Dubbietto autocorrelazione - densità di potenza
Immaginate di avere un processo con autocorrelazione a rettangolo (diversa da zero solo in un intervallo simmetrico attorno all'origine). Per il th. di Wiener-Kintchine la densità spettrale di potenza è a sinc, quindi è negativa in alcuni tratti. Com'è possibile questo, visto che la densità di potenza è definita come il limite bla bla bla del modulo quadro della trasformata "ristretta"? Sto violando qualche condizione di applicabilità? (Sono decisamente arrugginito in teoria dei segnali...)
Risposte
processo = y(t)
autocorrelazione di y(t) = rettangolo
Y(f) = la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di y(t)= sinc
la densità spettrale di potenza = Y(f)*.Y(f) = sempre positivo
autocorrelazione di y(t) = rettangolo
Y(f) = la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di y(t)= sinc
la densità spettrale di potenza = Y(f)*.Y(f) = sempre positivo
eh no... per come hai definito Y(f) è densità spettrale di potenza = Y(f).
Stai confondendo Y(f) definito da te con la trasformata del segnale.
Stai confondendo Y(f) definito da te con la trasformata del segnale.
"elgiovo":
eh no... per come hai definito Y(f) è densità spettrale di potenza = Y(f).
Stai confondendo Y(f) definito da te con la trasformata del segnale.
Puoi dare i tuoi definizioni con formula per favore?
E' piu facile per rispondere e risolvere il problema.
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y(t)=processo
...=autocorrelazione
Y(f)=...
...
Hai ragione, sono stato poco preciso, era perché non avevo voglia di mettermi a scrivere formule perché mi sembrava fosse chiaro lo stesso per "addetti ai lavori".. Prima però ti facevo notare che avevi fatto confusione con le tue stesse definizioni, perché hai usato Y(f) sia per la trasformata dell'autocorrelazione che per la trasformata del segnale.
Allora, per chiarezza, sia \(\displaystyle x(t) \) il segnale (il processo) nel tempo, sia \(\displaystyle X_T(f) \) la trasformata del segnale "troncato" su un intervallo \(\displaystyle T \). Allora la densità spettrale di potenza sarà
\(\displaystyle S_X(f) = \lim_{T \to \infty} E\left[\frac{|X_T(f)|^2}{T}\right] \)
che ovviamente è positiva per ogni \(\displaystyle f \). Wiener - Kintchine ci dicono che si può ottenere \(\displaystyle S_X(f) \) anche trasformando la funzione di autocorrelazione
\(\displaystyle R_X(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)] \)
Se però \(\displaystyle R_X(\tau) \) è un rettangolo ottengo una densità spettrale di potenza che è negativa in alcuni intervalli di frequenza, un'evidente contraddizione. Mi chiedevo dov'è il problema.
Allora, per chiarezza, sia \(\displaystyle x(t) \) il segnale (il processo) nel tempo, sia \(\displaystyle X_T(f) \) la trasformata del segnale "troncato" su un intervallo \(\displaystyle T \). Allora la densità spettrale di potenza sarà
\(\displaystyle S_X(f) = \lim_{T \to \infty} E\left[\frac{|X_T(f)|^2}{T}\right] \)
che ovviamente è positiva per ogni \(\displaystyle f \). Wiener - Kintchine ci dicono che si può ottenere \(\displaystyle S_X(f) \) anche trasformando la funzione di autocorrelazione
\(\displaystyle R_X(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)] \)
Se però \(\displaystyle R_X(\tau) \) è un rettangolo ottengo una densità spettrale di potenza che è negativa in alcuni intervalli di frequenza, un'evidente contraddizione. Mi chiedevo dov'è il problema.
Qualcuno con il stesso problema, sto ancora cercando la risposta...
VijaKhara skrev:
> Hi,
> I am working on hw, and to find out the result I need to assume that
> the power spectrum density of a RP X(t) is always positive. Is it
> always true?
The PSD is (formally) 'non-negative', which is slightly different from
'positive'. The definition of the PSD is achieved through Parseval's
identity to be
P = sum |X(k)|^2
where |X(k)|^2 is the k'th coefficient of the PSD. Be aware that
you have to use the unitary DFT or FT to get this to work,
i.e. all the scaling coefficients need to be in all the correct places.
If you are working on a theoretical justification, don't bring in the
autocorrelation of x(t) since it has nothing to do with the
*definition*
of the PSD, it only describes and *estimator* for the PSD.
As others already have commented, numerical errors might
cause a vanishing coeffcient to pop out on the negative side.
Rune
http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_d ... ite_note-3
Penso che "...if the signal is treated as a wide-sense stationary random process." sia importante.
The PSD is the Fourier transform of the autocorrelation function, \(\displaystyle R(\tau) \), of the signal if the signal is treated as a wide-sense stationary random process.[4]
Penso che "...if the signal is treated as a wide-sense stationary random process." sia importante.
Grazie. Però la risposta, in particolare l'ultima che hai postato, non mi soddisfa molto. Il tizio che risponde usa la nota proprietà dell'autocorrelazione di essere massima nell'origine, però a rigore vale che \(\displaystyle R_X(\tau) \leq R_X(0) \) e non \(\displaystyle R_X(\tau) < R_X(0) \). Guarda qui per esempio:
posting.php?mode=reply&f=38&t=95848#preview
posting.php?mode=reply&f=38&t=95848#preview
In http://en.wikipedia.org/wiki/Autocorrelation è scritto
\(\displaystyle |R_f(\tau)| \leq R_f(0) \)
ma la differenza è probabilmente che qua non parlono di uno "stationary random process".
p.s Another problem is perhaps the discontinuity that exists in case of your rectangular function. I assume that this is not allowed in case of a "stationary random process".
I am wondering if there exist functions that have a maximum in 0, contain no discontinuities and have a negative Fourier Transform for certain values of f. In case of e.g. a triangular autocorrelation, the FT is allways positive.
\(\displaystyle |R_f(\tau)| \leq R_f(0) \)
ma la differenza è probabilmente che qua non parlono di uno "stationary random process".
p.s Another problem is perhaps the discontinuity that exists in case of your rectangular function. I assume that this is not allowed in case of a "stationary random process".
I am wondering if there exist functions that have a maximum in 0, contain no discontinuities and have a negative Fourier Transform for certain values of f. In case of e.g. a triangular autocorrelation, the FT is allways positive.
"wnvl":
[quote="elgiovo"]
posting.php?mode=reply&f=38&t=95848#preview
Il tuo link non è corretto.[/quote]
Si scusa, http://cnx.org/content/m10676/latest/
Comunque viene banalmente da Cauchy-Schwarz, quindi è minore o uguale.
"wnvl":
Ho un esempio
http://www.wolframalpha.com/input/?i=fo ... %28pi*x%29
Ottimo esempio. Così ci togliamo anche il dubbio del minore o uguale.
Però resta aperta la questione. Io credo che il problema sia nel fatto che non tutte le forme di autocorrelazione sono ammissibili.
"elgiovo":
Io credo che il problema sia nel fatto che non tutte le forme di autocorrelazione sono ammissibili.
Corretto. Apparamente solamente gli autocorrelazione con una trasformata positiva sono ammissibili.
p.s. I have to admit that it is still a little bit vague for me, but in the end I can imagine that not all forms of autocorrelation are allowed.
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