[Elettrotecnica] Circuito in transitorio
Buonasera, avrei dei dubbi riguardo questo circuito:
I dati sono: R1=3000ohm, R2=4500ohm, L=0.03333H, C=0.00300F, E=300V, T=135s.
Le richieste sono:
1) Radici dell'equazione caratteristica dopo la chiusura;
2) radici dell'equazione caratteristica dopo la riapertura;
3) corrente $i_{R2}(\infty)$;
4) valore massimo della tensione della corrente L per t
Alle prime tre richieste si risponde senza problemi:
1) $\lambda_1=-90.008,8898\frac{1}{s}$ e $lambda_2=-0,1111\frac{1}{s}$;
2) $\lambda_1=-225.002,4578\frac{1}{s}$ e $\lambda_2=-0,0444\frac{1}{s}$;
3) $i_{R2}(\infty)=0A$;
4) So che l'equazione risolutoria è del tipo $i_L(t)=k_1e^{\lambda_1t}+k_2e^{\lambda_2t}+i_L(\infty)$, dove $i_L(\infty)=0A$ (i due $\lambda$ sono quelli provenienti dalla risposta 1). So che l'equazione è questa perchè ci sono due bipoli dinamici "tra di loro indipendenti". Mi servirebbe un chiarimento proprio su questa parte: quando due bipoli possono essere definiti tra di loro indipendenti?.
Grazie a chi avrà il coraggio di leggere tutto e rispondere
I dati sono: R1=3000ohm, R2=4500ohm, L=0.03333H, C=0.00300F, E=300V, T=135s.
Le richieste sono:
1) Radici dell'equazione caratteristica dopo la chiusura;
2) radici dell'equazione caratteristica dopo la riapertura;
3) corrente $i_{R2}(\infty)$;
4) valore massimo della tensione della corrente L per t
Alle prime tre richieste si risponde senza problemi:
1) $\lambda_1=-90.008,8898\frac{1}{s}$ e $lambda_2=-0,1111\frac{1}{s}$;
2) $\lambda_1=-225.002,4578\frac{1}{s}$ e $\lambda_2=-0,0444\frac{1}{s}$;
3) $i_{R2}(\infty)=0A$;
4) So che l'equazione risolutoria è del tipo $i_L(t)=k_1e^{\lambda_1t}+k_2e^{\lambda_2t}+i_L(\infty)$, dove $i_L(\infty)=0A$ (i due $\lambda$ sono quelli provenienti dalla risposta 1). So che l'equazione è questa perchè ci sono due bipoli dinamici "tra di loro indipendenti". Mi servirebbe un chiarimento proprio su questa parte: quando due bipoli possono essere definiti tra di loro indipendenti?.
Grazie a chi avrà il coraggio di leggere tutto e rispondere
Risposte
Non ho capito bene il discorso sui bipoli indipendenti e non so come possa aiutarti.
Il circuito e' relativamente semplice e si risolve per via matematica.
Nell'equazione
$ i_L(t)=k_1e^{\lambda_1t}+k_2e^{\lambda_2t}$
devi trovare $k_1$ e $k_2$.
Li trovi impostando il sistema:
$i_L(0) = k_1+k_2$
e
$(d i_L)/(dt) |_{t=0} = k_1 \lambda_1 + k_2 \lambda_2 = E/L$.
Una volta che hai $k_1$ e $k_2$ usi il metodo matematico standard per trovare max e min, ovvero derivi $i_L(t)$ e trovi quando questa derivata e' uguale a zero.
Il circuito e' relativamente semplice e si risolve per via matematica.
Nell'equazione
$ i_L(t)=k_1e^{\lambda_1t}+k_2e^{\lambda_2t}$
devi trovare $k_1$ e $k_2$.
Li trovi impostando il sistema:
$i_L(0) = k_1+k_2$
e
$(d i_L)/(dt) |_{t=0} = k_1 \lambda_1 + k_2 \lambda_2 = E/L$.
Una volta che hai $k_1$ e $k_2$ usi il metodo matematico standard per trovare max e min, ovvero derivi $i_L(t)$ e trovi quando questa derivata e' uguale a zero.
"Fabbiooo":
... quando due bipoli possono essere definiti tra di loro indipendenti?...
Diciamo che, al fine di determinare l'ordine del circuito dal numero di bipoli dinamici indipendenti, la "indipendenza" la puoi avere se due condensatori non sono collegati in parallelo o se due induttori non sono collegati in serie [nota]O meglio, per essere più rigorosi: la tensione di un condensatore (la corrente di un induttore) non possa essere espressa come combinazione lineare-affine di tensioni (correnti) su altri condensatori (induttori) della rete; per esempio, una "maglia" di soli condensatori e GIT (un "taglio" di soli induttori e GIC).[/nota]; in questo caso quindi circuito (ed equazione differenziale) del secondo ordine.
Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte
Mi ricordo che il mio prof, al momento della spiegazione dell'argomento, disse: l'equazione differenziale risolutiva, che sia per il calcolo di una tensione o per una corrente, è composta da un numero di termini $k_ie^{\lambda_it}$ pari al numero di bipoli dinamici indipendenti presenti.
Non riesco ad arrivare alla tua conclusione $k_1\lambda_1+k_2\lambda_2=\frac{E}{L}$
Ti spiego i miei passaggi.
Per studiare cosa succede per $t
Per risolvere la richiesta occorre sfruttare l'equazione caratteristica dell'induttore, la quale, se anch'essa viene valutata per $t=0$, assume la seguente forma: $\frac{d}{dt}i_L(t)=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2$.
Con quale ragionamento si arriva alla conclusione $k_1\lambda_1+k_2\lambda_2=\frac{E}{L}$?
So di perdermi in un bicchiere d'acqua, ma non riesco a vedere i passaggi logici.
Quindi il collegamento in serie tra un induttore e un condensatore fa sì che questi siano indipendenti l'uno dall'altro?
"Quinzio":
Non ho capito bene il discorso sui bipoli indipendenti e non so come possa aiutarti.
Mi ricordo che il mio prof, al momento della spiegazione dell'argomento, disse: l'equazione differenziale risolutiva, che sia per il calcolo di una tensione o per una corrente, è composta da un numero di termini $k_ie^{\lambda_it}$ pari al numero di bipoli dinamici indipendenti presenti.
"Quinzio":
diLdt∣t=0=k1λ1+k2λ2=EL.
Non riesco ad arrivare alla tua conclusione $k_1\lambda_1+k_2\lambda_2=\frac{E}{L}$
Ti spiego i miei passaggi.
Per studiare cosa succede per $t
Per risolvere la richiesta occorre sfruttare l'equazione caratteristica dell'induttore, la quale, se anch'essa viene valutata per $t=0$, assume la seguente forma: $\frac{d}{dt}i_L(t)=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2$.
Con quale ragionamento si arriva alla conclusione $k_1\lambda_1+k_2\lambda_2=\frac{E}{L}$?
So di perdermi in un bicchiere d'acqua, ma non riesco a vedere i passaggi logici.
"RenzoDF":
al fine di determinare l'ordine del circuito dal numero di bipoli dinamici indipendenti, la "indipendenza" la puoi avere se due condensatori non sono collegati in parallelo o se due induttori non sono collegati in serie
Quindi il collegamento in serie tra un induttore e un condensatore fa sì che questi siano indipendenti l'uno dall'altro?
"Fabbiooo":
... Con quale ragionamento si arriva alla conclusione $k_1\lambda_1+k_2\lambda_2=\frac{E}{L}$?
Usando la continuità della tensione sul condensatore.
"Fabbiooo":
... Quindi il collegamento in serie tra un induttore e un condensatore fa sì che questi siano indipendenti l'uno dall'altro?
Sì, un condensatore e un induttore lo sono sempre.
"RenzoDF":
Usando la continuità della tensione sul condensatore
Potresti gentilmente tradurre il ragionamento in termini di formule matematiche?
Scelte le opportune convenzioni, avrai che $v_C(0+)=v_C(0-)=0$ che implica $v_L(0+)=E$ e quindi, via equazione costitutiva dell’induttore ...
Su questo ci sono:
Visto che non passa corrente a causa del circuito aperto, la tensione sulle resistenze è nulla e perciò, applicando Kirchhoff alla maglia di destra, si trova $v_C(0^-)=0=v_C(0^+)$.
Non mi è chiaro però come questo possa implicare $v_L(0^+)=E$
"RenzoDF":
avrai che vC(0+)=vC(0−)=0
Visto che non passa corrente a causa del circuito aperto, la tensione sulle resistenze è nulla e perciò, applicando Kirchhoff alla maglia di destra, si trova $v_C(0^-)=0=v_C(0^+)$.
Non mi è chiaro però come questo possa implicare $v_L(0^+)=E$
"Fabbiooo":
... Visto che non passa corrente a causa del circuito aperto, la tensione sulle resistenze è nulla e perciò, applicando Kirchhoff alla maglia di destra, si trova $v_C(0^-)=0=v_C(0^+)$.
Visto che a interruttore aperto il circuito è a regime, avrai che $v_C(0^-)=0$ e $i_L(0^-)=0$.
Una volta chiuso l'interruttore per t=0, avrai che la tensione sul condensatore, così come la corrente nell'induttore, non potendo presentare discontinuità, manterranno lo stesso valore.
"Fabbiooo":
...Non mi è chiaro però come questo possa implicare $v_L(0^+)=E$
Semplicemente perché, alla chiusura dell'interruttore, applicando Kirchhoff alla maglia destra (o esterna), assumendo i positivi per la tensione sui morsetti sinistri di L e di C, otterrai
$E-v_L(0^+)+v_C(0^+)=0$
Ora mi è tutto molto più chiaro! Ti ringrazio
Mi si presenta un altro problema però
L'espressione finale generale è: $v_L(t)=L\frac{d}{dt}i_L(t)=L(k_1\lambda_1e^{\lambda_1t}+k_2\lambda_2e^{\lambda_2t})$, della quale conosco il valore di tutti i parametri.
Per risolvere la richiesta occorre solo sostituire a $t$ il valore di $T$ oppure mi sono dimenticato qualcosa? Chiedo scusa per la banalità della domanda, ma reputo ambigua la richiesta 4.
Mi si presenta un altro problema però
L'espressione finale generale è: $v_L(t)=L\frac{d}{dt}i_L(t)=L(k_1\lambda_1e^{\lambda_1t}+k_2\lambda_2e^{\lambda_2t})$, della quale conosco il valore di tutti i parametri.
Per risolvere la richiesta occorre solo sostituire a $t$ il valore di $T$ oppure mi sono dimenticato qualcosa? Chiedo scusa per la banalità della domanda, ma reputo ambigua la richiesta 4.
"Fabbiooo":
... reputo ambigua la richiesta 4.
Da come è scritta nel post iniziale, ambigua lo è di certo, ma forse è solo un errore di battitura; potresti riscriverla?
Mi sono accorto proprio ora di aver scritto una fesseria quando ho pubblicato il post!
La richiesta del mio prof è: "4) calcolare il valore massimo della corrente che percorre L per t
La richiesta del mio prof è: "4) calcolare il valore massimo della corrente che percorre L per t
Non capisco il perchè. 
Perchè dicendomi "... per $tesatto entro il quale valutare l'equazione $v_L(t)=L\frac{d}{dt}i_L(t)=L(k_1\lambda_1e^{\lambda_1t}+k_2\lambda_2e^{\lambda_2t})$, a meno che non intenda proprio di valutarla per $t=T$
"Fabbiooo":
... non dà un valore esatto entro il quale valutare l'equazione ...
Scusa ma non ti capisco proprio, ti chiede di valutare quale sia il valore massimo raggiunto dalla funzione $i_L(t)$ per $t
Dovrei essere arrivato alla soluzione
Sono arrivato a risolvere il sistema che Quinzio ha citato, trovando come soluzioni $k_1=-0.10$ e $k_2=0.10$, perciò l'equazione della corrente nell'induttore, per $t
Sono arrivato a risolvere il sistema che Quinzio ha citato, trovando come soluzioni $k_1=-0.10$ e $k_2=0.10$, perciò l'equazione della corrente nell'induttore, per $t
In teoria sì, ma in pratica no, in quanto è possibile stimare il valore massimo già dalla iL(t). 
BTW Ti rendi conto che stai usando solo due cifre significative per i k e ben nove cifre significative per un'esponente?
BTW Ti rendi conto che stai usando solo due cifre significative per i k e ben nove cifre significative per un'esponente?
"RenzoDF":
Ti rendi conto che stai usando solo due cifre significative per i k e ben nove cifre significative per un'esponente
Ne specifico solo due per i valori di $k_i$ perchè si trovano valori del tipo $0.1000002469$
Ad ogni modo non riesco a venirne a capo.
Avendo $i_L(t)=k_1e^{\lambda_1t}+k_2e^{\lambda_2t}$ trovo $\frac{d}{dt}i_L(t)=k_1\lambda_1e^{\lambda_1t}+k_2\lambda_2e^{\lambda_2t}$.
Per calcolare il valore massimo devo imporre $\frac{d}{dt}i_L(t)=0$, ma come posso fare a trovare un valore per $i_L(t)$ dato che rimane l'incognita in $t$?
Soprassedendo sulla questione "cifre significative", altrimenti va a finire che mi prendo la solita orticaria,
da quella equazione nell'incognita $t$, dovrai: trovare per quale $t^\text{*}$ si annulla, verificare se quel punto corrisponde a un massimo ed infine determinare la corrente massima via $i_L(t^\text{*})$.
"Fabbiooo":
... i valori di $k_i$ ma come posso fare a trovare un valore per $i_L(t)$ dato che rimane l'incognita in $t$?
da quella equazione nell'incognita $t$, dovrai: trovare per quale $t^\text{*}$ si annulla, verificare se quel punto corrisponde a un massimo ed infine determinare la corrente massima via $i_L(t^\text{*})$.
Riusciresti a dirmi se il risultato a cui sono giunto è corretto?
Trovo $t^\ast=1,5115*10^{-4}s\Rightarrow i_L(t^\ast)=5,2042*10^{-18}A$
Trovo $t^\ast=1,5115*10^{-4}s\Rightarrow i_L(t^\ast)=5,2042*10^{-18}A$
Direi proprio di no, e sarei curioso di conoscere il metodo che hai usato, ...
... ma, come ti dicevo, dai un occhio ai due termini che formano la iL(t), e in particolar modo alle due costanti di tempo delle discese esponenziali, e vedrai che sarà facile stimare il valore massimo per la corrente.
... ma, come ti dicevo, dai un occhio ai due termini che formano la iL(t), e in particolar modo alle due costanti di tempo delle discese esponenziali, e vedrai che sarà facile stimare il valore massimo per la corrente.
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