Domanda immediata su SDC (teoria)
Scusate ma le equazioni di Navier per la trave e l'equazione della linea elastica sono la stessa cosa?
Faccio riferimento a $EIv^(IV)= f_y$ e $EAu^(II) = -f_x$ . Seguo con due professori diversi e chiamano la stessa formula in questi due modi diversi!
Faccio riferimento a $EIv^(IV)= f_y$ e $EAu^(II) = -f_x$ . Seguo con due professori diversi e chiamano la stessa formula in questi due modi diversi!
Risposte
Un professore chiama determinate equazioni come di "Beltrami-Mitchell per la trave", l'altro definisce le stesse come "equazioni indefinite di equilibrio"...anche qui stesso dubbio :-/
Ciao. Allora, per quel che ne so io, le equazioni che hai riportato, ovvero:
$"EI"*v^(IV) = f_y$
$"EA"*u^(II) = - f_x$
sono le classiche equazioni della linea elastica, nell'ipotesi di trave di Eulero-Bernoulli (ovvero a deformazione a taglio nulla) e in assenza di coppie distribuite. In particolare, la prima è l'equazione del quarto ordine che descrive il problema dell'equilibrio elastico flessionale, mentre la seconda equazione (del secondo ordine) descrive il problema dell'equilibrio elastico assiale.
Esse, come detto, sono equazioni che valgono solo per la trave piana, nelle ipotesi suddette.
Le equazioni di Beltrami-Mithcell e di Navier invece, sono solitamente le equazioni del problema dell'equilibrio elastico lineare applicabili ad un qualunque solido omogeneo e isotropo, ovvero sono equazioni che generalizzano il caso particolare del solido "trave" e di conseguenza, sono equazioni più generali di quelle della linea elastica per la trave (in realtà, sono le sole equazioni di Navier ad essere più generali di quelle della linea elastica*).
In particolare, le equazioni di Beltrami-Mitchell rappresentano la formulazione alle tensioni (cioè nel problema dell'equilibrio elastico si assumono incognite le tensioni e come dati di partenza gli spostamenti); viceversa, le equazioni di Navier, rappresentano la formulazione agli spostamenti (tensioni note e spostamenti incogniti).
Ora, non so se le equazioni della linea elastica possono chiamarsi anche come equazioni di Beltrami o Navier. Se i prof lo hanno detto, evidentemente le si può identificare anche con questi nomi. In generale però, si parla di equazioni di Beltrami e Navier, quando si fa riferimento allo studio del problema elastico di un solido.
Che vengano chiamate anche "equazioni indefinite di equilibrio" mi lascia un pò perplesso...Vedo comunque di rivedere i miei appunti e le mie dispense e, in caso, ti faccio sapere.
Ciao.
________________
* Le equazioni della linea elastica per la trave, sono equazioni formulate agli spostamenti, perché le incognite sono proprio gli spostamenti ($v$ e $u$). Pertanto, esse sono un caso particolare delle equazioni di Navier, perché anche queste ultime sono equazioni agli spostamenti. Non sò se mi sono spiegato.
$"EI"*v^(IV) = f_y$
$"EA"*u^(II) = - f_x$
sono le classiche equazioni della linea elastica, nell'ipotesi di trave di Eulero-Bernoulli (ovvero a deformazione a taglio nulla) e in assenza di coppie distribuite. In particolare, la prima è l'equazione del quarto ordine che descrive il problema dell'equilibrio elastico flessionale, mentre la seconda equazione (del secondo ordine) descrive il problema dell'equilibrio elastico assiale.
Esse, come detto, sono equazioni che valgono solo per la trave piana, nelle ipotesi suddette.
Le equazioni di Beltrami-Mithcell e di Navier invece, sono solitamente le equazioni del problema dell'equilibrio elastico lineare applicabili ad un qualunque solido omogeneo e isotropo, ovvero sono equazioni che generalizzano il caso particolare del solido "trave" e di conseguenza, sono equazioni più generali di quelle della linea elastica per la trave (in realtà, sono le sole equazioni di Navier ad essere più generali di quelle della linea elastica*).
In particolare, le equazioni di Beltrami-Mitchell rappresentano la formulazione alle tensioni (cioè nel problema dell'equilibrio elastico si assumono incognite le tensioni e come dati di partenza gli spostamenti); viceversa, le equazioni di Navier, rappresentano la formulazione agli spostamenti (tensioni note e spostamenti incogniti).
Ora, non so se le equazioni della linea elastica possono chiamarsi anche come equazioni di Beltrami o Navier. Se i prof lo hanno detto, evidentemente le si può identificare anche con questi nomi. In generale però, si parla di equazioni di Beltrami e Navier, quando si fa riferimento allo studio del problema elastico di un solido.
Che vengano chiamate anche "equazioni indefinite di equilibrio" mi lascia un pò perplesso...Vedo comunque di rivedere i miei appunti e le mie dispense e, in caso, ti faccio sapere.
Ciao.
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* Le equazioni della linea elastica per la trave, sono equazioni formulate agli spostamenti, perché le incognite sono proprio gli spostamenti ($v$ e $u$). Pertanto, esse sono un caso particolare delle equazioni di Navier, perché anche queste ultime sono equazioni agli spostamenti. Non sò se mi sono spiegato.
Si infatti entrambi presentano le equazioni di beltrami e navier come le equazioni del problema dell'equilibrio elastico, nel primo caso formulazione alle tensioni e nel secondo agli spostamenti.
Da qui poi si dividono...uno presenta le equazioni scritte precedentemente come un caso particolare di Navier per la trave, l'altro presenta la stessa come equazione della linea elastica.
Poi ancora uno presenta le equazioni
$(dN)/dx + p_x= 0$
$(dT)/dx + p_y =0$
$(dM)/dx - T + m = 0$
come caso particolare di beltrami per la trave, l'altro come equazioni indefinite di equilibrio.
Quello che intendi dire è che Navier e le le equazioni dell'equilibrio elastico sono entrambe formulazioni agli spostamenti ed è per questo che vengono legate nella definizione dal mio professore?
Si può pensare alle indefinite di equilibrio come equazioni alle tensioni e quindi come un caso particolare delle equazioni di Beltrami applicate alla trave?
Spero di essermi spiegata, ho davvero una gran confusione in testa
Da qui poi si dividono...uno presenta le equazioni scritte precedentemente come un caso particolare di Navier per la trave, l'altro presenta la stessa come equazione della linea elastica.
Poi ancora uno presenta le equazioni
$(dN)/dx + p_x= 0$
$(dT)/dx + p_y =0$
$(dM)/dx - T + m = 0$
come caso particolare di beltrami per la trave, l'altro come equazioni indefinite di equilibrio.
Quello che intendi dire è che Navier e le le equazioni dell'equilibrio elastico sono entrambe formulazioni agli spostamenti ed è per questo che vengono legate nella definizione dal mio professore?
Si può pensare alle indefinite di equilibrio come equazioni alle tensioni e quindi come un caso particolare delle equazioni di Beltrami applicate alla trave?
Spero di essermi spiegata, ho davvero una gran confusione in testa
Ok, allora cerco di ricapitolare, sperando di non scrivere sciocchezze, perché sull'argomento non ho molta padronanza.
Il problema dell'equilibrio elastico lineare, per un solido tridimensionale, omogeneo, isotropo e costituito da materiale a comportamento elastico lineare, è governato da tre gruppi di equazioni:
Il problema dell'equilibrio elastico lineare, per un solido tridimensionale, omogeneo, isotropo e costituito da materiale a comportamento elastico lineare, è governato da tre gruppi di equazioni:
[*:37ne9hzc]$3$ Equazioni indefinite di equilibrio;[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]$6$ Equazioni costitutive (legame elastico lineare espresso dalla legge di Hooke);[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]$6$ Equazioni di congruenza o compatibilità interna.[/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc]
Tutte queste equazioni, che sono dunque $15$, devono rispettarsi in ogni punto del corpo assegnato.
A queste equazioni si devono aggiungere:
[*:37ne9hzc]$3$ condizioni al contorno di equilibrio[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]$3$ condizioni al contorno di congruenza[/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc]
Queste equazioni devono rispettarsi invece sul contorno (libero e vincolato) del corpo.
In sintesi, il problema dell'equilibrio elastico, espresso, si dice, in forma mista (perché le incognite sono grandezze diverse: tensioni, deformazioni e spostamenti), si può risolvere se si riesce a risolvere il sistema di quindici equazioni elencato su.
Tuttavia, grazie alle equazioni di Navier e di Beltrami, è possibile snellire tale sistema di equazioni.
In particolare:
[*:37ne9hzc]utilizzando le equazioni di Navier, il sistema di equazioni si può ridurre da $15$ a $3$, scrivendo tutte le equazioni in termini di spostamenti (questo approccio è detto approccio agli spostamenti) eliminando tensioni e deformazioni; a questo sistema bisogna poi aggiungere: le $3$ equazioni di equilibrio al contorno, scrivendole in termini di spostamenti e le $3$ equazioni di congruenza al contorno elencate sempre su;
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]utilizzando le equazioni di Beltrami-Mitchell, il sistema di equazioni si può ridurre da $15$ a $6$, scrivendo tutte le equazioni in termini di tensioni (questo approccio è detto approccio alle tensioni); a questo sistema bisogna poi aggiungere le $3$ equazioni di equilibrio al contorno (che sono già scritte in termini di tensione);[/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc]
Ora, se il mio solido tridimensionale si riduce alla trave elastica piana, le equazioni precedenti si riducono ad equazioni più semplici. In particolare, le equazioni che utilizziamo per risolvere il problema dell'equilibrio elastico, sono le equazioni differenziali della linea elastica per la trave piana. Esse sono le seguenti:
[*:37ne9hzc]Equazione della linea elastica per il problema assiale (della trave):
$(d^2u(x))/dx^2 = - (q_x(x))/(EA) $ [1], che deriva dalle seguenti tre equazioni (chiamate equazioni di campo) che governano il problema dell'equilibrio elastico lineare assiale della trave:
[*:37ne9hzc]Equazione indefinita di equilibrio: $(dN(x))/(dx) = -q_x(x)$
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]Equazione costitutiva: $N(x) = EA*epsilon(x)$
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]Equazione di congruenza o di compatibilità: $(du(x))/(dx) = epsilon(x)$[/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc]
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]Equazione della linea elastica per il problema flessionale (della trave):
$(d^4v(x))/dx^4 = (q_z(x))/(EI) $ [2], che deriva dalle seguenti tre equazioni di campo che governano il problema dell'equilibrio elastico lineare flessionale della trave:
[*:37ne9hzc]Equazioni indefinite di equilibrio: $(dT(x))/(dx) = -q_z(x)$ e $(dM(x))/(dx) = T(x)$
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]Equazione costitutiva: $M(x) = EI*chi(x)$
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]Equazioni di congruenza o di compatibilità: $-(dv(x))/(dx) = varphi(x)$ e $(dvarphi(x))/(dx) = chi(x)$[/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc][/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc]
Anche in questi casi, i simboli che ho usato possono essere un pò diversi rispetto a quelli a cui sei abituata.
Le due equazioni della linea elastica, ovvero [1] e [2] sono valide nelle ipotesi in cui:
[*:37ne9hzc]il modello di trave assunto sia quello di Eulero-Bernoulli (ipotesi nota anche col nome di ipotesi di Navier);[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]non siano presenti coppie distribuite applicate alla trave;[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]il materiale che costituisce la trave e la sezione della trave siano costanti ($EI="cost."$ ed $EA="cost".$).[/*:m:37ne9hzc][/list:u:37ne9hzc]
Queste altre equazioni che riporti tu, ovvero:
"andreaff91":
$(dN)/dx + p_x= 0$
$(dT)/dx + p_y =0$
$(dM)/dx - T + m = 0$
sono le equazioni indefinite di equilibrio per la trave elastica piana, cioè l'equivalente delle equazioni cardinali della statica, riferite però una porzione infinitesima (concio elementare) di trave.
Se la trave fosse rigida, queste tre equazioni da sole, sono sufficienti a risolvere la trave (calcolo delle reazioni vincolari e determinazione delle caratteristiche delle sollecitazioni interne).
Detto questo, passiamo alle questioni principali che hai sollevato, ovvero:
[list=1]
[*:37ne9hzc]Le equazioni di Navier possono identificare le equazioni della linea elastica della trave?
Sì, per quello che ti ho scritto prima; inoltre, da una ricerca su internet, ho avuto la conferma che effettivamente le equazioni della linea elastica vengono anche chiamate equazioni di Navier per la trave.
[/*:m:37ne9hzc]
[*:37ne9hzc]Le equazioni di Beltrami-Mitchell, possono identificare le equazioni indefinite di equilibrio della trave?
Direi di no, perché le equazioni indefinite di equilibrio (quelle che ti ho riportato in "quote") rappresentano solo la parte statica del problema dell'equilibrio elastico; le equazioni di Beltrami invece raggruppano tutte le equazioni che servono a risolvere il problema, ovvero: equazioni indefinite di equilibrio per risolvere la parte statica, le equazioni di congruenza e le equazioni costitutive per risolvere la parte cinematico-deformativa.
Per questo motivo, non credo sia corretto presentare le equazioni indefinite di equilibrio come caso particolare di quelle di Beltrami, come dice uno dei tuoi due prof. Sicura che si stava riferendo alle equazioni indefinite? Poi comunque può essere che io mi sbagli (il che è molto probabile). [/*:m:37ne9hzc][/list:o:37ne9hzc]
Spero che il tutto sia ora un pò più chiaro, ma se hai ulteriori dubbi chiedi pure.
Per il momento ti saluto.
Ciao.
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