 100 4 3 0 0 0 * 2
TY 160 100 4 3 0 0 0 * ohm
MC 100 100 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 105 100 4 3 0 0 0 * 3
TY 110 100 4 3 0 0 0 * ohm
LI 50 95 50 85 0
LI 50 85 70 85 0
LI 85 85 115 85 0
LI 130 85 185 85 0
LI 185 95 185 85 0
LI 185 110 185 115 0
LI 50 115 185 115 0
LI 50 115 50 110 0
LI 100 85 100 95 0
LI 100 110 100 115 0
LI 150 115 150 110 0
LI 150 95 150 85 0[/fcd]

L'obiettivo è identificare la tensione V sul resistore da 3ohm e la corrente $ I_4 $ usando il metodo potenziali ai nodi

Identificati i nodi ho disegnato le correnti basandomi sul verso delle tensioni:

[fcd="Info aggiuntive e correnti"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 50 150 0 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 35 150 4 3 0 0 0 * 7
TY 40 150 4 3 0 0 0 * V
MC 125 135 1 0 ey_libraries.genvis1
FCJ
TY 125 125 4 3 0 0 0 * 3
TY 130 125 4 3 0 0 0 * V
MC 75 135 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 70 125 4 3 0 0 0 * 4
TY 75 125 4 3 0 0 0 * ohm
MC 185 150 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 190 150 4 3 0 0 0 * 6
TY 195 150 4 3 0 0 0 * ohm
MC 150 150 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 155 150 4 3 0 0 0 * 2
TY 160 150 4 3 0 0 0 * ohm
MC 100 150 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 105 150 4 3 0 0 0 * 3
TY 110 150 4 3 0 0 0 * ohm
LI 50 145 50 135 0
LI 50 135 70 135 0
LI 85 135 115 135 0
LI 130 135 185 135 0
LI 185 145 185 135 0
LI 185 160 185 165 0
LI 50 165 185 165 0
LI 50 165 50 160 0
LI 100 135 100 145 0
LI 100 160 100 165 0
LI 150 165 150 160 0
LI 150 145 150 135 0
MC 75 140 0 0 074
FCJ
TY 80 140 4 3 0 0 0 * I1
TY 95 145 4 3 0 0 0 *
MC 95 150 1 0 074
FCJ
TY 90 155 4 3 0 0 0 * I2
TY 80 170 4 3 0 0 0 *
MC 120 145 0 0 074
FCJ
TY 125 145 4 3 0 0 0 * I3
TY 100 150 4 3 0 0 0 *
MC 145 150 1 0 074
FCJ
TY 140 155 4 3 0 0 0 * I4
TY 85 175 4 3 0 0 0 *
MC 180 150 1 0 074
FCJ
TY 175 155 4 3 0 0 0 * I5
TY 90 180 4 3 0 0 0 *
SA 100 135 0
SA 150 135 0
TY 100 130 4 3 0 0 0 * A
TY 150 130 4 3 0 0 0 * B
MC 125 165 0 0 ey_libraries.refpnt5
SA 100 165 0
SA 150 165 0
TY 60 150 4 3 0 0 0 * C
TY 150 165 4 3 0 0 0 * C
TY 100 165 4 3 0 0 0 * C[/fcd]

Di conseguenza la KCL al nodo A sarà:
$ I_1=I_2+I_3 $

Al nodo B ho scritto
$ I_3=I_4+I_5 $

La corrente $I_3$ va da A verso B, quindi $V_A-V_B+3$ ($+3V$ perchè la tensione cresce verso B).
Di conseguenza ho scritto le seguenti equazioni ai nodi:

Nodo A
$ (V_C-V_A+7)/4=(V_A-V_C)/3+V_A-V_B+3 $

Nodo B
$ V_A-V_B+3=(V_B-V_C)/2+(V_B-V_C)/6 $

Prima di andare oltre con lo svolgimento, è giusta la logica ed il segno rispetto i generatori di tensione?
Grazie!

[RenzoDF]

Scusa ma le tue equazioni non le capisco proprio, equazioni che mancano poi di coerenza dimensionale; non puoi uguagliare correnti a tensioni.

Visto che collegandolo a massa hai scelto di considerare come nodo di riferimento C, il potenziale VC di C lo prenderai (per "convenienza") come riferimento a zero, ovvero VC=0, di conseguenza le uniche due vere incognite sono i potenziali VA e VB.

Ti faccio però notare che, grazie al GIT che collega A con B, avrai che

$V_B=V_A+3\ \text{V}$

ne segue che ti servirà una sola altra equazione per risolvere che, vista la topologia della rete, non può che essere la KCL al nodo inferiore o, equivalentemente, al supernodo che include i nodi A e B e il ramo con il GIT da 3 volt

[Fenshu]

Grazie per la risposta @RenzoDF, rivedrò la teoria dell'argomento dall'inizio.
La spiegazione del supernodo è al successivo capitolo, non è stato ancora spiegato dal testo.
Grazie.

[RenzoDF]

Non conoscendo il "supernodo" puoi comunque scrivere la KCL al nodo C, ovvero

$ -I_1+I_2+I_4+I_5=0 $

che, scritta in funzione dei potenziali $V_A$ e $V_B$ (ricordando che $V_C=0$), porterà al seguente sistema

$\{(V_B=V_A+3),(-((7-V_A)/4)+V_A/3+V_B/2+V_B/6=0) :}$

[Fenshu]

Buongiorno Renzo,
si grazie, tutto chiaro. Ho comunque visto la teoria, e risolto l'esercizio.
$ KCL: (V_C-V_A+7)/4=(V_B-V_C)/3+(V_B-V_C)/2+(V_B-V_C)/6 $
$ KVL: V_B-V_A=3$
$ V_A=V_B-3 $
Proseguendo con i calcoli ottengo i risultati corretti.
Grazie 1000.