[Elettrotecnica] Circuito RC del secondo ordine

[Fabio1992]

Salve, vi volevo chiedere un piccolo aiuto su un circuito RC. Senza entrare nei particolari, se ho un qualsiasi circuito con un generatore continuo di tensione, delle resistenze e due condensatori, per trovare la dinamica (transitoria) del circuito utilizzo le equazioni di stato. Scritte le equazioni di stato mi ritrovo con due equazioni differenziali del primo ordine, collegate tra di loro, con due condizioni iniziali distinte, una per la prima equazione e l'altra per la seconda equazione.

Per fare un esempio:
$ dx/dt+ax+b=c $
$ x(0+)=Xo $

$ dy/dt+ey+f=g $
$ y(0+)=Yo $

(Spero di essere stato abbastanza chiaro, soprattutto nella scrittura della formula! )
Per risolvere, unisco le due equazioni e arrivo ad un'equazione di secondo grado che ha come incognita la tensione ai capi di uno dei due condensatori. Ora, come faccio a trovare le due condizioni iniziali di questo nuovo sistema di equazioni differenziali per poi arrivare alla soluzione?

[enr87]

hai due possibilità: o tieni il sistema di equazioni del primo ordine, e in quel caso devi usare la matrice wronskiana per determinarti le soluzioni (cosa che non ricordo, ma se chiedi nella sezione di analisi sicuramente ti danno una mano), altrimenti se conosci la relazione differenziale tra x e y basta che fai la sostituzione opportuna. nel sistema che hai scritto non mi sembra ci sia una relazione tra le due funzioni, probabilmente è stata una tua disattenzione.
ammettendo comunque che sussista una relazione del tipo y = kx' (modificando opportunamente il sistema), allora le condizioni iniziali vanno cambiate di conseguenza: $y(0) = kx(0)' = y_0$. la condizione iniziale della x resta invariata, quindi è un problema di cauchy del secondo ordine che puoi risolvere con la trasformata di laplace (solitamente il tempo delle c.i. è $0^-$)