[Elettrotecnica] Esercizio circuito equivalente di Thevenin

[Jack871]

Ciao!

Sto cercando di ricavare la rappresentazione equivalente di Thevenin del seguente circuito:



dove il trasformatore è ideale.

Ho pensato di procedere applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, sostituendo i generatori di corrente con dei circuiti aperti.

Aprendo il generatore controllato trovo:

$i_a' = 10/(10+20) 3 = 10/30 3 = 1 A$

$v_0' = 0$

Aprendo il generatore indipendente trovo:

$i_a'' = -10/(10+20) hat(a) = -1/3 hat(a)$

dove $hat(a) = 5 i_a$

$v_0'' = v_2 = -1/10 v_1 = ...$ (mi blocco)

dove $v_1$ e $v_2$ sono le tensioni viste alle porte, rispettivamente, a sinistra e a destra del trasformatore.

Ricavo:

$i_a = i_a' + i_a'' = 1 - 1/3 5 i_a$

$(1 + 5/3) i_a = 1$

$i_a = 3/8 A$


$v_0 = v_0' + v_0'' = ... $

Almeno la corrente $i_a$ dovrebbe essere corretta, mentre per la tensione a vuoto mi servirebbe una mano, grazie!

Poi ci sarebbe da calcolare la resistenza equivalente. Potrei procedere nel modo seguente: annullo il generatore indipendente, attivo la rete con un ingresso costituito da un generatore fittizio di corrente e calcolo la tensione. A questo punto ricavo la resistenza equivalente come rapporto tra la tensione ricava e la corrente fittizia. Giusto?

Grazie mille!

[RenzoDF]

"Jack87":Almeno la corrente $i_a$ dovrebbe essere corretta,

Direi di no.

Avrei cominciato con lo scrivere che

$$i_a=-5i_a$$

e quindi ...

[Jack871]

Grazie per la risposta!

Chiedo scusa, ho commesso un errore nel riportare lo schema del circuito: la corrente $i_a$ è quella che scorre sul resistore in alto da $10 \ Omega$.

Quindi lo schema corretto è il seguente:



Inoltre ho commesso un errore anche per quanto riguarda il (solo abbozzato) calcolo di $v_0''$, ovvero la tensione a vuoto ottenuta quando il generatore indipendente di corrente viene sostituito da un circuito aperto.

Infatti, le relazioni costitutive del trasformatore ideale sono

${( v_1 = K \ v_2 ),( i_2 = - K \ i_1 ):}$

e perciò risulta

$v_0'' = v_2 = 1/10 \ v_1 = ...$


Ora ho pensato di procedere in questo modo:

$v_1 = v_hat(a) + (20$ $||$ $10) \ hat(a)$

dove $v_hat(a)$ rappresenta la tensione ai capi del generatore controllato di corrente (convenzione normale) e poiché tale generatore è ideale, posso porre $v_hat(a) = 0$ (giusto!?). Dunque

$v_1 = 0 + (20 * 10)/(30) * 5 \ i_A = 100/3 \ i_A$

da cui trovo che

$v_0'' = 1/10 * 100/3 \ i_A = 10/3 \ i_A$

Infine, ricordando i valori calcolati in precedenza ($i_A = 3/8$, $v_0' = 0$), si ha

$v_0 = v_0' + v_0'' = 0 + 10/3 * 3/8 = 5/4$


Cosa dite? Grazie mille!

[RenzoDF]

Per quanto riguarda la corrente ok, io avrei più semplicemente risolto osservando (via KCL) come, una corrente di $6ia=i_a+5i_a$ vada a scorrere verso il basso nei 10 ohm, portando (via KVL) ad avere una tensione pari a $70i_a$ ai morsetti del GIC e quindi $7i_a$ nel resistore sinistro, che permette di scrivere $8i_a=3A$.

Per quanto riguarda la tensione a vuoto, non riesco a capire il tuo procedimento, e quindi ti espongo la mia idea risolutiva.
Indicata con $x$ la tensione ai morsetti destri del trasformatore ideale, possiamo scrivere la corrente entrante nella porta destra dello stesso, via Ohm sul resistore superiore da 50 ohm, come $(10x-x)/50=9/50 x$ (grazie alla prima equazione costitutiva) e di conseguenza quella uscente alla porta sinistra del trasformatore ideale (via seconda equazione costitutiva), come $9/500 x$ che, grazie ad una KCL a sinistra,
$$\frac{15}{8}=\frac{9x}{500}-\frac{9x}{50}$$
permette di determinare la tensione $x$ incognita.

BTW Corretto è anche il metodo da te indicato nel primo post per determinare la resistenza equivalente, ma ti consiglio di usare un GIT fittizio, non un GIC.

[Jack871]

Chiedo scusa per il ritardo nella risposta.

Innanzi tutto grazie per l'aiuto!

Vediamo se ho ben interpretato il tuo suggerimento.

Considerando ancora la rete con il generatore indipendente sostituito da un circuito aperto e utilizzando il valore ricavato per $i_A = 3/8$, posso ridisegnare il circuito così:



Scrivo la KVL alla maglia costituita dai nodi 1, 2, 1' = 2' del trasformatore:

$v_{12} + v_2 - v_1 = 0$

$50 \ i_B + v_2 - 10 \ v_2 = 0$

$9 \ v_2 = 50 \ i_B$

$v_2 = 50/9 \ i_B$

Dalla KCL al nodo 2 si ricava:

$i_2 = i_B + i = i_B + 0$

$i_2 = i_B$

Ora scrivo la KCL al nodo 1:

$15/8 + i_1 + i_B = 0$

$15/8 - i_2/10 + i_2 = 0$

$9/10 \ i_2 = -15/8$

$i_2 = -150/72 = -25/12$

Quindi

$v_2 = 50/9 \ i_B = 50/9 \ i_2 = 50/9 * (-25/12) = -625/54$

Dove $v_2$ è la tensione ai capi del generatore nella rappresentazione Thevenin del circuito.


Ora resta da calcolare la resistenza equivalente. Ho provato a ripetere i passaggi precedenti ponendo questa volta la corrente in ingresso $i != 0$ ma non riesco ad uscirne!

Grazie ancora per l'aiuto!

[RenzoDF]

Come ti dicevo io avrei usato un GIT unitario per forzare la porta destra, ottenendo una v1=10, una i1= -9/50, una i2=9/5 e infine una i = i1+i2=81/50, ovvero una Rth=50/81 ohm, ad ogni modo puoi anche partire da una i=1 , usare una KCL al nodo destro, una KVL alla maglia esterna e le due equazioni costitutive, per ottenere lo stesso risultato.

Alternativamente, puoi ricavare la corrente di corto circuito del circuito completo notando come in questo caso v1=v2=0 e di conseguenza: corrente nulla nel resistore, i1=-15/8, Icc=-i2=150/8.
Ne seguirà che Rth=Eth/Icc=50/81 ohm.