[Elettrotecnica] Circuito regime dinamico
Salve,
vorrei una mano con il seguente circuito in regime dinamico:
[fcd="circuito"][FIDOCAD]
EV 25 35 35 45
LI 25 40 35 40
LI 30 35 30 25
LI 30 25 55 25
LI 55 25 55 30
LI 55 30 60 35
LI 60 35 55 40
LI 55 40 60 45
LI 60 45 55 50
LI 55 50 55 55
LI 55 55 30 55
LI 30 55 30 45
LI 55 25 70 25
LI 55 55 60 55
LI 70 25 75 20
LI 75 20 80 25
LI 80 25 85 20
LI 85 20 90 25
LI 90 25 140 25
LI 140 25 140 30
LI 140 30 145 35
LI 145 35 140 40
LI 140 40 145 45
LI 145 45 140 50
LI 140 50 140 55
LI 140 55 90 55
LI 90 55 90 50
LI 90 60 90 55
LI 85 50 85 60
LI 60 55 85 55
LI 95 25 100 30
LI 100 30 105 30
LI 105 30 105 35
LI 105 35 110 35
LI 110 35 110 40
LI 110 40 115 40
LI 115 40 115 45
LI 115 45 125 55
TY 20 35 5 3 0 0 0 * i
TY 50 35 5 3 0 0 0 * R3
TY 75 15 5 3 0 0 0 * R2
TY 115 35 5 3 0 0 0 * R5
TY 85 60 5 3 0 0 0 * C
EV 120 20 130 30
TY 125 15 5 3 0 0 0 * E[/fcd]
ho semplificato la parte sx "trasformando"il generatore di corrente in parallelo con la resistenza R3 in un generatore di tensione $E'=iR_3$ in serie con la resistenza R3.
[fcd="circuito semplificato"][FIDOCAD]
LI 75 85 80 80
LI 80 80 85 85
LI 85 85 90 80
LI 90 80 95 85
LI 95 85 145 85
LI 145 85 145 90
LI 145 90 150 95
LI 150 95 145 100
LI 145 100 150 105
LI 150 105 145 110
LI 145 110 145 115
LI 145 115 95 115
LI 95 115 95 110
LI 95 120 95 115
LI 90 110 90 120
LI 65 115 90 115
LI 100 85 105 90
LI 105 90 110 90
LI 110 90 110 95
LI 110 95 115 95
LI 115 95 115 100
LI 115 100 120 100
LI 120 100 120 105
LI 120 105 130 115
LI 75 85 65 85
LI 65 85 65 90
LI 65 90 60 95
LI 60 95 65 100
LI 65 100 65 115
EV 60 100 70 110
TY 150 90 5 3 0 0 0 * R4
TY 115 95 5 3 0 0 0 * R5
TY 85 75 5 3 0 0 0 * R2
TY 55 85 5 3 0 0 0 * R3
TY 55 100 5 3 0 0 0 * E'
TY 90 120 5 3 0 0 0 * C
EV 125 80 135 90
TY 130 75 5 3 0 0 0 * E[/fcd]
Detto questo, non procedo con altre semplificazioni perchè viene richiesta la tensione su resistore R5 e la corrente sul condensatore.
allora il regime è stazionario per t<0 e sinusoidale per t>0; $R_2=2; R_3=R_4=R_5=5$
allora cominciamo con la risoluzione.
Per t<0 il regime è stazionario, quindi in condensatore si comporta con un circuito aperto, per cui la corrente che lo attraversa sarà nulla qualunque sia la tensione ai suoi capi.
allora il primo passo dovrebbe essere $I_c(0^-)=0$.
Ora devo calcolare la tensione ai morsetti del circuito aperto.
Concordate che tale tensione sarà data da:
$V_c=E'+IR_5=180v$
Procedo con il calcolare la corrente sul resistore R_5.
Dato che il circuito di sx è aperto , in esso non scorrerà alcuna corrente , mentre nel circuito di dx ci sarà un'unica corrente , quindi la resistenza R4 e R5 sono in parallelo.
Quindi applicando la LKT alla maglia di dx otteniamo che :
$I=E/(R_4+R_5)=25A$.
Allora la tensione si resistore R5 sarà $V_(R_5)=IR_5=100V$
Dunque la mia condizione iniziale per poter risolvere il transitorio è :
$V_c(0^-)=V_c(0+)=V_c(0)=180V$
ora possiamo risolvere per t>0
abbiamo $e(t)=200sen(\omegat)$ e $i(t)=20sen(\omegat+\pi/2)$
Utilizzando le notazioni fasoriali abbiamo:
$E=200$
$I=20j$
da cui $E'=80j$
allora applicando le leggi di kirchoff ricavo la tensione su condensatore che vale:
$V_c(t)=Ke^(5t)+100-80j$
Imponendo la condizione iniziale ottengo la constante K:
$V_c(t)=(80+80j)e^(5t)+100-80j$
ora come ricavo la corrente che attraversa il condensatore?
avevo pensato di derivare la relazione di $V_c(t)$ e moltiplicarla per la capacità C=0.25mF
in poche parole utilizzare la caratteristica del condensatore: $I_c=C(dV_c)/dt$
Che ne pensate ? è corretto ?
vorrei una mano con il seguente circuito in regime dinamico:
[fcd="circuito"][FIDOCAD]
EV 25 35 35 45
LI 25 40 35 40
LI 30 35 30 25
LI 30 25 55 25
LI 55 25 55 30
LI 55 30 60 35
LI 60 35 55 40
LI 55 40 60 45
LI 60 45 55 50
LI 55 50 55 55
LI 55 55 30 55
LI 30 55 30 45
LI 55 25 70 25
LI 55 55 60 55
LI 70 25 75 20
LI 75 20 80 25
LI 80 25 85 20
LI 85 20 90 25
LI 90 25 140 25
LI 140 25 140 30
LI 140 30 145 35
LI 145 35 140 40
LI 140 40 145 45
LI 145 45 140 50
LI 140 50 140 55
LI 140 55 90 55
LI 90 55 90 50
LI 90 60 90 55
LI 85 50 85 60
LI 60 55 85 55
LI 95 25 100 30
LI 100 30 105 30
LI 105 30 105 35
LI 105 35 110 35
LI 110 35 110 40
LI 110 40 115 40
LI 115 40 115 45
LI 115 45 125 55
TY 20 35 5 3 0 0 0 * i
TY 50 35 5 3 0 0 0 * R3
TY 75 15 5 3 0 0 0 * R2
TY 115 35 5 3 0 0 0 * R5
TY 85 60 5 3 0 0 0 * C
EV 120 20 130 30
TY 125 15 5 3 0 0 0 * E[/fcd]
ho semplificato la parte sx "trasformando"il generatore di corrente in parallelo con la resistenza R3 in un generatore di tensione $E'=iR_3$ in serie con la resistenza R3.
[fcd="circuito semplificato"][FIDOCAD]
LI 75 85 80 80
LI 80 80 85 85
LI 85 85 90 80
LI 90 80 95 85
LI 95 85 145 85
LI 145 85 145 90
LI 145 90 150 95
LI 150 95 145 100
LI 145 100 150 105
LI 150 105 145 110
LI 145 110 145 115
LI 145 115 95 115
LI 95 115 95 110
LI 95 120 95 115
LI 90 110 90 120
LI 65 115 90 115
LI 100 85 105 90
LI 105 90 110 90
LI 110 90 110 95
LI 110 95 115 95
LI 115 95 115 100
LI 115 100 120 100
LI 120 100 120 105
LI 120 105 130 115
LI 75 85 65 85
LI 65 85 65 90
LI 65 90 60 95
LI 60 95 65 100
LI 65 100 65 115
EV 60 100 70 110
TY 150 90 5 3 0 0 0 * R4
TY 115 95 5 3 0 0 0 * R5
TY 85 75 5 3 0 0 0 * R2
TY 55 85 5 3 0 0 0 * R3
TY 55 100 5 3 0 0 0 * E'
TY 90 120 5 3 0 0 0 * C
EV 125 80 135 90
TY 130 75 5 3 0 0 0 * E[/fcd]
Detto questo, non procedo con altre semplificazioni perchè viene richiesta la tensione su resistore R5 e la corrente sul condensatore.
allora il regime è stazionario per t<0 e sinusoidale per t>0; $R_2=2; R_3=R_4=R_5=5$
allora cominciamo con la risoluzione.
Per t<0 il regime è stazionario, quindi in condensatore si comporta con un circuito aperto, per cui la corrente che lo attraversa sarà nulla qualunque sia la tensione ai suoi capi.
allora il primo passo dovrebbe essere $I_c(0^-)=0$.
Ora devo calcolare la tensione ai morsetti del circuito aperto.
Concordate che tale tensione sarà data da:
$V_c=E'+IR_5=180v$
Procedo con il calcolare la corrente sul resistore R_5.
Dato che il circuito di sx è aperto , in esso non scorrerà alcuna corrente , mentre nel circuito di dx ci sarà un'unica corrente , quindi la resistenza R4 e R5 sono in parallelo.
Quindi applicando la LKT alla maglia di dx otteniamo che :
$I=E/(R_4+R_5)=25A$.
Allora la tensione si resistore R5 sarà $V_(R_5)=IR_5=100V$
Dunque la mia condizione iniziale per poter risolvere il transitorio è :
$V_c(0^-)=V_c(0+)=V_c(0)=180V$
ora possiamo risolvere per t>0
abbiamo $e(t)=200sen(\omegat)$ e $i(t)=20sen(\omegat+\pi/2)$
Utilizzando le notazioni fasoriali abbiamo:
$E=200$
$I=20j$
da cui $E'=80j$
allora applicando le leggi di kirchoff ricavo la tensione su condensatore che vale:
$V_c(t)=Ke^(5t)+100-80j$
Imponendo la condizione iniziale ottengo la constante K:
$V_c(t)=(80+80j)e^(5t)+100-80j$
ora come ricavo la corrente che attraversa il condensatore?
avevo pensato di derivare la relazione di $V_c(t)$ e moltiplicarla per la capacità C=0.25mF
in poche parole utilizzare la caratteristica del condensatore: $I_c=C(dV_c)/dt$
Che ne pensate ? è corretto ?
Risposte
Senza avere a disposizione tutti i dati del problema e le convenzioni scelte per correnti e tensioni, non mi metto a controllare i tuoi calcoli, ad ogni modo non puoi di certo sommare grandezze temporali a grandezze fasoriali.
Ripeto, se postate il testo integrale ricevere (almeno da parte mia) un aiuto sarà molto difficile.
Ripeto, se postate il testo integrale ricevere (almeno da parte mia) un aiuto sarà molto difficile.
Hai Ragione,
posto il testo completo:
La rete è in regime stazionario per t<0: $e(t)=E; i(t)=I$
per t>0 i generatori diventano: $e(t)=Esen(\omegat)$ e $i(t)=Isen(\omegat+\pi/2)$
E=200v; I=20A; $R_2=2 ;R_3=R_4=R_5=4$ e C=0.25mF
Si chiede di determinare l'intensita di corrente che circola nel condensatore e la tensione ai capi della resistenza R5.
per quanto riguarda le convenzioni posto il circuito:
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 135 75 140 70
LI 140 70 145 75
LI 145 75 150 70
LI 150 70 155 75
LI 155 75 205 75
LI 205 75 205 80
LI 205 80 210 85
LI 210 85 205 90
LI 205 90 210 95
LI 210 95 205 100
LI 205 100 205 105
LI 205 105 155 105
LI 155 105 155 100
LI 155 110 155 105
LI 150 100 150 110
LI 125 105 150 105
LI 160 75 165 80
LI 165 80 170 80
LI 170 80 170 85
LI 170 85 175 85
LI 175 85 175 90
LI 175 90 180 90
LI 180 90 180 95
LI 135 75 125 75
LI 125 75 125 80
LI 125 80 120 85
LI 120 85 125 90
LI 125 90 125 105
EV 120 90 130 100
TY 210 80 5 3 0 0 0 * R4
TY 175 85 5 3 0 0 0 * R5
TY 145 65 5 3 0 0 0 * R2
TY 115 75 5 3 0 0 0 * R3
TY 115 90 5 3 0 0 0 * E'
TY 150 110 5 3 0 0 0 * C
EV 185 70 195 80
TY 190 65 5 3 0 0 0 * E
LI 110 100 110 90
LI 110 90 105 95
LI 110 90 115 95
LI 185 60 195 60
LI 195 60 190 55
LI 195 60 190 65
LI 135 75 130 70
LI 130 80 135 75
LI 180 95 190 105
LI 185 100 185 95
LI 180 100 185 100
LI 180 75 175 70
LI 180 75 175 80
LI 165 105 170 110
LI 165 105 170 100
TY 120 65 5 3 0 0 0 * Ic
TY 165 70 5 3 0 0 0 * I4
TY 185 95 5 3 0 0 0 * I5
TY 170 105 5 3 0 0 0 * Ic[/fcd]
Grazie!
posto il testo completo:
La rete è in regime stazionario per t<0: $e(t)=E; i(t)=I$
per t>0 i generatori diventano: $e(t)=Esen(\omegat)$ e $i(t)=Isen(\omegat+\pi/2)$
E=200v; I=20A; $R_2=2 ;R_3=R_4=R_5=4$ e C=0.25mF
Si chiede di determinare l'intensita di corrente che circola nel condensatore e la tensione ai capi della resistenza R5.
per quanto riguarda le convenzioni posto il circuito:
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 135 75 140 70
LI 140 70 145 75
LI 145 75 150 70
LI 150 70 155 75
LI 155 75 205 75
LI 205 75 205 80
LI 205 80 210 85
LI 210 85 205 90
LI 205 90 210 95
LI 210 95 205 100
LI 205 100 205 105
LI 205 105 155 105
LI 155 105 155 100
LI 155 110 155 105
LI 150 100 150 110
LI 125 105 150 105
LI 160 75 165 80
LI 165 80 170 80
LI 170 80 170 85
LI 170 85 175 85
LI 175 85 175 90
LI 175 90 180 90
LI 180 90 180 95
LI 135 75 125 75
LI 125 75 125 80
LI 125 80 120 85
LI 120 85 125 90
LI 125 90 125 105
EV 120 90 130 100
TY 210 80 5 3 0 0 0 * R4
TY 175 85 5 3 0 0 0 * R5
TY 145 65 5 3 0 0 0 * R2
TY 115 75 5 3 0 0 0 * R3
TY 115 90 5 3 0 0 0 * E'
TY 150 110 5 3 0 0 0 * C
EV 185 70 195 80
TY 190 65 5 3 0 0 0 * E
LI 110 100 110 90
LI 110 90 105 95
LI 110 90 115 95
LI 185 60 195 60
LI 195 60 190 55
LI 195 60 190 65
LI 135 75 130 70
LI 130 80 135 75
LI 180 95 190 105
LI 185 100 185 95
LI 180 100 185 100
LI 180 75 175 70
LI 180 75 175 80
LI 165 105 170 110
LI 165 105 170 100
TY 120 65 5 3 0 0 0 * Ic
TY 165 70 5 3 0 0 0 * I4
TY 185 95 5 3 0 0 0 * I5
TY 170 105 5 3 0 0 0 * Ic[/fcd]
Grazie!
Manca $\omega$ ...
Un paio di considerazioni preliminari: ok per la tensione iniziale su C mentre non serviva andare a calcolarsi la corrente su R5 per t < 0 in quanto non essendo una grandezza di stato potrà presentare discontinuità nel passaggio da t=0- a t=0+ e inoltre ti chiedo come hai calcolato quella costante di tempo (0.2 s) per la caduta esponenziale del transitorio?
Un paio di considerazioni preliminari: ok per la tensione iniziale su C mentre non serviva andare a calcolarsi la corrente su R5 per t < 0 in quanto non essendo una grandezza di stato potrà presentare discontinuità nel passaggio da t=0- a t=0+ e inoltre ti chiedo come hai calcolato quella costante di tempo (0.2 s) per la caduta esponenziale del transitorio?
$\omega=1000(rad)/s$
la corrente $I_5$ l ho calcolata per conoscere la tensione su $R_5$; ma , concordo sul fatto che è superflua.
Detto questo, per quanto riguarda la costante di tempo , l ho ricavata analiticamente, cioè dal sistema di kirchoff ho ottenuto un equazione differenziale , e risolvendola ho ottenuto la costante di tempo.
l equazione differenziale che ho ottenuto è:
$(dV_c)/dt-5V_c=400j-500$
la corrente $I_5$ l ho calcolata per conoscere la tensione su $R_5$; ma , concordo sul fatto che è superflua.
Detto questo, per quanto riguarda la costante di tempo , l ho ricavata analiticamente, cioè dal sistema di kirchoff ho ottenuto un equazione differenziale , e risolvendola ho ottenuto la costante di tempo.
l equazione differenziale che ho ottenuto è:
$(dV_c)/dt-5V_c=400j-500$
"sici_90":
... per quanto riguarda la costante di tempo , l ho ricavata analiticamente, cioè dal sistema di kirchoff ho ottenuto un equazione differenziale , e risolvendola ho ottenuto la costante di tempo.
Prima di tutto te lo chiedevo perché con una rete come la tua non credo proprio sia possibile un'esponente positivo e poi anche perché la costante di tempo è direttamente ricavabile dall'ispezione della rete, ovvero dal notare che la resistenza "vista" dai morsetti del condensatore è pari a 6+2=8 ohm.
Da un veloce calcolo (senza dubbio da ricontrollare) non concordo poi sulla tua soluzione fasoriale per la tensione su C a regime che, ripeto, non puoi sommare al termine transitorio perché sono soluzioni che appartengono a due "mondi" diversi: quello fasoriale e quello temporale.
Ok, per quanto riguarda la costante di tempo, ho ricontrollato i calcoli; ed è negativo.
Per il resto non mi è chiaro quello a cui ti riferisci.
la tensione sul condensatore è la soluzione dell'equazione differenziale!?
Mi potresti spiegare meglio a cosa ti riferisci?
Grazie mille!
Per il resto non mi è chiaro quello a cui ti riferisci.
la tensione sul condensatore è la soluzione dell'equazione differenziale!?
Mi potresti spiegare meglio a cosa ti riferisci?
Grazie mille!
"sici_90":
Ok, per quanto riguarda la costante di tempo, ho ricontrollato i calcoli; ed è negativo.
Ok, ma io trovo anche un valore diverso, ovvero, visto che mi sembra di valutare in 8 ohm la resistenza equivalente vista da C, avremo che
$\tau=R_{eq}C=2 ms$
"sici_90":
... Per il resto non mi è chiaro quello a cui ti riferisci.
la tensione sul condensatore è la soluzione dell'equazione differenziale!?
La soluzione dell'equazione differenziale sarà somma di un integrale generale dell'omogenea associata e di un integrale particolare della non omogenea, ma questa somma sarà fra funzioni del tempo, non fra una funzione del tempo e un termine fasoriale.
Intendo quindi dire che prima di sommare la soluzione particolare, per la quale possiamo usare la vC(t) a regime, dovremo prima trasformare detta soluzione a regime dal dominio fasoriale a quello temporale.
Ora, dicevo che, oltre a questo "particolare", dai miei calcoli (che possono anche essere errati) non trovo lo stesso tuo fasore, se quel 400-j500, rappresenta la VC a regime e d'altronde non vedo come la tensione su C possa essere superiore alla somma dei moduli dei due generatori in un circuito del primo ordine.
Allora vediamo un pò:
Ho sbagliato unità di misura della capacità.
detto questo mi trovo con il tuo valore della costante $\tau$.
e concordo anche sul fatto che l equazione differenziale è sbagliata.
scrivo quella che ho appena ricavato:
$(dV_c)/dt+(V_c)/0.002=(100+80j)/0.002$
questa equazione differenziale avrà una soluzione del tipo:
$V_c(t)=Ke^(-t/0.002)+V_(cp)$
ora , a quanto ho capito, il problema è questo integrale particolare.
se io metto la mia equazione differenziale in wolfram, così com'è , ottengo la soluzione:
$V_c(t)=Ke^(-500t)+100+800j$
che a quanto ho capito non è una forma corretta giusto?
Ho sbagliato unità di misura della capacità.
detto questo mi trovo con il tuo valore della costante $\tau$.
e concordo anche sul fatto che l equazione differenziale è sbagliata.
scrivo quella che ho appena ricavato:
$(dV_c)/dt+(V_c)/0.002=(100+80j)/0.002$
questa equazione differenziale avrà una soluzione del tipo:
$V_c(t)=Ke^(-t/0.002)+V_(cp)$
ora , a quanto ho capito, il problema è questo integrale particolare.
se io metto la mia equazione differenziale in wolfram, così com'è , ottengo la soluzione:
$V_c(t)=Ke^(-500t)+100+800j$
che a quanto ho capito non è una forma corretta giusto?
Provo per l'ultima volta:
1) non puoi scrivere una equazione differenziale dove compaia un fasore e tantomeno puoi usarlo per scrivere l'integrale generale della stessa
Devi prima trasformare il fasore in una funzione del tempo, e sono certo che sai come si fa; non è altro che il procedimento inverso che usi per passare dalla funzione del tempo al corrispondente fasore.
2) potresti postare il metodo usato per ricavare quel fasore?
1) non puoi scrivere una equazione differenziale dove compaia un fasore e tantomeno puoi usarlo per scrivere l'integrale generale della stessa
Devi prima trasformare il fasore in una funzione del tempo, e sono certo che sai come si fa; non è altro che il procedimento inverso che usi per passare dalla funzione del tempo al corrispondente fasore.
2) potresti postare il metodo usato per ricavare quel fasore?
allora scrivo un'ultima formula!
$(dv_c)/dt+500V_c=40000cos(\omegat)+50000sen(\omegat)$
dovrebbe essere l'equazione differenziale definitiva!?
$(dv_c)/dt+500V_c=40000cos(\omegat)+50000sen(\omegat)$
dovrebbe essere l'equazione differenziale definitiva!?
Vedendo che preferisci sparare delle soluzioni senza rispondere alle richieste di chiarimento lascio il thread.
Saluti
Renzo
Saluti
Renzo
Lo so ti sto chiedendo molta pazienza;
non ho risposto al punto 2) perchè ho gia scritto tutti, i passaggi che ho svolto sul quaderno.
L'unico che manca è il sistema che deriva dall'applicazione delle LK, da cui poi ricavo l equazione differenziale.
Quindi, visto che sei stato molto disponibile non ti chiedo di perdere altro tempo.
Detto questo,
Grazie per il chiarimenti.
non ho risposto al punto 2) perchè ho gia scritto tutti, i passaggi che ho svolto sul quaderno.
L'unico che manca è il sistema che deriva dall'applicazione delle LK, da cui poi ricavo l equazione differenziale.
Quindi, visto che sei stato molto disponibile non ti chiedo di perdere altro tempo.
Detto questo,
Grazie per il chiarimenti.
Se posterai qualche sviluppo dei tuoi calcoli, lo controllo; giusto per darti un valore di confronto a me il fasore della tensione su C risulta
$V_C=52-j24$
e quindi una funzione del tempo sinusoidale
$v_C(t)\approx 57.3 sin(\omegat-0.423)$
ma sono comunque valori ottenuti ad alta velocità sui quali non potrei garantire.
$V_C=52-j24$
e quindi una funzione del tempo sinusoidale
$v_C(t)\approx 57.3 sin(\omegat-0.423)$
ma sono comunque valori ottenuti ad alta velocità sui quali non potrei garantire.
Visto che mi hai dedicato gia parecchio del tuo tempo, cerco di essere il piu chiaro possibile.
Comincio dall applicazione delle LK( visto che non posso avere un'equazione differenziale con dei fasori, lascio i generatori nella loro forma sinusoidale).
$E'=I_cR_2+I_5R_5+V_c+I_cR_3$
$E=I_4R_4-I_5R_5$
$I_4=I_c-I_5$
risolvendo e riordinando ottengo:
$(dV_c)/dt+V_c/0.002=80/0.002cos(\omegat)+100/0.002sen(\omegat)$
Ripeto, questa relazione l'ho ricavata analiticamente , però , date le osservazioni precedenti, mi sembra sufficientemente plausibile.
la soluzione di questa equazione è:
$V_c(t)=Ke^(-t/0.002)+52sen(\omegat)-24cos(\omegat)$
Ebbene credo che siamo finalmente giunti allo stesso risultato!(con K da calcolare imponendo la condizione iniziale)
Se questo è vero, tornerei alla domanda iniziale:
Per calcolare la corrente sul condensatore, posso applicare la definizione:
$I_c=(CdV_c)/dt$
cioè derivo la soluzione appena trovata e moltiplico per la capacità?
Ancora grazie per la pazienza e la disponibilità.
Comincio dall applicazione delle LK( visto che non posso avere un'equazione differenziale con dei fasori, lascio i generatori nella loro forma sinusoidale).
$E'=I_cR_2+I_5R_5+V_c+I_cR_3$
$E=I_4R_4-I_5R_5$
$I_4=I_c-I_5$
risolvendo e riordinando ottengo:
$(dV_c)/dt+V_c/0.002=80/0.002cos(\omegat)+100/0.002sen(\omegat)$
Ripeto, questa relazione l'ho ricavata analiticamente , però , date le osservazioni precedenti, mi sembra sufficientemente plausibile.
la soluzione di questa equazione è:
$V_c(t)=Ke^(-t/0.002)+52sen(\omegat)-24cos(\omegat)$
Ebbene credo che siamo finalmente giunti allo stesso risultato!(con K da calcolare imponendo la condizione iniziale)
Se questo è vero, tornerei alla domanda iniziale:
Per calcolare la corrente sul condensatore, posso applicare la definizione:
$I_c=(CdV_c)/dt$
cioè derivo la soluzione appena trovata e moltiplico per la capacità?
Ancora grazie per la pazienza e la disponibilità.
"sici_90":
...risolvendo e riordinando ottengo:
$(dV_c)/dt+V_c/0.002=80/0.002cos(\omegat)+100/0.002sen(\omegat)$
Ripeto, questa relazione l'ho ricavata analiticamente , però , date le osservazioni precedenti, mi sembra sufficientemente plausibile. la soluzione di questa equazione è:
$V_c(t)=Ke^(-t/0.002)+52sen(\omegat)-24cos(\omegat)$
Scusa ma non ho ben capito questo passaggio.
"sici_90":
...Per calcolare la corrente sul condensatore, posso applicare la definizione:
$I_c=(CdV_c)/dt$
cioè derivo la soluzione appena trovata e moltiplico per la capacità?
Certo, e da quella corrente ti puoi ricavare la tensione su R5 e quindi la sua corrente.
se ti riferisci alla soluzione dell'equzione differenziale, ti dico come ho proceduto:
allora ho per prima cosa calcolato la soluzione dell'omogenea associata , e fin qui penso sia chiaro .
per quanto riguarda l'integrale particolare l ho ricavato come facevo per l esame di analisi II e cioè:
Dato che al secondo membro abbiamo una funzione sinusoidale, dovremo cercare l integrale particolare tra le funzioni del tipo:
$V_(cp)=Acos(\omegat)+Bsen(\omegat)$
ora derivo questa espressione:
$V'_(cp)=-\omegaAsen(\omegat)+\omegaBcos(\omegat)$
allora:
sostituisco nell espressione:
$V'_(cp)+500V_(cp)=40000cos(\omegat)+50000sen(\omegat)$
ottengo:
$-A\omegasen(\omegat)+B\omegacos(\omegat)+500Acos(\omegat)+500Bsen(\omegat)=40000cos(\omegat)+50000sen(\omegat)$
Ora applico il principio di identità dei polinomi, per cui:
$-1000A+500B=50000$
$1000B+500A=40000$
Risolvendo ottengo: $A=-24; B=52$
e quindi l'integrale particolare è:
$52sen(\omegat)-24cos(\omegat)$
Non concordi su questo metodo?
allora ho per prima cosa calcolato la soluzione dell'omogenea associata , e fin qui penso sia chiaro .
per quanto riguarda l'integrale particolare l ho ricavato come facevo per l esame di analisi II e cioè:
Dato che al secondo membro abbiamo una funzione sinusoidale, dovremo cercare l integrale particolare tra le funzioni del tipo:
$V_(cp)=Acos(\omegat)+Bsen(\omegat)$
ora derivo questa espressione:
$V'_(cp)=-\omegaAsen(\omegat)+\omegaBcos(\omegat)$
allora:
sostituisco nell espressione:
$V'_(cp)+500V_(cp)=40000cos(\omegat)+50000sen(\omegat)$
ottengo:
$-A\omegasen(\omegat)+B\omegacos(\omegat)+500Acos(\omegat)+500Bsen(\omegat)=40000cos(\omegat)+50000sen(\omegat)$
Ora applico il principio di identità dei polinomi, per cui:
$-1000A+500B=50000$
$1000B+500A=40000$
Risolvendo ottengo: $A=-24; B=52$
e quindi l'integrale particolare è:
$52sen(\omegat)-24cos(\omegat)$
Non concordi su questo metodo?
"sici_90":
... Non concordi su questo metodo?
Non concordo per nulla, in quel modo fai un sacco di conti inutili, come ti dicevo per calcolare la tensione a regime per t>0 basta usare il metodo fasoriale, senza andare a ricavarsela dall'equazione differenziale di una rete come quella.
Io avrei usato Thevenin per andare a semplificare la maglia destra, con questo metodo dopo meno di dieci secondi avresti disegnato il seguente schema equivalente
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
EV 25 30 35 40 0
EV 75 40 65 30 0
MC 35 20 0 0 080
MC 55 20 0 0 080
LI 45 20 55 20 0
LI 65 20 70 20 0
LI 70 20 70 50 0
LI 70 50 60 50 0
LI 55 50 60 50 0
LI 35 20 30 20 0
LI 30 20 30 50 0
LI 30 50 45 50 0
LI 40 50 40 50 0
TY 37 11 4 3 0 0 0 * 6Ω
TY 57 11 4 3 0 0 0 * 2Ω
MC 45 50 0 0 170
TY 25 25 4 3 0 0 0 * +
TY 73 39 4 3 0 0 0 * +
TY 56 42 4 3 0 0 0 * +
TY 40 42 4 3 0 0 0 * -
TY 13 32 4 3 0 0 0 * j80
TY 77 32 4 3 0 0 0 * 100
TY 44 54 4 3 0 0 0 * -j4
TY 47 40 4 3 0 0 2 * Vc
TY 38 31 4 3 0 0 2 * C=0.25mF[/fcd]
dal quale avresti ricavato in altri 5 secondi la costante di tempo $\tau=(6\Omega+2\Omega)\times0.25\cdot10^{-3}F= 2ms$ e in meno di un minuto, via partitore di tensione, il fasore della Vc a regime
$V_{C}= \frac{ -j4 }{8-j4}(100+j80) =52-j24$
per poi scrivere la soluzione completa
$v_C(t)=K_1e^{-t/\tau}+52sin(\omega t)-24cos(\omega t) $
senza nemmeno "vederla" l'equazione differenziale.
si ...
effettivamente è un procedimento molto più rapido e sicuro. Certamente posso fare meno errori .
Ci rifletto un pò.
Grazie Mille!
effettivamente è un procedimento molto più rapido e sicuro. Certamente posso fare meno errori .
Ci rifletto un pò.
Grazie Mille!
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