[Elettrotecnica] Circuito in transitorio

[Fabbiooo1]

Buonasera, avrei dei dubbi riguardo questo circuito:



I dati sono: R1=3000ohm, R2=4500ohm, L=0.03333H, C=0.00300F, E=300V, T=135s.
Le richieste sono:
1) Radici dell'equazione caratteristica dopo la chiusura;
2) radici dell'equazione caratteristica dopo la riapertura;
3) corrente $i_{R2}(\infty)$;
4) valore massimo della tensione della corrente L per t 5) tensione ai capi di L per $t=T^+$.

Alle prime tre richieste si risponde senza problemi:
1) $\lambda_1=-90.008,8898\frac{1}{s}$ e $lambda_2=-0,1111\frac{1}{s}$;
2) $\lambda_1=-225.002,4578\frac{1}{s}$ e $\lambda_2=-0,0444\frac{1}{s}$;
3) $i_{R2}(\infty)=0A$;
4) So che l'equazione risolutoria è del tipo $i_L(t)=k_1e^{\lambda_1t}+k_2e^{\lambda_2t}+i_L(\infty)$, dove $i_L(\infty)=0A$ (i due $\lambda$ sono quelli provenienti dalla risposta 1). So che l'equazione è questa perchè ci sono due bipoli dinamici "tra di loro indipendenti". Mi servirebbe un chiarimento proprio su questa parte: quando due bipoli possono essere definiti tra di loro indipendenti?.

Grazie a chi avrà il coraggio di leggere tutto e rispondere

[RenzoDF]

Il tempo è però corretto.

[Fabbiooo1]

"RenzoDF":sarei curioso di conoscere il metodo che hai usato

Ho solo isolato $t$ dall'equazione $k_1\lambda_1e^{\lambda_1t}+k_2\lambda_2e^{\lambda_2t}=0$ e sostituito tale valore ($t^\ast$) dentro l'espressione di $i_L(t)$, a quanto pare sbagliando

"RenzoDF":dai un occhio ai due termini che formano la iL(t), e in particolar modo alle due costanti di tempo delle discese esponenziali

Stando a questo, ho che $\tau_1\approx1,11*10^{-5}s$ e $\tau_2\approx9s$. Dato che sono molto più piccole di $T=135s$ posso concludere che diventa possibile non considerare i due termini $\k_ie^{\lambda_it}$ nel calcolo di $i_L(t

Cita

Segnala

[Fabbiooo1]

"RenzoDF":Il tempo è però corretto.

Ricontrollando i calcoli mi sono accorto che, erroneamente, ho sostituito il valore $t^\ast$ nell'equazione della derivata. Il valore corretto è: $i_L(t^\ast)=0,1000A$

[RenzoDF]

"Fabbiooo":... Ho solo isolato $t$ dall'equazione

Come lo hai isolato?

"Fabbiooo":... Stando a questo, ho che $\tau_1\approx1,11*10^{-5}s$ e $\tau_2\approx9s$. Dato che sono molto più piccole di $T=135s$ posso concludere che diventa possibile non considerare i due termini $\k_ie^{\lambda_it}$ nel calcolo di $i_L(t
No, diciamo che, essendo entrambe le $\tau$ più di un ordine di grandezza inferiori a T, entrambe le discese esponenziali andranno praticamente ad esaurirsi nell'intervallo 0
La morale è che in questo caso particolare non serviva ne derivare, ne cercare il tempo t*, ma solo osservare quanto sopra detto.

[Fabbiooo1]

"RenzoDF":Come lo hai isolato?

Calcoli algebrici "pallosi"
$k_1\lambda_1e^{\lambda_1t}+k_2\lambda_2e^{\lambda_2t}=0 \Rightarrow -\frac{k_1\lambda_1}{k_2\lambda_2}=(\frac{e^{\lambda_2}}{e^{\lambda_1}})^t \Rightarrow -\frac{k_1\lambda_1}{k_2\lambda_2}=(e^{\lambda_2-\lambda_1})^t$
Infine $t=ln(-\frac{k_1\lambda_1}{k_2\lambda_2})\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}=t^\ast=1,5115*10^{-4}s$.

"RenzoDF":essendo la prima sei ordini di grandezza inferiore alla seconda, la prima discesa si sarà praticamente esaurita quando la seconda avrà appena iniziato a farlo, ne segue che il valore massimo della corrente sarà moltooooo ma moltoooo prossimo a 0.1 ampere, anche se leggerissimamente inferiore

Non ci sarei mai arrivato solo col ragionamento

[Fabbiooo1]

Ho provato a risolvere pure il punto 5, ma non riesco a giungere ad una conclusione.
Per calcolare $v_L(T^+)$ occorre valutare le condizioni del circuito per $t=T^-$.
Avendo l'espressione della corrente nell'induttore la posso valutare in $t=T$, ottenendo $i_L(T)=3,06*10^{-8}A$: per $t=T^+$ diventa perciò possibile modellare l'induttore come se fosse un generatore di corrente.
Come si tratta il condensatore? Intuitivamente mi viene da pensare che debba essere modellato come un generatore di tensione, ma non riesco a calcolarne il voltaggio

[RenzoDF]

Ma non avevamo detto che T era più di un ordine di grandezza superiore a entrambe le costanti di tempo

BTW Il termine "voltaggio" non si può sentire

[Fabbiooo1]

"RenzoDF":Ma non avevamo detto che T era più di un ordine di grandezza superiore a entrambe le costanti di tempo

Sì, ma non riesco ad inquadrare bene la situazione per capire quali siano le ripercussioni di questa affermazione sul circuito e, in particolare, sul circuito al tempo $t=T^+$

"RenzoDF":Il termine "voltaggio" non si può sentire

Lo terrò a mente

[RenzoDF]

"Fabbiooo": ... Sì, ma non riesco ad inquadrare bene la situazione per capire quali siano le ripercussioni di questa affermazione sul circuito e, in particolare, sul circuito al tempo $t=T^+$

Al tempo $T^-$ la rete potrà essere considerata a regime, ovvero con corrente (praticamente) nulla (e ne hai conferma dal valore da te postato) e induttore equivalente a un cortocircuito, ne segue che la tensione ai morsetti del condensatore sarà pari a E.
Ora, aprendo l'interruttore ...

[Fabbiooo1]

Quindi, riassumendo:
a) al tempo $t=T^-$ ho che $E-v_C(T^-)=0\Rightarrow v_C(T^-)=E=v_C(T^+)$;
b) al tempo $t=T^+$ posso modellare l'induttore come un generatore di corrente da $i_L(T^+)=3,06*10^{-8}A$ e il condensatore come un generatore di tensione da $v_C(T^+)=E=300V$;
c) applico Kirchhoff alla maglia di destra, ottenendo $E-v_L(T^+)-V_{R_2}-E=0$ (dove la prima E è la tensione sulla resistenza R1 e la seconda è la tensione sul condensatore) $\Rightarrow v_L(T^+)=-V_{R_2}=-R_2*i_L(T^+)=-1,38*10^-4V$
Giusto?

[RenzoDF]

"Fabbiooo":Quindi, riassumendo:
a) al tempo $t=T^-$ ho che $E-v_C(T^-)=0\Rightarrow v_C(T^-)=E=v_C(T^+)$;

Ok.

"Fabbiooo": b) al tempo $t=T^+$ posso modellare l'induttore come un generatore di corrente da $i_L(T^+)=3,06*10^{-8}A$ e il condensatore come un generatore di tensione da $v_C(T^+)=E=300V$;

No, corrente nulla e tensione sul condensatore 300 volt, ne segue che la tensione ai morsetti dell'induttore ...

"Fabbiooo": c) applico Kirchhoff alla maglia di destra, ottenendo $E-v_L(T^+)-V_{R_2}-E=0$ (dove la prima E è la tensione sulla resistenza R1 e la seconda è la tensione sul condensatore) $\Rightarrow v_L(T^+)=-V_{R_2}=-R_2*i_L(T^+)=-1,38*10^-4V$

No, l'interruttore è aperto, la corrente è nulla, non c'è tensione su R1 e nemmeno su R2.

[Fabbiooo1]

"RenzoDF":ne segue che la tensione ai morsetti dell'induttore ...

Viene a coincidere con la tensione sul condensatore

"RenzoDF":No, l'interruttore è aperto, la corrente è nulla, non c'è tensione su R1 e nemmeno su R2.

Errore mio banale. Mi ero convinto che fosse giusto il mio ragionamento riguardo la modellizzazione di induttore/condensatore che non ho fatto caso all'apertura dell'interruttore

[RenzoDF]

"Fabbiooo":... Viene a coincidere con la tensione sul condensatore

Ora, è chiaro che questa è una soluzione "approssimata", ma penso che lo stesore del problema avesse questa intenzione, ovvero non voleva una soluzione strettamente analitica; lo dico perché, se così non fosse, un problema "malposto" come quello in oggetto (visti i parametri numerici), sarebbe stato davvero una vigliaccata del settimo ordine.

BTW Posso sapere da dove arriva, dove e cosa stai studiando e su che testo di riferimento

[Fabbiooo1]

Ti ringrazio per la pazienza e per la fatica

"RenzoDF":Posso sapere da dove arriva, dove e cosa stai studiando e su che testo di riferimento

Io studio ingegneria e questo è stato il circuito oggetto di un esame che (ovviamente) non ho superato.
Reputo che i testi che mi sono stati consigliati siano troppo tecnici, tanto da portarmi a trascorrere moooolto più tempo sul cercare di capire le formule e i metodi matematici sfruttati che sul concentrarmi sul senso dell'elettrotecnica, intesa come bieca risoluzione di circuiti, motivo per il quale non li ho acquistati. Per preparare questo benedetto esame mi baso sui documenti che il mio prof pubblica dopo le lezioni (e si vede )