Due professori e due soluzioni: Delta di Dirac!

[Ahi1]

Ciao a tutti.
Sto studiando Segnali e ho un problema, due professori hanno dato una soluzione diversa a due esercizi, chi ha ragione e perché?

con $tr(t)$ intendo l'impulso triangolare.

Professore A:

Calcolare le seguenti espressioni:

A) $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta(2t-1)=$$int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta[2(t-1/2)]=$$tr(1/2)=(1-|1/2|)=1/2$

B) $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta(2t+1)=$$int_{-oo}^{+oo} tr(t)delta[2*(t+1/2)=$$tr(-1/2)=(1-|-1/2|)=1/2$


Professore B:

Calcolare le seguenti espressioni:

A) $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta(2t-1)=$ $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*(1/2)*delta(t-1/2)=$$(1/2)*tr(1/2)=(1/2)*(1-|t|)=(1/2)*(1-|1/2|)=(1/2)*(1/2)=1/4$

B) $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta(2t+1)=$ $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*(1/2)*delta(t+1/2)=(1/2)*tr(-1/2)=$$1/2(1+|-t|)=1/2*(1+|-1/2|)=(1/2)*(3/2)=3/4$

Quì abbiamo utilizzato il cambiamento di scala.

A chi devo dare ragione?
E perché uno dei due sbaglia? GRAZIE!
GRAZIE!

[AMs1]

Secondo me al secondo. Nel cambiamento di scala della delta vale:

$delta(xT)=1/Tdelta(x)

[Ahi1]

"AMs":Secondo me al secondo. Nel cambiamento di scala della delta vale:

$delta(xT)=1/Tdelta(x)

Anche io penso il secondo (professore B), per essere precisi il secondo aveva fatto al punto B:

$int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta(2t+1)dt=int_{-oo}^{+oo} tr(t)(1/2)*delta(t+1/2)=(1/2)*(1-|-1/2|)=(1/2)*(1/2)=1/4$

però io penso si sia distratto per tal motivo l'ho corretto.

Però una persona, non professore, mi ha detto che non si può usare il cambiamento di scala all'interno dell'integrale....non so se è vero, perché i libri non dicono nulla a riguardo

[AMs1]

No deve essere per forza esatto. Se consideriamo un cambio di variabile viene altrettanto:

$int_(-oo)^(oo) tr(t) delta(2t+1)dt=1/2int_(-oo)^(oo) tr((t-1)/2)delta(t)dt=1/2 tr(-1/2)

[raff5184]

Allora per il professore A, a questo punto non si capisce che fine faccia il 2 della delta:

A) $int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta[2(t-1/2)]=tr(1/2)$

è ovvio che $delta(t) != delta(2t)$ se invece fossero uguali allora sarebbe corretto quanto affermato dal prof A

[raff5184]

"Ahi":
per essere precisi il secondo aveva fatto al punto B:

$int_{-oo}^{+oo} tr(t)*delta(2t+1)dt=int_{-oo}^{+oo} tr(t)(1/2)*delta(t+1/2)=(1/2)*(1-|-1/2|)=(1/2)*(1/2)=1/4$

però io penso si sia distratto per tal motivo l'ho corretto.

non sono d'acordo.
secondo me il prof aveva fatto bene perché l'equazione dell finestra triangolare è $1-|t|$ che vale sia per t>0 che per t<0. Quando la particolarizzi nel semipiano negativo delle t ti diventa $1+t$, il modulo scompare; ora a $t$ devi sostituire -$1/2$ e quindi verrà $1-1/2=1/2$

Ed è giusto che i risultati del problema A e B siano uguali per motivi di simmetria della finestra triangolare che, per effetto dela delta verrà campionanta in 2 punti equidistanti, ma da parti opposte, rispetto all'origine dove assume (il trinagolo) lo stesso valore