[Elettrotecnica] Circuito dinamico 2° ordine - sovrapp. degli effetti

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30 mar 2023, 16:44

Buon pomeriggio a tutti. Devo ricavare la corrente sull'induttore di un circuito e per l'analisi sto utilizzando il C.R.A e di conseguenza la sovrapposizione degli effetti. Al termine della mia analisi ho ottenuto una lambda positiva e una negativa il che non mi va bene poichè le vorrei entrambe negative.
Di seguito vi lascio i circuiti e i parametri che ho ricavato poichè penso di aver sbagliato qualche segno.

Originale

Circuito 1:

Ho ricavato:
$iC= \frac{-Vc}{R1} $
$VL= 0$

Circuito 2:

Ho ricavato:
$iC= -I0 $
$VL= VC$

Circuito 3:

Ho ricavato:
$iC= IL $
$VL= Req * IL$

Continuando l'analisi, come gia detto, ho trovato delle lambda con segni a me inutili.
Spero mi diate una mano a capire se il problema è stato di segno, di concetto durante le varie sovrapposizioni o di semplificazione dei vari circuiti tra cortocircuiti e circuiti aperti.

Grazie.

Risposte

RenzoDF

30 mar 2023, 18:34

Premesso che la sovrapposizione degli effetti è del tutto inutile per quella semplice rete, in quanto basta applicare Kirchhoff alla rete completa per determinare le due relazioni complessive per $i_C$ e $v_L$,
... e premesso anche che la $i_C$ era "conveniente" sceglierla di verso opposto[nota]Per non rischiare di usare una errata relazione costitutiva per il condensatore.[/nota],

per il circ.1:

$i_C= v_C/R_1 $
$v_L= v_C$

per il circ. 2:

$i_C= -I_0 $
$v_L= 0$

per il circ. 3:

$i_C= i_L $
$v_L= -R_{eq} i_L$

"Bianchetto05":
... penso di aver sbagliato qualche segno. ...

Esatto, ... ma non solo.

Se poi conosci Laplace, avresti potuto ricavarti i due autovalori andando ad uguagliare a zero la somma delle due ammettenze (o delle due impedenze) "viste" da un taglio della rete passivata che la divida in due bipoli; per es.

$Y_1+Y_2=[1/(R_{eq}+sL)]+[sC+1/R_1]=0$

Bianchetto05

31 mar 2023, 09:02

"RenzoDF":
Premesso che la sovrapposizione degli effetti ...

Grazie mille per le info che mi hai fornito

Si è vero, esistono altri metodi per la risoluzione di questo tipo di esercizi, ma ormai ho intrapreso questo e vorrei portarlo avanti anche se più laborioso di altri.
Sul secondo circuito ho anche io sul quaderno $VL''=0$, è stato un mio errore di trascrizione.

Volevo chiederti un'altra info. Ho notato che il più delle volte il problema nasce sui segni che devo scegliere in base alle convenzioni decise, come in questo caso... Potresti dirmi qualcosa di più in merito?

RenzoDF

31 mar 2023, 11:26

"Bianchetto05":
... Ho notato che il più delle volte il problema nasce sui segni che devo scegliere in base alle convenzioni decise ...

In generale i versi per tensioni e correnti possono essere scelti del tutto arbitrariamente, ma chiaramente "conviene" sia mantenere le convenzioni già indicate dal testo, sia scegliere le convenzioni che portano alle più semplici relazioni costitutive.
Nel tuo caso, per esempio, se il testo indicasse già la convenzione per la $v_C$ e per la $i_L$, conviene mantenere quelle, ma di conseguenza nella scelta della convenzione per $i_C$ e $v_L$ conviene usare la "convenzione degli utilizzatori", ovvero scegliere il verso della corrente $i_C$ entrante nel positivo della $v_C$ sul condensatore e il positivo della $v_L$ sul morsetto nel quale la $i_L$ entra nell'induttore.

Essendo la tua scelta per la $i_C$ opposta a quanto indicato, scelta non è errata ma solo non "conveniente", la relazione costitutiva per il legame fra corrente e tensione sul condensatore sarà la seguente

$i_C=-C\frac{\text{d} v_C}{\text{d} t}$

e non la più classica

$i_C=C\frac{\text{d} v_C}{\text{d} t}$

BTW Se ti va di farlo, una volta risolto il problema, potresti postare la tua soluzione, per i futuri lettori del thread.

Bianchetto05

31 mar 2023, 15:15

"RenzoDF":
... il positivo della $v_L$ sul morsetto nel quale la $i_L$ entra nell'induttore. ...

quindi come nel terzo circuito giusto? Ovvero che la corrente $i_L$ "entra" sul positivo di $v_L$, in sostanza la freccia sul generatore che rappresenta l'induttore deve "andare" da + a - .
In questo caso non dovrebbero esserci variazioni di segno, corretto?

Per la soluzione cerco di postarla tra stasera e domani in modo che possa servire a chi di passaggio

RenzoDF

31 mar 2023, 16:12

"Bianchetto05":
... quindi come nel terzo circuito giusto? Ovvero che la corrente $i_L$ "entra" sul positivo di $v_L$, in sostanza la freccia sul generatore che rappresenta l'induttore deve "andare" da + a - .
In questo caso non dovrebbero esserci variazioni di segno, corretto? ...

Sì, in quel caso per l'induttore la relazione costitutiva sarà quella "classica"

$v_L= L\frac{\text{d} i_L}{\text{d} t}$

Bianchetto05

1 apr 2023, 13:03

"RenzoDF":
...

come promesso, di seguito lascio lo svolgimento.

Continuando il discorso portato avanti nei messaggi precedenti (e quindi con le dovute correzioni fatte), metto insieme le soluzioni ottenute dalla sovrapposizione:

$ \begin{cases} i_C= \frac{V_C}{80} -I_0+i_L\\ V_L=V_C+0-36i_L \end{cases};\begin{cases} C\dot{V}_C = \frac{V_C}{80} -I_0+i_L\\ L\dot{i}_L=V_C+0-36i_L \end{cases} $

Ricavo $V_C$ e $\dot{V_C}$:

$ V_C=L\dot{i}_L+36i_L $ NB: a "destra dell'uguale", i punti sulle lettere indicano la derivata

$ \dot{V_C}=L\ddot{i}_L+36\dot{i_L}$ NB: a "destra dell'uguale", i due puntini sulle lettere indicano derivata seconda

sostituisco:

$ CL\ddot{i_L}+36C\dot{i_L}-\frac{L\dot{i_L}}{80}-\frac{36i_L}{80}-i_L=-I_0 $

semplifico:

$ \ddot{i_L}+\frac{36\dot{i_L}}{L}- \frac{\dot{i_L}}{C80} - \frac{36i_L}{CL80}- \frac{i_L}{CL}=// $

a questo punto ho sostituito i valori di $C$ ed $L$ forniti dalla traccia, messo a fattor comune $i_L$ e $\dot{i_L}$ ed ho ottenuto:
$ \ddot{i_L}+717,34\dot{i_L}-6170,21i_L=// $

da qui:

$ \lambda^2+717,34\lambda-6170,21=0 $

ottenendo alla fine:
$\lambda1=-8.7072$
$\lambda2=-708,6328$

Da qui si parte con il problema di Cauchy che è un problema prettamente matematico e va al di la dell'elettrotecnica.

RenzoDF

1 apr 2023, 17:12

Per dare un punto di partenza certo, e per permettere un controllo dei tuoi calcoli, dovresti però postare anche una immagine (foto) del testo originale del problema.

Giusto un suggerimento; per aumentare la leggibilità dovresti usare i pedici